第4章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

引言穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件，它描述初始條件下系統(tǒng)方程解是否具有收斂性，而與輸入作用無(wú)關(guān)。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動(dòng)的大小無(wú)關(guān)；非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性既與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，又與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動(dòng)的大小有關(guān)。

穩(wěn)定性判別方法：

現(xiàn)代控制理論中：一般系統(tǒng)(包括單變量、線性、定常系統(tǒng)，以及多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng))的穩(wěn)定性：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。經(jīng)典控制理論中：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

代數(shù)判據(jù)(如，赫爾維茨判據(jù)、勞斯判據(jù)等)；奈魁斯特判據(jù)；對(duì)數(shù)判據(jù)；根軌跡判據(jù)。

非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性：

描述函數(shù)法—要求系統(tǒng)的線性部分具有良好的濾除諧波的性能；相平面法—僅適合于一階、二階非線性系統(tǒng)。李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫理論在建立一系列關(guān)于穩(wěn)定性概念的基礎(chǔ)上，提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法：間接法：利用線性系統(tǒng)微分方程的解來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，又稱之為李雅普諾夫第一法；直接法：首先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，進(jìn)而利用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，又稱為李雅普諾夫第二法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般性理論，它采用狀態(tài)向量描述，在分析一些特定的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，有效地解決了用其它方法所不能解決的問(wèn)題。該理論比經(jīng)典控制中的穩(wěn)定性判據(jù)、以及以后可能接觸到的超穩(wěn)定性理論的適應(yīng)范圍更廣，因而得到廣泛應(yīng)用。4.1李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為式中，x為n維狀態(tài)向量，且顯含時(shí)間變量t；f(x，t)為線性或非線性、定?；驎r(shí)變的n維函數(shù)，其展開式為假定方程的解為x(t；x0，t0)，式中x0和t0分別為初始狀態(tài)向量和初始時(shí)刻，則初始條件x0必滿足x(t0

；x0，t0)=x0

。1平衡狀態(tài)李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的研究均針對(duì)平衡狀態(tài)而言。對(duì)于所有t，滿足的狀態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)的各分量相對(duì)于時(shí)間不再發(fā)生變化。若已知狀態(tài)方程，令所求得的解x，便是平衡狀態(tài)。線性定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)滿足Axe=0，當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)只有唯一的零解，即只存在一個(gè)位于狀態(tài)空間原點(diǎn)的平衡狀態(tài)。若A為奇異矩陣，則系統(tǒng)存在有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，可能有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即

||x0-xe||≤

δ，

t

=t0 (4-385)若能使系統(tǒng)方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的過(guò)程中，都位于以xe為球心、任意規(guī)定的半徑為ε的閉球域S(ε)內(nèi)，即

||x(t；x0，t0)-xe||≤ε，t≥t0 (4-386)則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。式中||·||為歐幾里德范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。實(shí)數(shù)δ與ε有關(guān)，通常也與t0有關(guān)。

如果δ與t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超出S(ε)，則認(rèn)為是穩(wěn)定的，這與經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是有差異的。例如：||x0-xe||表示狀態(tài)空間中，x0

點(diǎn)至

xe

點(diǎn)之間距離的尺度，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

||x0-xe||=[(x10–x1e)2+(x20–x2e)2+…+(xn0–xne)2]1/2(4-385)3漸近穩(wěn)定性若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有則稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)，從S(δ)出發(fā)的軌跡不僅不會(huì)超出S(ε)，且當(dāng)t→∞時(shí)收斂于xe，顯見經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)。若δ與t0無(wú)關(guān)，且上式的極限過(guò)程與t0無(wú)關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。4大范圍（全局）漸近穩(wěn)定性當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，δ→∞，S(δ)→∞。當(dāng)t→∞時(shí)，由狀態(tài)空間中任一點(diǎn)出發(fā)的軌跡都收斂于xe。對(duì)于嚴(yán)格線性的系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必定是大范圍漸近穩(wěn)定，這是因?yàn)榫€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件的大小無(wú)關(guān)。而對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其穩(wěn)定性往往與初始條件大小密切相關(guān)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定不一定是大范圍漸近穩(wěn)定。5不穩(wěn)定性如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)ε

>0和任一個(gè)實(shí)數(shù)δ

>0，不管這兩個(gè)實(shí)數(shù)有多么小，在S(δ)內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε)，則平衡狀態(tài)xe

就稱為是不穩(wěn)定的。4.2李雅普諾夫第一法(間接法)

間接法：利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。

適應(yīng)范圍：線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)、非線性函數(shù)可線性化的系統(tǒng)。定理4-9對(duì)于線性定常系統(tǒng)有系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根。系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)xe

