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文檔簡介
異面直線所成的角.對于兩條異面直線a、b,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)o,作直線a’//a,b’//b,則直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角的范圍是(0,].aαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)
點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上bˊθooooo返回.二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟:轉(zhuǎn)化與化歸,即把異面直線所成的角(空間角)轉(zhuǎn)化為平面角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角,然后通過解三角形求得.2.方法:
3.步驟:
①作(找)②證③計算1.數(shù)學(xué)思想:平移可解三角形.ABDCA1B1D1C1在正方體AC1中,求異面直線A1B和B1C所成的角?A1B和B1C所成的角為60°.PABCMN空間四邊形P-ABC中,M,N分別是PB,AC的中點(diǎn),PA=BC=4,MN=3,求PA與BC所成的角?E返回.在正方體AC1中,求異面直線D1B和B1C所成的角?ABDCA1B1D1C1E返回.A1ABB1CDC1D1FEG解:如圖,取AB的中點(diǎn)G,O(證)A1G與AE所成的銳角(或直角)就是AE與D1F所成的角。FG,A1G
,A1G與AE交于O連結(jié)(作)例1:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD中點(diǎn)。求AE與D1F所成的角。返回A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1GD1F的中點(diǎn)tRA1AGAOG=90ABEGA1A=GAO即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1(算).例2在棱長都相等的四面體A-BCD中,M、N分別是棱AD、BC的中點(diǎn),連結(jié)AN、CM,求異面直線AN、CM所成的角的余弦值。.例2已知正方體的棱長為a,M為AB的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn),求A1M與C1N所成角的余弦值。解:A1D1C1B1ABCDMNEG如圖,取AB的中點(diǎn)E,連BE,有BE∥A1M取CC1的中點(diǎn)G,連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理,cos∠EBG=2/5F取EB1的中點(diǎn)F,連NF,有BE∥NF則∠FNC為所求角。想一想:還有其它定角的方法嗎?在△EBG中.例3:長方體ABCD-A1B1C1D1,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。返回.解法二:方法歸納:補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、長方體等,其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。在A1C1E中,由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為
如圖,補(bǔ)一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)A1E,C1E,則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補(bǔ)角),F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的長方體B1F,返回.1:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC與BC1所成角的大小是(
).A.30°B.45°C.60°D.90°解:在圖形中,將AC平行移動到A1C1,再連接A1B,則△A1BC1是一個等邊三角形,A1C1與BC1所成的角為60°,所以AC與BC1所成角的大小也是60°,選C.返回?zé)嵘碛?xùn)練.2:如圖,正三棱錐S-A
BC的側(cè)棱與底面邊長相等,如果E、F分別為SC、A
B的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成角等于(
)A.90°B.60°C.45°D.30°返回G.解:取AC的中點(diǎn)G,連接EG、FG,∵EG//SA,∴∠GEF是異面直線EF與SA所成角,又FG//BC,SA⊥BC,∴∠EGF=90°,△EGF是直角三角形,又EG=SA,F(xiàn)G=BC,∴EG=FG,△EGF是等腰直角三角形,∴∠GEF=45°,選C.返回.正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO課堂練習(xí):1900A1B1C1D1ABCDO返回.在正四面體S-ABC中,SA⊥BC,E,F分別為SC、AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角等于()CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習(xí)2B返回.2.已知:兩異面直線a,b所成的角是50°,P為空間中一定點(diǎn),則過點(diǎn)P且與a,b都成30°角的直線有
條。abPO2返回.定角一般方法有:(1)平移法(常用方法)小結(jié):1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時,要注意角的范圍:(1)當(dāng)cosθ>0時,所成角為θ(2)當(dāng)cosθ<0時,所成角為π-θ(3)當(dāng)cosθ=0時,所成角為90o(2)補(bǔ)形法化歸的一般步驟是:
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