含權(quán)債券定價方法講解分析

含權(quán)債券(zhàiquàn)的定價Black’sModel利率二叉樹期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù)——利率模型含權(quán)債券(zhàiquàn)的定價利率頂與利率底互換選擇權(quán)可贖回和可回售債券(zhàiquàn)可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)精品資料期權(quán)(qīquán)定價模型——Black-ScholesmodelBlack－Scholes(1973)其中，c為買入期權(quán)的價格，S為標(biāo)的股票的當(dāng)前市價，K為買入期權(quán)的執(zhí)行價，T為距離(jùlí)到期日的時間，r為無風(fēng)險利率，為股價變動的標(biāo)準(zhǔn)差。精品資料B-S公式的比較(bǐjiào)靜態(tài)分析精品資料例：Black-Scholes模型(móxíng)的問題給歐式calloption定價：3年零息債券，行權(quán)價為$110,面值為$100。結(jié)論很明顯(míngxiǎn)，應(yīng)該是0。但在下面假設(shè)情況下，r=10%，4%的年價格波動率，用Black-Scholes模型計算出來的價格為7.78!精品資料應(yīng)用傳統(tǒng)Black-ScholesModel

給債券(zhàiquàn)定價的問題如果要使用上述公式為債券定價(dìngjià)，我們必須要假設(shè)債券價格未來3年的演變過程，可這一過程異常的復(fù)雜，原因如下：債券價格在到期日必須收斂至面值，而股票的隨機(jī)演變過程不需要這一限制。隨著到期日的臨近，債券價格的波動率會下降，B-S公式假定波動率為常數(shù)顯然不合適。B-S公式假定短期利率為常數(shù)，而在固定收益證券方面，我們又假定了債券價格隨機(jī)變動，明顯矛盾。此外，上述的利率可能為負(fù)值也是一個問題。精品資料Black'sModel盡管存在著以上問題(wèntí)，Black-Scholes的變形，即Black’sModel,也還經(jīng)常被使用，其條件是:a.期權(quán)的盈虧在某一特點時間只依賴于一個變量。b.可以假定在那個時點上，那個變量的分布呈對數(shù)正態(tài)分布。例如，當(dāng)期權(quán)有效的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于債券償還期時，就可以利用Black’sModel精品資料利用Black’sModel給歐式期權(quán)(qīquán)定價精品資料利用(lìyòng)Black‘sModel給歐式期權(quán)定價T=期權(quán)到期日F=到期日為T，價值為V的遠(yuǎn)期價格(jiàgé)K=執(zhí)行價格(jiàgé)r=T期的即期收益率(連續(xù)利率)σ=F的波動率N=累積正態(tài)分布Pc=valueofcallPp=valueofput精品資料例:應(yīng)用(yìngyòng)Black'sModel給10個月期的歐式期權(quán)定價：標(biāo)的(biāode)債券為9.75年，面值$1,000,半年利息$50(在3個月后和9個月后得到)?已知今天債券價格$960(包括應(yīng)計利息)執(zhí)行價格$1,0003個月的無風(fēng)險利率為9%，9個月的無風(fēng)險利率為9.5%，10個月的無風(fēng)險利率為10%(以年為基礎(chǔ)，連續(xù)利率)債券價格的波動率為年9%精品資料例:應(yīng)用(yìngyòng)Black'sModel求解第一步:找到遠(yuǎn)期價格(jiàgé)計算期權(quán)價格(jiàgé)的參數(shù)為:F=939.68,K=1000,r=0.1,σ=0.09,T=10/12=.8333.精品資料例:應(yīng)用(yìngyòng)Black'sModel精品資料Black’sModel的缺陷(quēxiàn)盡管Black’sModel通過假定某個利率，或債券價格，或其他變量在將來某個時刻的概率分布為對數(shù)正態(tài)，從而在某種程度上改進(jìn)了Black-ScholesModel的缺陷，這也使得這一模型能夠被應(yīng)用(yìngyòng)于對上限、歐式債券期權(quán)和歐式互換這樣的產(chǎn)品定價，但是，這一模型仍然有局限性。這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時間變化來提供描述，因此，對美式互換期權(quán)、可贖回債券或結(jié)構(gòu)性債券產(chǎn)品定價時就不再適用了。因此，我們需要將注意力由債券的價格轉(zhuǎn)移至利率上來。精品資料含權(quán)債券(zhàiquàn)定價的定價策略可回購債券的價值=不可回購債券價值-CallOption的價值可回賣債券的價值=不可回賣債券價值+PutOption的價值回購債券定價策略:利用利率模型(móxíng)給不可回購債券定價利用利率模型(móxíng)給嵌入的calloption定價.精品資料利率(lìlǜ)二叉樹（binomialinterestratetree）前面已經(jīng)(yǐjing)提及，當(dāng)我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價時，我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來。假設(shè)6個月期和1年期的即期利率分別為3.99%和4.16%。另外，6個月后6個月的即期利率可能演變成4%與4.5%，圖示如下：精品資料利率(lìlǜ)二叉樹與無套利定價根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與6個月期利率的樹狀圖，我們可以計算6個月期與1年期零息債券的價格(jiàgé)。面值1000美元的6個月零息債券，其價格(jiàgé)樹狀圖為：980.4402=1000/(1+0.0399/2)精品資料利率二叉樹與無套利(tàolì)定價面值1000美元的1年期零息債券，其價格樹狀圖為：注：在這里，我們按照半年復(fù)利(fùlì)進(jìn)行貼現(xiàn)的。