性規(guī)劃求解技巧-名師揭秘2023年高考數(shù)學(xué)(文)命題熱點全覆蓋

專題33線性規(guī)劃求解技巧一．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．2．掌握確定平面區(qū)域的方法；理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合．二．【知識要點】1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，不包括邊界直線．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界直線．(2)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點P(x0，y0)，則①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域．②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，則點P在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域．③若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分．2．線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值3.常見簡單的二元線性規(guī)劃實際問題一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)．解線性規(guī)劃問題的一般步驟：審題、設(shè)元——列出約束條件(通常為不等式組)——建立目標(biāo)函數(shù)作出可行域求最優(yōu)解．三．解題方法總結(jié)1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域確定的方法第一種：若用y＝kx＋b表示的直線將平面分成上下兩部分不等式區(qū)域y＞kx＋b表示直線上方的半平面區(qū)域y＜kx＋b表示直線下方的半平面區(qū)域第二種：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直線將平面分成上下兩部分(B＝0讀者完成)不等式B＞0B＜0Ax＋By＋C＞0表示直線上方的半平面區(qū)域表示直線下方的半平面區(qū)域Ax＋By＋C＜0表示直線下方的半平面區(qū)域表示直線上方的半平面區(qū)域聯(lián)系：將Ax＋By＋C＝0表示的直線轉(zhuǎn)化成y＝kx＋b的形式即是第一種.第三種：選特殊點判定(如原點)，取一點坐標(biāo)代入二元一次不等式(組)，若成立，則平面區(qū)域包括該點，反之，則不包括.2.線性規(guī)劃問題求解策略(1)解決線性規(guī)劃問題時，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，一般步驟如下：①作：確定約束條件，并在坐標(biāo)系中作出可行域；②移：由z＝ax＋by變形為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，所求z的最值可以看成是求直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)在y軸上的截距的最值(其中a，b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化)，將直線ax＋by＝0平移，在可行域中觀察使eq\f(z,b)最大(或最小)時所經(jīng)過的點；③求：求出取得最大值或最小值的點的坐標(biāo)，并將其代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值和最小值；④答：寫出最后結(jié)論.(2)可行域可以是一個一側(cè)開放的平面區(qū)域，也可以是一個封閉的多邊形，若是一個多邊形，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在多邊形的某個頂點處取得.(3)若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而通過圖象求得的是非整數(shù)解，這時應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線最近的整點，或者用“調(diào)整優(yōu)值法”去尋求最優(yōu)解.四．典例分析例1．設(shè)滿足約束條件，則的最大值是A．0B．4C．5D．6【答案】D【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線，經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，即，此時，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.練習(xí)1．已知實數(shù)x,y滿足，若不等式axy0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．（－∞，）B．（4，＋∞）C．（，4）D．（，4）【答案】B【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面區(qū)域在直線y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直線上即可，即a＞4，故選：B．練習(xí)2．若滿足則的最小值等于A．B．C．D．【答案】B（二）含絕對值的不等式例2.設(shè)滿足約束條件，則的最大值是__________．【答案】2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示．由圖形得，當(dāng)時，，且當(dāng)直線經(jīng)過點時有最大值2，故可得的最大值為2．【答案】公司投放兩種型號的單車分別為80輛20輛才能使每天獲得的總收入最多，最多為120元．答：公司投放兩種型號的單車分別為80輛20輛才能使每天獲得的總收入最多，最多為120元?！军c睛】用線性規(guī)劃的方法來解決實際問題：先根據(jù)問題的需要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量用字母表示，進(jìn)而把問題中所有的量都用這兩個字母表示出來，建立數(shù)學(xué)模型，再畫出表示的區(qū)域。練習(xí)1．電視臺應(yīng)某企業(yè)之約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時間80分鐘，其中廣告時間1分鐘，收視觀眾60萬；連續(xù)劇乙每次播放時間40分鐘，其中廣告時間1分鐘，收視觀眾20萬.現(xiàn)在企業(yè)要求每周至少播放廣告6分鐘，而電視臺每周至多提供320分鐘節(jié)目時間.（1）設(shè)每周安排連續(xù)劇甲次，連續(xù)劇乙次，列出，所應(yīng)該滿足的條件；（2）應(yīng)該每周安排兩套電視劇各多少次，收視觀眾最多？【答案】（1）（2）每周應(yīng)安排甲、乙連續(xù)劇2套、4套【解析】（1）由題意可得：；（2）收視觀眾數(shù)為萬，則，所以，因此直線在y軸截距最大時，取最大值；畫出可行域易知當(dāng)，時，有最大值，最大值是200，收視觀眾200萬.