=0是漸近穩(wěn)定的充要條件是，A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。證明1)設(shè)xe

為線性定常系統(tǒng)(4-388+)的平衡狀態(tài)，則由性質(zhì)可知，對(duì)于所有t≥0均有（可通過(guò)等式兩邊求微分證明下式）于是，考慮到x(t;x0,0)=eAtx0，有這表明，當(dāng)且僅當(dāng)‖eAt‖≤k＜∞時(shí)，對(duì)任給的一個(gè)實(shí)數(shù)ε>0，都對(duì)應(yīng)存在和初始時(shí)刻無(wú)關(guān)的一個(gè)實(shí)數(shù)δ(ε)=ε

/k，使得由滿足不等式

||x0—xe||≤δ(ε)(4-391)的任一初態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式因而‖eAt‖有界等價(jià)于‖e?t‖有界。但是，由?

為約當(dāng)規(guī)范型可知e?t

每一元的形式為其中λi(·)

為(·)

的特征值，βi為特征值的重?cái)?shù)?？梢钥闯?，式(4-394)中，當(dāng)αi<0時(shí)對(duì)任何正整數(shù)βi

此元在[0，∞)上為有界，而αi=0時(shí)只對(duì)βi=0此元在[0，∞)上為有界。同時(shí)，e?t

的每一個(gè)元有界意味著‖e?t‖有界。由此可見，當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值均具有負(fù)或零實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為單根時(shí)，‖e?t‖為有界，也就是系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。結(jié)論1）證畢。這從而由定義知，系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)均為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。再引入非奇異變換陣P，使得 ?=P-1AP

為矩陣A的約當(dāng)規(guī)范型，則又有2）結(jié)論2）證明由式(4-390)可知，當(dāng)且僅當(dāng)‖eAt‖對(duì)一切t≥0為有界，且當(dāng)t→0時(shí)‖eAt‖→0，零平衡狀態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定。如上所證，當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值均具有負(fù)或零實(shí)部時(shí)，‖e?t‖有界。又根據(jù)式(4-393)和式(4-394)可知當(dāng)且僅當(dāng)t→∞時(shí) ，可保證t→0時(shí)‖eAt‖→0，這就等價(jià)于A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。結(jié)論2）證畢。由于所討論的系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，當(dāng)其為穩(wěn)定時(shí)必為一致穩(wěn)定；當(dāng)其為漸近穩(wěn)定時(shí)必為大范圍一致漸近穩(wěn)定。

例4-1

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下，試分析該系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性。

解由A陣的特征方程

det[λI–A]=(λ+1)(λ-1)=0可得特征值

λ1=-1，λ2=1。故系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。4.3李雅普諾夫第二法（直接法）1標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性根據(jù)古典力學(xué)中的振動(dòng)現(xiàn)象，若系統(tǒng)能量隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài)，但要找到實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式并非易事。李雅普諾夫提出，虛構(gòu)一個(gè)能量函數(shù)，一般它與x1，x2，…，xn

及t有關(guān)，記為V(x，t)。若不顯含t，則記為V(x)。V(x)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。李雅普諾夫第二法利用V和的符號(hào)特征，直接對(duì)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無(wú)需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故稱直接法。直接法法解決了一些用其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，遺憾的是對(duì)一般非線性系統(tǒng)仍未找到構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法。對(duì)于線性系統(tǒng)，通常用二次型函數(shù)xTPx

作為李雅普諾夫函數(shù)。⑴正定性標(biāo)量函數(shù)V(x)對(duì)所有在域S中的非零狀態(tài)x有V(x)>0且V(0)=0，則在域S(域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn))內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為是正定的。

如果時(shí)變函數(shù)V(x，t)由一個(gè)定常的正定函數(shù)作為下限，即存在一個(gè)正定函數(shù)W(x)，使得則稱時(shí)變函數(shù)V(x，t)在域S(域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn))內(nèi)是正定的。⑵負(fù)定性

如果–V(x)是正定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為負(fù)定函數(shù)。⑷負(fù)半定性如果標(biāo)量函數(shù)–V(x)是正半定函數(shù)，則V(x)稱為負(fù)半定函數(shù)⑶正半定性

如果標(biāo)量函數(shù)V(x)除了原點(diǎn)及某些狀態(tài)處等于零外，在域S內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的，則V(x)稱為正半定函數(shù)⑸不定性如果在域S內(nèi)，不論域S多么小，V(x)既可為正值，也可為負(fù)值，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為不定函數(shù)。2李雅普諾夫第二法主要定理1）V(x,t)正定且有界，即存在兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)α(||x||)和β(||x||)，其中α(0)=0，β(0)=0，使對(duì)一切t≥t0