959.6628=1000/(1+0.0416/2)^2977.9951=1000/(1+0.045/2)^2959.6628=1000/(1+0.04/2)^2精品資料利率二叉樹與無套利(tàolì)定價1年期零息債券在“日期1”的期望價格（expectedprice）是：0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937以當(dāng)時的6個月期即期(jíqī)利率將上述價格折算為“日期0”的現(xiàn)值，則期望折現(xiàn)值為：979.1937/(1+0.0399/2)=960.04這一數(shù)值與前面的959.6628并不相同，為什么？因為上述期望值是有風(fēng)險的。精品資料利率二叉樹與無套利(tàolì)定價考慮(kǎolǜ)一個在6個月之后可以以978.50美元的價格買進(jìn)面值為1000美元的6個月零息債券的期權(quán)的價值。選擇權(quán)價值的樹狀圖如下：精品資料利率(lìlǜ)二叉樹與無套利定價無套利原理為我們提供了一套處理上述問題的定價方法，這一點在上一章中已有所體現(xiàn)(tǐxiàn)。我們在“日期0”使用6個月期和1年期零息債券構(gòu)建一個當(dāng)利率上升到4.5%時價值為0，當(dāng)利率上升到4%時價值為1.8922的組合。假定F0.5和F1分別表示6個月和1年期債券的面值，有精品資料利率二叉樹與無套利(tàolì)定價解前述方程式得，F(xiàn)0.5=-772.0005，F(xiàn)1=789.3705即需要買進(jìn)(mǎijìn)面值為789.3705美元的1年期零息債券，賣空772.0005美元的6個月期零息債券。依據(jù)無套利原理，選擇權(quán)的價格應(yīng)當(dāng)為，0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63而當(dāng)我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時，其價值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2)=0.9276，要大于選擇權(quán)的真實價值。精品資料利率二叉樹與無套利(tàolì)定價與考察股票期權(quán)的價值時不考慮股價變動的概率相似，我們在計算上述選擇權(quán)價值時，并未考慮利率發(fā)生變動的機(jī)率。這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同，即無論利率上升的機(jī)率是0.1還是0.9，我們組合的成分均不變。這可能會引發(fā)人們的疑問，即各種狀況出現(xiàn)的“機(jī)率”扮演的是什么角色？利率上升和下降的機(jī)率實際上已經(jīng)(yǐjing)反映在債券的價格之中了，因而已經(jīng)(yǐjing)通過這一渠道影響了選擇權(quán)的價值。精品資料利率(lìlǜ)期權(quán)的風(fēng)險中性定價在前面，我們利用無套利原理(yuánlǐ)，通過構(gòu)建投資組合的方法得到了選擇權(quán)的價值，但這一方法并不簡便，我們可以借用上一章提出了風(fēng)險中性定價原理(yuánlǐ)來為利率期權(quán)定價，具體如下：在前面，我們已經(jīng)說明了，未來的期望值的現(xiàn)值并不等于該債券的價格，但某一虛擬的機(jī)率可以做到這一點。精品資料利率期權(quán)的風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價假定P為“上行狀況”的機(jī)率，(1-P)為“下行狀況”的機(jī)率，依據(jù)下述方程式有，P等于0.661，并不是我們(wǒmen)假定的實際機(jī)率0.5。讓我們(wǒmen)再次考慮選擇權(quán)價格的樹狀圖，精品資料利率期權(quán)的風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價當(dāng)我們使用上述的“虛擬機(jī)率”（風(fēng)險中性概率）對選擇權(quán)的價值求期望并貼現(xiàn)時有，可以看出，這一結(jié)果與前面使用復(fù)制的投資組合的方法得出的結(jié)論完全一致。這就是上一章已經(jīng)提及的風(fēng)險中性定價。作為現(xiàn)代金融學(xué)中最為微妙的概念，我們將風(fēng)險中性定價在利率期權(quán)中的應(yīng)用步驟(bùzhòu)總結(jié)如下：求取虛擬機(jī)率而使根本證券（underlyingsecurities）的價格等于其未來期望值的現(xiàn)值。然后，根據(jù)虛擬機(jī)率來計算利率期權(quán)的期望價值的現(xiàn)值。精品資料利率期權(quán)(qīquán)的風(fēng)險中性定價具體邏輯如下：首先：在一個既定的零息債券價格樹狀圖之下，一種證券根據(jù)套利方式所定的價格并不取決于投資者的風(fēng)險偏好。既然人人都同意復(fù)制的投資組合的價值，他們也應(yīng)當(dāng)(yīngdāng)會同意期權(quán)合約的價值。其次，設(shè)想一個經(jīng)濟(jì)體系，它的當(dāng)時債券價格與6個月期的利率演變和我們的經(jīng)濟(jì)體系相同。在這一經(jīng)濟(jì)體中，每個人都具有中性的風(fēng)險偏好，且通過組合的現(xiàn)金流得到風(fēng)險中性概率。再次，在中性風(fēng)險偏好的經(jīng)濟(jì)體內(nèi)，選擇權(quán)的定價是將現(xiàn)金流的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值。最后，由于中性風(fēng)險偏好的經(jīng)濟(jì)體的價格和利率演變與我們的完全相同，因此，我們的經(jīng)濟(jì)體和風(fēng)險中性經(jīng)濟(jì)體內(nèi)選擇權(quán)的價值相等。精品資料股票定價不能使用(shǐyòng)套利定價的原因沒有任何的組合能夠復(fù)制未來(wèilái)個股價格的波動。