每周應(yīng)安排甲、乙連續(xù)劇2套、4套練習(xí)2．兩類藥片有效成分如下表所示，若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小蘇打，28mg可待因，問兩類藥片最小總數(shù)是多少？怎樣搭配價格最低？成分種類阿司匹林小蘇打可待因每片價格(元)A(mg/片)2510.1B(mg/片)1760.2【答案】當(dāng)A類藥品3片、B類藥品8片時，藥品價格最低．【解析】設(shè)兩種藥品分別為片和片，則有，兩類藥片的總數(shù)為，兩類藥片的價格和為。如圖所示，作直線，將直線向右上方平移至位置時，直線經(jīng)過可行域上一點，且與原點最近．解方程組，得交點坐標(biāo)為.由于不是整點，因此不是的最優(yōu)解，結(jié)合圖形可知，經(jīng)過可行域內(nèi)整點且與原點距離最近的直線是，經(jīng)過的整點是，因此的最小值為.藥片最小總數(shù)為片．同理可得，當(dāng)時，取最小值，因此當(dāng)類藥品片、類藥品片時，藥品價格最低。練習(xí)3．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價，則___，___.【答案】10900【解析】由題意可得，解得.故答案為10900高難拉分攻堅特訓(xùn)(一)1．已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，設(shè)圓C在點P處的切線斜率為k1，橢圓M在點P處的切線斜率為k2，則eq\f(k1,k2)的取值范圍為()A．(1,6)B．(1,5)C．(3,6)D．(3,5)答案D解析由于橢圓M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>6－a2，,6－a2>1，))解得3<a2<5.設(shè)橢圓M：eq\f(x2,a2)＋y2＝1與圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共點P(x0，y0)，則橢圓M在點P處的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋y0y＝1，圓C在P處的切線方程為x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－eq\f(x0,y0)，k2＝－eq\f(x0,a2y0)，eq\f(k1,k2)＝a2，所以eq\f(k1,k2)∈(3,5)，故選D.2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，且f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)＋(a3－2)(a4－2)＋…＋(an－1)(an＋1－2)，若?n≥3(n∈N*)，f(n)≥m2－2m恒成立，則實數(shù)m的最小值為________．答案－1解析∵a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，∴eq\f(2,an＋1－2)＝eq\f(2,\f(4an－4,an)－2)＝eq\f(an,an－2)＝1＋eq\f(2,an－2)，又eq\f(2,a1－2)＝1，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an－2)))是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(2,an－2)＝1＋n－1＝n，an－2＝eq\f(2,n)，令bn＝(an－2)(an＋1－2)＝eq\f(2,n)·eq\f(2,n＋1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴f(n)＝(a1－2)(a2－2)＋(a2－2)(a3－2)＋(a3－2)·(a4－2)＋…＋(an－2)(an＋1－2)＝b1＋b2＋…＋bn＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(4n,n＋1).若?n≥3(n∈N*)，f(n)≥m2－2m恒成立，則f(n)min≥m2－2m.易知f(n)＝eq\f(4n,n＋1)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(n)min＝f(3)＝3，即m2－2m－3≤0，解得－1≤m≤3，∴實數(shù)m的最小值為－1.3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點F和上頂點B在直線3x－eq\r(3)y＋3＝0上，A為橢圓上位于x軸上方的一點且AF⊥x軸，M，N為橢圓C上不同于A的兩點，且∠MAF＝∠NAF.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線MN與y軸交于點D(0，d)，求實數(shù)d的取值范圍．解(1)依題意得橢圓C的左焦點為F(－1,0)，上頂點為B(0，eq\r(3))，故c＝1，b＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)直線AM的斜率為k，因為∠MAF＝∠NAF，所以AM，AN關(guān)于直線AF對稱，所以直線AN的斜率為－k，易知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，所以直線AM的方程是y－eq\f(3,2)＝k(x＋1)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋(12＋8k)kx＋(4k2＋12k－3)＝0，所以x1＝eq\f(－4k2－12k＋3,3＋4k2)，將上式中的k換成－k，得x2＝eq\f(－4k2＋12k＋3,3＋4k2)，所以kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k[x1＋x2＋2],x1－x2)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k2＋6,3＋4k2)＋2)),\f(－24k,3＋4k2))＝－eq\f(1,2)，所以直線MN的方程是y＝－eq\f(1,2)x＋d，代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得x2－dx＋d2－3＝0，所以Δ＝(－d)2－4(d2－3)>0，解得－2<d<2，又因為MN在A點下方，所以－1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)>d?d<1，所以－2<d<1.4．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然對數(shù)的底數(shù))．(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)，并說明理由；(2)若對任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．當(dāng)a≤0時，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有1個極值點；當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時，由f′(x)>0得x<ln2a或x>0，