和一切x≠0

均有

β(||x||)≥V(x,t)≥α(||x||)>0(4-397)定理4-10(大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理)

考慮連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自由系統(tǒng)其中f(0,t)=0，即狀態(tài)空間的原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)對(duì)x和t有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且滿足如下條件：3）當(dāng)||x||→∞時(shí)，α(||x||)→∞，V(x,t)→∞，則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。2）V(x,t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界，即存在一個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)r(||x||)，其中r(0)=0，使對(duì)一切t≥t0

和一切x≠0

均有定理4-11(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1)例4-39

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為下式，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解顯然，原點(diǎn)(x1=0，x2=0)是該系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)V(x)為則沿任意軌跡，V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)對(duì)于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，并且對(duì)于狀態(tài)空間X中的一切非零點(diǎn)x

滿足如下條件：

1）V(x)為正定；

2）為負(fù)定；

3）當(dāng)||x||→∞時(shí)V(x)→∞。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。是負(fù)定的。這說(shuō)明V(x)沿任意軌跡是連續(xù)減小的，因此V(x)是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。由于當(dāng)||x||→∞時(shí)V(x)→∞，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-12(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2)

對(duì)于定常系統(tǒng)如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，并且對(duì)于狀態(tài)空間X中的一切非零點(diǎn)x滿足如下條件：1）V(x)為正定；2）為負(fù)半定；3）對(duì)任意x∈X， 不恒等于零；4）當(dāng)||x||→∞時(shí)V(x)→∞。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例4-40

已知定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為下式，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解易知原點(diǎn)(x1=0，x2=0)為系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)?，F(xiàn)取V(x)=x12+x22，且有⑴V(x)=x12+x22為正定；⑵容易看出，除了①x1任意，x2=0；②x1任意，x2=-1時(shí)，以外，均有。所以，為負(fù)半定。⑶檢查是否不恒等于零。則由x2(t)≡0可導(dǎo)出將此代入系統(tǒng)狀態(tài)方程可得再考察情況②，設(shè)考慮到使得的可能性只有上述①、②兩種情況，所以問(wèn)題歸結(jié)為判斷這兩種情況是否為系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。

先考察情況①，設(shè)這表明，除了點(diǎn)(x1=0，x2=0)， 不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。則由x2(t)=-1可導(dǎo)出將此代入系統(tǒng)狀態(tài)方程可得顯然，這是一個(gè)矛盾的結(jié)果，表明也不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。綜合以上分析可知，不恒等于零。⑷當(dāng)||x||→∞時(shí)，顯然有V(x)=||x||2

→∞。

所以，根據(jù)定理4-12可判定系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-13(不穩(wěn)定的判別定理)對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)(4-396)或定常系統(tǒng)(4-399)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x，t)或V(x)，其中V(0，t)=0，V(0)=0，和圍繞原點(diǎn)的域Ω，使得對(duì)于一切

x∈Ω和一切t≥t0

滿足如下條件：⑴V(x，t)為正定且有界或V(x)為正定；⑵為正定且有界或?yàn)檎ǎ瑒t系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。4.4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)線性定常系統(tǒng)方程為令這里，A為非奇異矩陣，故原點(diǎn)是惟一平衡狀態(tài)。取正定二次型函數(shù)V(x)=xTPx

作為可能的李雅普諾夫函數(shù)，有根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定性判別定理1（定理4-11），只要Q正定，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別于是有因此，線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件可表示為：給定一正定矩陣P，存在滿足式(4-401)的正定矩陣Q，而V(x)=xTPx

是該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。式(4-401)稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。

!

若P選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致Q非正定，需反復(fù)多次選取P陣來(lái)驗(yàn)證Q是否正定。定理4-14線性定常系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)

xe

=0為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對(duì)于任意給定的一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，有惟一的正定對(duì)稱矩陣P

使式(4-401)成立。需要說(shuō)明的是，在利用上述定理判斷線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí)，對(duì)Q的惟一限制是其應(yīng)為對(duì)稱正矩陣。顯然，滿足這種限制的Q陣可能有無(wú)窮多個(gè)，但判斷的結(jié)果即系統(tǒng)是否為漸近穩(wěn)定，則和Q

陣的不同選擇無(wú)關(guān)。上述定理的實(shí)質(zhì)是給出了矩陣A

的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部的充要條件。根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2可以推知，若系統(tǒng)任意的狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在恒為零時(shí)，Q陣可選擇為正半定的，即允許Q取單位陣時(shí)主對(duì)角線上部分元素為零，而解得的P

陣仍應(yīng)正定。例4-41已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