精品資料風(fēng)險中性(zhōngxìng)定價的擴(kuò)展前面的分析都是在兩期框架下進(jìn)行的，從這里開始，我們開始討論三期框架下的情形(qíngxing)。假定當(dāng)時1.5年期的即期利率為4.33%。我們?nèi)匀患俣?個月期利率只有兩種演變可能，即上行和下行。但是，“上行-下行”與“下行-上行”并不一定相等，即如下圖。精品資料風(fēng)險中性(zhōngxìng)定價的擴(kuò)展這種樹狀圖一般被稱為“非結(jié)合性樹狀圖”（non-recombiningtree）。從經(jīng)濟(jì)的角度來看，這一設(shè)定非常合理，但是在實務(wù)中，這一設(shè)定非常難于(nányú)處理，甚至無法處理。當(dāng)我們處理一個二十年期的債券時，最后一期的節(jié)點數(shù)將超過5000億個。因此，我們一般設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖，我們設(shè)定一個1.5年期的樹狀圖如下。精品資料風(fēng)險中性(zhōngxìng)定價的擴(kuò)展當(dāng)樹狀圖的階段增加時，我們需要設(shè)計某種方法來表示節(jié)點的位置。一種(yīzhǒnɡ)常用的方法是，以“日期”表示樹狀圖的“列”，起始點為0，從左忘右計數(shù)。以“狀況”來表示樹狀圖的“行”，起始點為0，由下往上計算。我們很容易構(gòu)建1.5年期零息債券的價格樹狀圖，如下。937.7641=1000/(1+0.0433/2)^3精品資料風(fēng)險中性(zhōngxìng)定價的擴(kuò)展在上圖中，Pu和Pd是表示1.5年期債券在經(jīng)過了0.5年之后的價格，它當(dāng)時是1年期的零息債券，這兩個價格是未知的。我們很自然(zìrán)就想到使用風(fēng)險中性概率求取債券的期望值，并將其折算為市場價格。具體的樹狀圖如下。精品資料風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價的擴(kuò)展依據(jù)風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價的偏好，我們有解之得，q=0.632。精品資料風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價的擴(kuò)展此時，1.5年期(niánqī)零息債券價格的樹狀圖變?yōu)椋壕焚Y料風(fēng)險中性定價(dìngjià)的擴(kuò)展此時，我們可以使用“日期0”和“日期1”兩組風(fēng)險中性概率，和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價(dìngjià)了。例如，某1年期證券的到期價值有三種可能的結(jié)果：500、100、-10，該證券未來一年的樹狀圖為，精品資料風(fēng)險中性定價(dìngjià)的擴(kuò)展“日期1-狀況(zhuàngkuàng)1”的價格為“日期1-狀況(zhuàngkuàng)0”的價格為“日期0”的價格為精品資料風(fēng)險中性(zhōngxìng)定價的擴(kuò)展既然我們可以將風(fēng)險中性定價模型由2期擴(kuò)展到3期，那么我們應(yīng)當(dāng)可以將其擴(kuò)展至任何日期。計算(n+1)個半年期債券價格的步驟如下：(1)取得當(dāng)時的利率期限結(jié)構(gòu)，即r(0.5),r(1),r(1.5),r(2)…r(n/2+0.5)；(2)設(shè)定(shèdìnɡ)6個月期利率在未來n期的演變圖，換言之，就是“日期0”到“日期n-1”之間的利率樹狀圖；(3)分別計算1年期、1.5年期…（n/2+0.5）年期零息債券價格的樹狀圖，以及所有相關(guān)的風(fēng)險中性概率；(4)計算(n+1)個半年期的債券價格：由債券的到期價值依次往前推算，其依據(jù)是風(fēng)險中性概率。最終得到第0期的價格。精品資料一年期即期(jíqī)利率的樹狀圖根據(jù)前面所討論的1.5年期零息債券價格樹狀圖，我們可以計算6個月之后所可能發(fā)生的兩個1年期即期利率。在6個月之后，1.5年期的債券將成為1年期的零息債券，它有兩個可能的價格：955.6376與960.4493。這兩個價格蘊(yùn)含的1年期利率為4.59%與4.08%，由于我們假定(jiǎdìng)當(dāng)時的1年期利率為4.16%，因此，1年期利率的樹狀圖如下：精品資料單一(dānyī)因子模型的缺陷實質(zhì)上，上述6個月之后1年期(niánqī)即期利率之所以能夠推算出來，是因為當(dāng)我們確定了6個月期利率的樹狀圖之后，已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證券的價格都可以由6個月期利率的演變所決定。也就是說，我們假定的每種可能狀況都完全取決于該狀況的6個月期利率。在多重因子模型(multi-factor)中，我們可以假定所有證券的價格是取決于數(shù)種而不是一種隨機(jī)變量。例如，在LongstaffandSchwartz(1992)的模型中，可能的狀況由短期利率水平及其波動率共同決定。精品資料單一因子模型(móxíng)的缺陷單一因子模型的重大缺陷在于，由于單一因子的隨機(jī)演變將決定所有證券的價格，所以各種證券的報酬率之間具有完美的相關(guān)性。就技術(shù)上而言，不同到期日的債券報酬率之間雖然存在正向關(guān)聯(lián)(guānlián)，但并不完美。多因子模型就能夠做到這一點。然而，盡管多因子模型比較符合實際情況，但模型本身非常難以處理。因此，我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型。精品資料時間階段(jiēduàn)的縮短將間隔時間(shíjiān)縮短至6個月以下，在建構(gòu)利率樹狀圖時，僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性的調(diào)整。首先，利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對應(yīng)于模型所選定的時間(shíjiān)階段。