L5 晶體學基礎(chǔ)與張量基礎(chǔ)

1第五講：晶體學基礎(chǔ)與張量基礎(chǔ)光電功能材料陸延青、胡偉南京大學現(xiàn)代工程與應用科學學院2參考書籍主要參考：《晶體物理性質(zhì)與檢測》，陳春榮等，北京理工大學出版社（簡明扼要，有電子版）進階讀物：《晶體物理學基礎(chǔ)》，陳綱等，科學出版社（較詳盡）3常見物態(tài)d.液晶e.等離子體（電漿）4晶體的種類與鍵合◆金屬晶體◆離子晶體◆分子晶體◆原子晶體◆混合晶體◆小結(jié)晶體類型金屬晶體離子晶體原子晶體分子晶體導電性良導體水溶液或熔體易導電絕緣體或半導體絕緣體實例Na,Al,Fe,Cu等金屬單質(zhì)與合金NaCl,CaO,MgO,Na2So4KBr,方解石金剛石，Si,Ge,SiC,SiO2,立方BNCO2,CH4,I2,H2O,萘，尿素，O2應用金屬和合金耐火材料，電解質(zhì)，晶體功能材料高硬材料，半導體材料低溫材料事實上，在所有的晶態(tài)物質(zhì)中，典型的金屬鍵，離子鍵和共價鍵是很少見的，大多數(shù)晶態(tài)物質(zhì)中的化學鍵都是兩種鍵型的混雜情況，這不但影響到晶體的物理性質(zhì)，而且影響到晶體的結(jié)構(gòu)，因此，實際情況往往要比上述討論復雜得多，但掌握了上述基本原理和基本知識，就等于掌握了晶體學進門的鑰匙。51：離子鍵大多數(shù)鹽類、堿類和金屬氧化物主要以離子鍵的方式結(jié)合。離子鍵鍵合的基本特點是以離子而不是以原子為結(jié)合單元。一般離子晶體中正負離子靜電引力較強，結(jié)合牢固。因此。其熔點和硬度均較高。另外，在離子晶體中很難產(chǎn)生自由運動的電子，因此，它們都是良好的電絕緣體。但當處在高溫熔融狀態(tài)時，正負離子在外電場作用下可以自由運動，即呈現(xiàn)離子導電性。離子鍵62:共價鍵共價鍵的實質(zhì)就是兩個或多個電負性相差不大的原子間通過共用電子對而形成的化學鍵。共價鍵鍵合的基本特點是核外電子云達到最大的重疊，形成“共用電子對”，有確定的方位，且配位數(shù)較小。

共價鍵的結(jié)合極為牢固，故共價晶體具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、熔點高、質(zhì)硬脆等特點。共價形成的材料一般是絕緣體，其導電性能差。共價鍵73：金屬鍵金屬中的自由電子和金屬正離子相互作用所構(gòu)成鍵合稱為金屬鍵。金屬鍵的基本特點是電子的共有化。既無飽和性又無方向性，因而每個原子有可能同更多的原子相結(jié)合，并趨于形成低能量的密堆結(jié)構(gòu)。當金屬受力變形而改變原子之間的相互位置時，不至于使金屬鍵破壞，這就使金屬具有良好延展性，并且，由于自由電子的存在，金屬一般都具有良好的導電和導熱性能。金屬鍵84：范德華鍵

屬物理鍵，系一種次價鍵，沒有方向性和飽和性。比化學鍵的鍵能少1～2個數(shù)量級。主要由靜電力、誘導力和色散力組成。5：氫鍵它是由氫原子同時與兩個電負性很大而原子半徑較小的原子（Ｏ，Ｆ，Ｎ等）相結(jié)合而產(chǎn)生的具有比一般次價鍵大的鍵力，具有飽和性和方向性。氫鍵在高分子材料中特別重要。范德華鍵與氫鍵9晶體的外觀KTP10晶體晶體是質(zhì)點（原子、分子或離子）以周期性重復方式在三維空間作有規(guī)律排列的固體。晶體與非晶體的區(qū)別：a.根本區(qū)別：質(zhì)點是否在三維空間作有規(guī)則的周期性重復排列。b.熔化時：晶體具有固定的熔點,而非晶體無明顯熔點,只存在一個軟化溫度范圍。c.性能：晶體具有各向異性,非晶體呈各向同性。

單晶體與多晶體1.單晶體質(zhì)點按同一取向排列。由一個核心（稱為晶核）生長而成的晶體2.多晶體通常由許多不同位向的小晶體(晶粒）所組成。3.晶粒與晶粒之間的界面稱為晶界4.多晶體材料一般顯示出各向同性——假等向性

11晶體與玻璃（如石英晶體與石英玻璃）12晶體的點陣結(jié)構(gòu)圖晶體結(jié)構(gòu)，a)晶體b)晶格c)晶胞13空間點陣空間點陣是在三維空間按周期性排列的幾何點。簡稱點陣。

空間點陣可任意選擇三個不共面的基矢進行劃分，由于基矢不同，可以劃分出不同的多種形式的平行六面體，但基本上只屬于兩種：一種是每一平行六面體中只有在頂角處有陣點，每個平行六面體中只包含一個陣點。換句話說，一個陣點被八個平行六面體所瓜分，而一個平行六面體的八個角上各有1/8個陣點，合起來相當于一個陣點。這樣的平行六面體稱為素單位。另一種是每個平行六面體中包含兩個或兩個以上的陣點，即除頂角處有陣點外，在其它位置上也有陣點，稱這樣的平行六面體為復單位。下圖給出了平面點陣和空間點陣的素單位及復單位。14晶體構(gòu)造的最小體積單位叫晶胞，它能反映晶體內(nèi)部質(zhì)點排列的周期性和對稱性。同一空間點陣可因選取方式不同而得到不相同的晶胞?？臻g點陣和晶胞選取晶胞的原則：