其次，利率樹狀圖中所演變的利率也必須對應(yīng)階段的時間(shíjiān)。精品資料時間階段(jiēduàn)的選擇這必然導(dǎo)致另一個問題，即時間階段如何選擇？第一，時間階段越短，耗時越長；第二，計算證券涉及的步驟越多，數(shù)據(jù)上的處理越需要(xūyào)留意，例如：四舍五入。最理想的時間階段取決于所處理的問題。比較精密的模型，允許樹狀圖有數(shù)種時間階段，以便在精密性與方便性之間取得最佳的均衡。精品資料期限結(jié)構(gòu)(jiégòu)模型的藝術(shù)——利率模型到目前為止，我們已經(jīng)知道，根據(jù)當(dāng)時的利率期限結(jié)構(gòu)，并假設(shè)短期利率的演變過程，我們就可以為利率期權(quán)定價了。這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾，但價格的精確性則取決于利率模型的假設(shè)。而如何假設(shè)短期利率的演變過程則更像是一門藝術(shù)。從這里開始(kāishǐ)，我們將介紹業(yè)內(nèi)人士如何擬定假設(shè)，借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu)。精品資料期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)(yìshù)——利率模型利率模型分為兩類：無套利模型(arbitrage-freemodel)和均衡模型(equilibriummodel)。前者是指利用當(dāng)前的債券市場價格推導(dǎo)出短期利率的演變過程，因此，無套利機(jī)會模型推導(dǎo)出的結(jié)果必須符合當(dāng)時的利率期限結(jié)構(gòu)。后者則不同，它并不認(rèn)為債券的市場價格必然合理。從基本方面來說，均衡模型是根據(jù)當(dāng)時的期限結(jié)構(gòu)來推導(dǎo)出期望報酬所具有的風(fēng)險溢價。均衡模型一般先對經(jīng)濟(jì)變量做假設(shè)，并推導(dǎo)出一個關(guān)于短期利率的演變過程，然后再得出對債券價格與期權(quán)價格的影響。簡而言之，在均衡模型中，利率的演變過程是模型輸出的結(jié)果；在無套利模型中，今天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為輸入(shūrù)值來使用的。精品資料利率(lìlǜ)模型——無套利模型從上一章可以看出，股票價格變動參數(shù)的設(shè)定決定了股票期權(quán)二叉樹中的風(fēng)險中性概率，同理，短期利率的演變過程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二叉樹中的風(fēng)險中性概率。通常情況下，我們會假定利率變化服從某一分布過程，然后，通過無套利的方法來確定這一分布過程中的參數(shù)。注意到，我們可以通過將風(fēng)險中性概率設(shè)為0.5，從而方便我們后來的計算，但此時隨機(jī)游走過程中的參數(shù)也會發(fā)生相應(yīng)(xiāngyīng)的變化。這些參數(shù)必須滿足均值和方差的要求。精品資料一個(yīɡè)簡單的例子r0r1,Lr1,Hr2,HHr3,HLLr3,HHLr2,LLr3,HHHr2,HLr3,LLL精品資料一個簡單(jiǎndān)的例子σ表示(biǎoshì)整個期間內(nèi)1年期利率波動的標(biāo)準(zhǔn)差；r1,H表示(biǎoshì)在第1年底較高的1年期即期利率；r1,L表示(biǎoshì)在第1年底較低的1年期即期利率；由于我們假設(shè)了利率的變化服從對數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走過程，這兩者的關(guān)系就是：r1,H=r1,Le2σ同理有r2,HH=r2,LLe4σ;r2,HL=r2,LLe2σr3,HHH=r3,LLLe6σ;r3,HHL=r3,LLLe4σ;r3,HLL=r3,LLLe2σ因此，我們在每一階段只需要計算出最低利率即可。精品資料一個(yīɡè)簡單的例子假定市場上存在四種債券，四種債券都是按照面值銷售(xiāoshòu)，因此債券的到期收益率等于其票面利率。同時假設(shè)這兩種債券是按年付息，σ=10%。有關(guān)信息如下表期限到期收益率市場價格即期利率13.51003.500024.21004.214734.71004.734545.21005.2707精品資料一個簡單(jiǎndān)的例子1003.5%VL4.2VH4.21004.21004.21004.2精品資料一個簡單(jiǎndān)的例子VH=(100+4.2)/(1+r1e2σ)VL=(100+4.2)/(1+r1)100=1/2*[(VH+4.2)/(1+r0)+(VL+4.2)/(1+r0)]解之得，r1=4.4448%重復(fù)(chóngfù)上面的步驟，我們可以得到r2,r3,r4…rt。精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)HoandLee(1986)第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的無套利模型，在該模型中，短期利率的二項式變動如下(rúxià)：也就是說，新的短期利率是前一期的短期利率，加上某常數(shù)乘以時間階段，再加上或減去某一個常數(shù)乘以時間階段的平方根。前者稱之為趨勢變量(drift)，后者稱之為隨機(jī)偏離(randomdeviation)。精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)在這里波動率和利率都是以基點的形式(xíngshì)表示的，所以波動率(σ)也稱為基點波動率。精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)剩下的工作就如前面的那個簡單(jiǎndān)例子一樣了，即確定參數(shù)m和σ的數(shù)值。波動率闡述σ是用來取得期權(quán)的“理想”價格，它的數(shù)值可以根據(jù)利率波動率的某種看法、歷史資料或某種隱含的方法來設(shè)定。下面我將簡單(jiǎndān)的介紹一下如何使用歷史資料來確定波動率的方法。精品資料波動(bōdòng)率波動(bōdòng)率是利率模型的關(guān)鍵因素，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)差來表示波動(bōdòng)率。用歷史數(shù)據(jù)估計波動(bōdòng)率a)選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù)（每天）b)計算到期收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差c)乘以365(或250)，得到年的波動(bōdòng)率精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)讓我們重新用回前面的半年期(niánqī)債券的例子。假定σ等于0.45%，那么6個月期（一個階段）的波動率為，6個月期和1年期(niánqī)的即期利率分別為3.99%、4.16%，因此，1年期(niánqī)零息債券的樹狀圖應(yīng)當(dāng)為，精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)此時，使用利率二叉樹模型估計出的價格必須等于1年期(niánqī)零息債券的價格，因此有解之得，m=0.342089%。將這一數(shù)值代入到利率樹狀圖中，可得精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)同樣的，我們將利率樹狀圖延伸(yánshēn)一期，Ho-Lee模型假定了波動率保持不變，因此有精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù)，我們可以得到下圖假定1.5年期零息債券的即期利率為4.33%，1.5年期零息債券的價格(jiàgé)為0.937764，那么1.5年期零息債券的價格(jiàgé)樹狀圖應(yīng)當(dāng)為如下。精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)對于一個1.5年期的零息債券來說，模型的定價必須等于(děngyú)市場價格，因此有解之得，m‘=1.36176%，帶入6個月期的利率樹狀圖可得精品資料“Ho-Lee”模型(móxíng)依次類推，我們得到任何利率期間的樹狀圖。但該模型(móxíng)也存在一些缺點。第一個缺點就是該模型(móxíng)的正態(tài)分布假設(shè)，這將導(dǎo)致利率可能為負(fù)值：當(dāng)負(fù)值的隨機(jī)沖擊相當(dāng)大時，利率可能為負(fù)值。某些業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為這是一個嚴(yán)重的錯誤，但另一些人則認(rèn)為，只要模型(móxíng)能夠理想的定價，不需過分在意這一點。第二個缺點是短期利率的基點波動率不受利率水平的影響。而業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，當(dāng)利率水平比較高時，短期利率的基點波動率應(yīng)該比較大。但這也不是一個公認(rèn)的現(xiàn)象。精品資料所羅門兄弟(xiōngdì)模型所羅門兄弟模型彌補(bǔ)了Ho-Lee模型的一些缺陷，如使用對數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布，這保證了利率值不可能(kěnéng)為負(fù)；同時，短期利率的基點波動率將與利率水平成比例，也就是說基點波動率等于比例波動率乘以利率。短期利率的演變過程如下：精品資料所羅門兄弟(xiōngdì)模型如果對樹狀圖中的每個節(jié)點(jiédiǎn)取自然對數(shù)，則有換言之，短期利率的自然對數(shù)呈正態(tài)分布。在統(tǒng)計學(xué)上，某種隨機(jī)變量的自然對數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，該隨機(jī)變量本身呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布。精品資料所羅門兄弟(xiōngdì)模型我們使用與前面完全相同的計算方法可以得到模型的參數(shù)(cānshù)，進(jìn)而得到各時間段的短期利率的演變過程。但是這一模型同樣具有缺陷。與Ho-Lee模型一樣，原始的所羅門兄弟模型對短期利率波動率也提出的假設(shè)，只不過這一假設(shè)是隱含的而已。如果6個月期利率的比例波動率為12%，則使用所羅門模型所隱含的波動率期限結(jié)構(gòu)計算得到的30年期利率的波動率將降至10.5%。就實際觀察而言，波動率的期限結(jié)構(gòu)，期斜率確實是下降的，但下降的速度快于所羅門兄弟模型所蘊(yùn)含的速度。精品資料Black-Derman-Toy模型(móxíng)和所羅門兄弟模型相比，這一模型的最主要的優(yōu)點是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實際波動情況。這是因為，它假設(shè)短期利率波動率σ隨時間而變動，且利率的趨勢變量(biànliàng)m將受到利率水準(zhǔn)的影響。業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，利率水平偏高時，它的趨勢變量(biànliàng)相對較小，甚至為負(fù)值，而當(dāng)利率水平偏低時，趨勢變量(biànliàng)相對較大。也就是說具有所謂的均值復(fù)歸現(xiàn)象。精品資料Black-Derman-Toy模型(móxíng)BDT模型具有(jùyǒu)如下的結(jié)構(gòu)：為了保證樹狀圖時結(jié)合的，我們一般假定這相當(dāng)于假定，精品資料其他(qítā)的利率模型同樣(tóngyàng)的是，BDT模型也并非是完美無缺的，它也存在很多缺陷，后續(xù)的模型也對其進(jìn)行了改進(jìn)。無套利的利率模型還有，BlackandKarasinski(1990)模型HullandWhite(1990)模型等利率模型中的均衡模型有Vasicek(1977)模型RendlemanandBartter(1980)模型Cox,IngersollandRoss(1985)模型等精品資料無套利(tàolì)模型和均衡模型的比較取得模型所需要的資料無套利模型需要即期(jíqī)利率期限結(jié)構(gòu)的資料，相對容易取得；均衡模型需要以某種方法來衡量投資者承擔(dān)利率風(fēng)險所需要的報酬，難以取得。對資料瑕疵的敏感程度無套利機(jī)構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理，但事實上，市場報價并不必然合理，這可能是由于計算上的錯誤、流動性限制或其他特殊因素所造成。均衡模型則能剔除這類有問題的價格。精品資料無套利模型(móxíng)和均衡模型(móxíng)的比較運(yùn)用模型(móxíng)來交易現(xiàn)金流量固定的債券無套利模型(móxíng)認(rèn)為所有債券的價格都是正確的，因此認(rèn)為任何策略都無利可圖；而均衡模型(móxíng)并不認(rèn)為現(xiàn)有債券價格必然合理，因此可以被應(yīng)用。運(yùn)用模型(móxíng)來交易衍生性合約指買進(jìn)或賣出衍生性合約，同時運(yùn)用根本正貨或其他衍生性合約來規(guī)避頭寸的風(fēng)險。這種策略的獲利只需要知道相對定價錯誤即可。而無套利模型(móxíng)可以很好的滿足這一需求，但均衡模型(móxíng)則需要同時計算兩種策略的值，因此相對不合理。精品資料無套利(tàolì)模型和均衡模型的比較模型的持續(xù)性每當(dāng)運(yùn)用的時候，無套利機(jī)會模型需要假設(shè)趨勢變量、波動率與利率回歸均值的行為。但是(dànshì)不同的運(yùn)用日期，模型的參數(shù)都需要相應(yīng)的變化。而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅定的信念來設(shè)定參數(shù)，所以模型的參數(shù)不會發(fā)生變化。均有內(nèi)部的一致性。精品資料無套利模型(móxíng)和均衡模型(móxíng)的比較精品資料給頂、底、互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)定價我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風(fēng)險(fēngxiǎn)中性定價原理，也理解了利率二叉樹的構(gòu)建過程。從這里開始，我們可以給各種利率期權(quán)定價了，下面的內(nèi)容包括：頂與底互換選擇權(quán)可轉(zhuǎn)換債券精品資料頂與底利率的頂是一個選擇權(quán)，它限制住了浮動利率負(fù)債所支付的最高利率水平。利率的底是一個選擇權(quán)，它限制住了浮動利率負(fù)債所支付的最低利率水平。頂和底可以：脫離貸款本身，可以通過單獨交易(jiāoyì)來獲得。與證券相連，其價格體現(xiàn)在了證券的利率當(dāng)中。精品資料頂與底一個頂可以被理解(lǐjiě)為關(guān)于浮動利率R的一串calloptions。一個底可以被理解(lǐjiě)為關(guān)于浮動利率R的一串putoptions。頂和底被分離出來的部分被稱為“caplets”,“floorlets”頂?shù)挠?本金×期限×max[Rt-Rk,0]Rt=t期的利率Rk=caprate注意是你購買了頂，給你帶來的利益，而不是實際支付的利率！精品資料例:給Cap定價(dìngjià)Caprate5.2%,名義數(shù)量:$10,000,000,支付(zhīfù)頻率:年利率變化r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd=5.0483%精品資料例:Valueoftheyear1caplet22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%)11,058=0.5(22,890+0)/1.03511,058r0=3.5%22,890ru=5.4289%0rd=4.4448%精品資料例:Valueoftheyear2caplet66,009r0=3.5%111,008ru=5.4289%0rdd=4.6958%53,540rud=5.7354%180,530ruu=7.0053%25,631rd=4.4448%精品資料例:Valueoftheyear3caplet150,214r0=3.5%214,217ru=5.4289%96,726rd=4.4448%295,775ruu=7.0053%155,918rud=5.7354%46,134rdd=4.6958%399,870ruuu=9.1987%233,120ruud=7.5312%96,600rudd=6.1660%0rddd=5.0483%精品資料例:ValueofCapValueofcap=valueofcaplet1+valueofcaplet2+valueofcaplet=11,058+66,009+150,214=227,281精品資料例:給Floor定價(dìngjià)Floorrate4.8%,名義(míngyì)金額:$10,000,000,支付頻率:年利率變化如下：r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd=5.0483%精品資料例:Valueoftheyear1floorlet35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%)17,159=0.5(35,520+0)/1.03517,159r0=3.5%0ru=5.4289%35,520rd=4.4448%精品資料例:Valueoftheyear2floorlet2,410r0=3.5%0ru=5.4289%10,420rdd=4.6958%0rud=5.7354%0ruu=7.0053%4,988rd=4.4448%精品資料例:Valueoftheyear3floorlet0r0=3.5%0ru=5.4289%0rd=4.4448%0ruu=7.0053%0rud=5.7354%0rdd=4.6958%0ruuu=9.1987%0ruud=7.5312%0rudd=6.1660%0rddd=5.0483%精品資料例:ValueofFloorValueoffloor=valueoffloorlet1+valueoffloorlet2+valueoffloorlet=17,159+2,410+0=19,569精品資料互換選擇權(quán)（Swaptions）例：有下面互換：名義本金$1000，期限(qīxiàn)3年。固定利率支付方每年支付10.1%,他擁有選擇權(quán)，使他隨時可以終結(jié)互換。我們的目的是要確定這一互換選擇權(quán)的價值。假定在0時點利率為10%。利率上升與下降的概率各為50%。利率路徑如下：精品資料例:Swaptionsr0=10%ru=11%rd=9%ruu=12%rud=10%rdd=8%精品資料例:Swaptions如果理解為本金也相互交換，對于分析(fēnxī)該問題，也許更為方便。由于收和付的金額是相等的，這不會影響期權(quán)的價值。我們的分析(fēnxī)是從后往前走的。主要注意的是，互換是按照年初約定的利率，而在年底互換的。精品資料例:Swaptions在Time2:市場利率分別為12%,10%,or8%.如果是12%,固定利率最后(zuìhòu)支付額的現(xiàn)值=$1101/1.12=$983.04(YOU)浮動利率最后(zuìhòu)支付額的現(xiàn)值=$1120/1.12=$1000.00不執(zhí)行！因此，期權(quán)的價值為$0.精品資料例:Swaptions如果是10%,固定利率最后支付額的現(xiàn)值=$1101/1.10=$1000.91(YOU)浮動(fúdòng)利率最后支付額的現(xiàn)值=$1100/1.10=$1000.00執(zhí)行的價值為$0.91,所以，期權(quán)的價值為$0.91.精品資料例:Swaptions如果(rúguǒ)是8%,固定利率最后支付額的現(xiàn)值=$1101/1.08=$1019.44(YOU)浮動利率最后支付額的現(xiàn)值=$1080/1.08=$1000.00執(zhí)行的價值為$19.44,所以，$19.44.精品資料例:Swaptions在Time1:市場利率分別為11%orat9%.如果是11%,剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值=101/1.11+0.5(1101/1.10+1101/1.12)/1.11=$984.66(YOU)浮動利率支付的現(xiàn)值=110/1.11+1000(1+r2)/[(1.11)(1+r2)]=$1000.不執(zhí)行!另外，你仍然有選擇權(quán)，該選擇權(quán)也許在下一期(yīqī)帶來價值。期權(quán)的現(xiàn)值為:[.5(0)+.5(.91)]/1.11=$.41精品資料例:Swaptions如果是9%,剩下的固定利率支付額的現(xiàn)值=101/1.09+.5(1101/1.08+1101/1.10)/1.09=$1019.35浮動利率支付的現(xiàn)值=1090/1.09=$1000.執(zhí)行的價值為$19.43.等待的價值也許超過執(zhí)行的價值.=[.5(19.43)+.5(.91)]/1.09=$9.33.結(jié)論(jiélùn):立即執(zhí)行!價值=$19.35精品資料例:Swaptions在Time0:利率為10%,剩下的固定(gùdìng)利率支付額的現(xiàn)值=1002.771002.77r0=10%984.66101ru=11%1019.43101rd=9%983.04101ruu=12%1000.91101rud=10%1019.44101rdd=8%1101110111011101精品資料例:Swaptions浮動利率支付的現(xiàn)值=1100/1.1=$1000.立即執(zhí)行的價值為$2.76.但是,也許等待的價值更高.不執(zhí)行則期權(quán)的價值為:[.5(.41)+.5(19.35)]/1.1=$8.98.在time0，期權(quán)的價值為$8.98。我們(wǒmen)終于找到了它！精品資料可贖回(shúhuí)債券與可回售債券可贖回債券是指賦予(fùyǔ)發(fā)行人在到期日之前按照約定價格贖回債券的權(quán)利?？苫厥蹅侵纲x予(fùyǔ)投資者在到期日之前將債券按照約定的價格回售給發(fā)行者的權(quán)利。精品資料可贖回(shúhuí)債券與可回售債券可贖回債券價格=不可贖回債券價格-期權(quán)價格之所以從不可贖回債券價格中減去期權(quán)的價格，是因為投資者向發(fā)行者出售期權(quán)時會收到期權(quán)價格，這等同于減少了債券購買價格?？苫厥蹅瘍r格=不可回售債券價格+期權(quán)價格之所以不可回售債券價格加上期權(quán)價格才等于可回售債券價格，是因為投資者向發(fā)行者購買期權(quán)時會支付(zhīfù)期權(quán)價格，這等于增加了債券購買價格。精品資料可贖回債券價格的確定——利率(lìlǜ)二叉樹的方法假定市場上存在普通債券和可贖回債券兩種債券，債券的面值(miànzhí)都是100元，票面利率都是6.5%，剩余期限都是四年?？哨H回債券在一年后可以按照面值(miànzhí)100元提前贖回。4年期的債券價格的利率二叉樹如下：3.5%4.4448%5.4259%4.6958%5.7354%7.0053%5.0483%6.1660%7.5312%9.9187%精品資料可贖回債券(zhàiquàn)價格的確定我們已經(jīng)知道如何計算任何一個節(jié)點處的債券的價值V，由于發(fā)行者可以按照贖回價贖回債券，因此(yīncǐ)，只要某節(jié)點處計算出的債券價值超過贖回價，發(fā)行者就可以按照贖回價贖回債券以減少自己的負(fù)債。因此(yīncǐ)，我們首先計算所有節(jié)點處的價值V，然后取贖回價100元和V兩者之中的較小值作為該節(jié)點債券的價值。這樣我們可以構(gòu)造出下圖：精品資料可贖回債券價格(jiàgé)的確定102.8993.500%1006.55.4289%1006.54.6958%1006.55.7354%97.9256.57.0053%1006.55.0483%1006.56.1660%99.0416.57.5312%97.9256.59.1987%1006.54.4448%1006.51006.51006.51006.51006.5精品資料可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券可轉(zhuǎn)換債券是一種公司債，持有人有權(quán)在規(guī)定期限內(nèi)按事先(shìxiān)確定的轉(zhuǎn)換價格將其轉(zhuǎn)換成發(fā)行人普通股股票的期權(quán)。它可以看成是由兩部分構(gòu)成：普通債券加上賦予債券投資人將債券轉(zhuǎn)換為發(fā)行人普通股股票的權(quán)利。精品資料可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的有關(guān)術(shù)語可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的價格就是指投資者購買可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券時實際支付的價格?？赊D(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的投資價值是指可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券作為普通債券的價值，即取消可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)條款后的普通債券的價值。轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)比率是事先規(guī)定的一個可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券可以轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)為普通股股票的數(shù)量。相應(yīng)的，我們可以得到轉(zhuǎn)股價格。轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)價值則等于轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)時普通股票的價格與轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)比率的乘積，也就是投資者將可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券換成股票后股票的市場價值。轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)價值=轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)時普通股票價格*轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)比率精品資料可轉(zhuǎn)換債券的有關(guān)(yǒuguān)術(shù)語市場轉(zhuǎn)換價格是指，如果一個投資者購買可轉(zhuǎn)換債券，然后立即(lìjí)將其轉(zhuǎn)為股票，該投資者為普通股票實際支付的價格。市場轉(zhuǎn)換價格=可轉(zhuǎn)換債券的市場價格/轉(zhuǎn)換比率市場轉(zhuǎn)換價格是一個對分析比較有用的數(shù)字，如果股票市場價格與市場轉(zhuǎn)換價格水平一致，股票價格進(jìn)一步的上升都會使可轉(zhuǎn)換債券的價值增加，其增加數(shù)額至少與股票價格上升的數(shù)額相同，因此，市場轉(zhuǎn)換價格可被視為一個盈虧平衡點。精品資料可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的有關(guān)術(shù)語可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)的價格一般會超過轉(zhuǎn)換價值，即市場轉(zhuǎn)換價格一般會大于當(dāng)期的股票價格。轉(zhuǎn)換溢價等于可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)的價格超過轉(zhuǎn)換價值的部分占轉(zhuǎn)換價值的比率。用公式表示如下：轉(zhuǎn)換溢價=（可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)的市場價格-轉(zhuǎn)換價值）/轉(zhuǎn)換價值可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)的附加條款可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)一般會同時規(guī)定許多附加條款，如轉(zhuǎn)股期、轉(zhuǎn)股價修正條款、可贖回條款和可回售條款。精品資料可轉(zhuǎn)換(zhuǎnhuàn)債券的價值可轉(zhuǎn)換債券的價值可以由兩部分構(gòu)成：普通債券加上債券持有者將債券轉(zhuǎn)換為普通股票的期權(quán)。由此，可轉(zhuǎn)換債券的價值可以分為三個部分：普通債券價值、轉(zhuǎn)換價值和期權(quán)價值。可轉(zhuǎn)換債券的價值至少(zhìshǎo)不會低于以下兩者中的最高者：普通債券價值和轉(zhuǎn)換價值。精品資料可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)的價值從上圖中可以看出，可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)價值等于普通債券(zhàiquàn)價值和轉(zhuǎn)換價值兩者之間的最大值與期權(quán)價值之和。可轉(zhuǎn)換債券(zhàiquàn)價值=max(普通債權(quán)價值，轉(zhuǎn)換價值)+期權(quán)價值股票價格轉(zhuǎn)換價值普通債券價值轉(zhuǎn)換價值期權(quán)價值價值底線轉(zhuǎn)股比率可轉(zhuǎn)換債券價值圖解精