1)選取的平行六面體應與宏觀晶體具有同樣的對稱性；2）平行六面體內(nèi)的棱和角相等的數(shù)目應最多；3）當平行六面體的棱角存在直角時，直角的數(shù)目應最多4）在滿足上條件，晶胞應具有最小的體積。點陣參數(shù)：晶軸，三個棱邊a，b，c晶軸夾角：α，β，γ15七大晶系14種布拉菲（Bravais）格子

七大晶系根據(jù)6個點陣參數(shù)間的相互關(guān)系，可將全部空間點陣歸屬于7種類型，即7個晶系。14種布拉菲（Bravais）格子

根據(jù)平行六面體劃分原則，布拉菲導出14種空間格子，這14種空間格子就稱為布拉維格子?？煞譃?種類型。

（1）原始格子（P）又稱簡單格子，結(jié)點分布在平行六面體的幾個角頂，每個晶系都有一個原始格子。

（2）底心格子（C）

結(jié)點分布在平行六面體的角頂和一對平面的中心。

（3）體心格子（Ⅰ）

結(jié)點分布在平行六面體的角頂和平行六面體的中心。

（4）面心格子（F）

結(jié)點分布在平行六面體的角頂和平行六面體中每個面的中心。

16七大晶系14種布拉菲（Bravais）格子17

根據(jù)6個點陣參數(shù)間的相互關(guān)系，可將全部空間點陣歸屬于7種類型，即7個晶系。布拉菲（BravaisA．）用數(shù)學方法推導出能夠反映空間點陣全部特征的單位平面六面體只有14種，稱布拉菲格子。

晶系

布拉菲點陣晶系布拉菲點陣三斜簡單三斜六方簡單六方單斜簡單單斜

底心單斜三方（菱方）簡單三方正交簡單正交底心正交

體心正交

面心正交四方簡單四方體心四方立方簡單立方體心立方面心立方七大晶系14種布拉菲（Bravais）格子18點坐標、晶向指數(shù)、晶面指數(shù)如前所述，在確定了晶胞之后，就等于在晶體結(jié)構(gòu)中或在空間點陣中建立起一個坐標系。那么，點陣中每一個陣點都可用一定的指標來標記它們的確切位置。如選擇某一陣點作為該坐標系的原點，則任一陣點的位移矢量是

則就是該陣點的坐標，在晶體學中通常用雙方括號來表示，即。下圖給出了陣點[[231]]及相應的矢量R。

陣點[[231]]在陣點中的位置NaCl晶體結(jié)構(gòu)●Na○Cl19點坐標、晶向指數(shù)、晶面指數(shù)晶面指數(shù)和晶向指數(shù)在晶體內(nèi)部構(gòu)造中，由物質(zhì)質(zhì)點所組成的平面成稱為晶面；穿過物質(zhì)質(zhì)點所組成的直線方向稱為晶向。晶向指數(shù)求法：晶向指數(shù)求法：1）

確定坐標系2）

過坐標原點，作直線與待求晶向平行；3）

在該直線上任取一點，并確定該點的坐標（x，y，z）；4）

將此值化成最小整數(shù)u，v，w并加以方括號[uvw]即是。晶面指數(shù)求法：晶面指數(shù)求法：1）

在所求晶面外取晶胞的某一頂點為原點o，三棱邊為三坐標軸x，y，z；2）

以棱邊長a為單位，量出待定晶面在三個坐標軸上的截距；3）

取截距之倒數(shù)，并化為最小整數(shù)h，k，l并加以圓括號（hkl）即是。20點坐標、晶向指數(shù)、晶面指數(shù)晶向指數(shù)晶面指數(shù)立方晶體中的幾個晶向和晶面21晶體的基本性質(zhì)晶體的各向異性空間點陣的對稱22晶體的對稱性：晶體的宏觀對稱要素對稱中心C：若晶體中所有的點在經(jīng)過某一點反演后能復原，則該點就稱為對稱中心對稱面P：晶體通過某一平面作鏡像反映而能復原，則該平面稱為對稱面或鏡面。旋轉(zhuǎn)對稱軸Ln：當晶體繞某一軸旋轉(zhuǎn)而能完全復原時，此軸即為旋轉(zhuǎn)對稱軸。注意該軸線定要通過晶格單元的幾何中心，且位于該幾何中心與角頂或棱邊的中心或面心的連線上。在回轉(zhuǎn)一周的過程中，晶體能復原n次，就稱為n次對稱軸。旋轉(zhuǎn)-倒反軸Lni：若晶體繞某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度,再以軸上的一個中心點作反演之后能得到復原時，此軸稱為旋轉(zhuǎn)－倒反軸。23旋轉(zhuǎn)-倒反軸24旋轉(zhuǎn)-倒反軸25晶體的宏觀對稱要素26晶體的宏觀對稱要素（續(xù)）27從主要的對稱性來看七大晶系立方晶系有四個３次軸四方晶系唯一的高次軸為４次軸或４次反軸六方晶系唯一的高次軸為６次軸或６次反軸三方晶系唯一的高次軸為３次軸和３次反軸單斜晶系二次軸或反映面等于１正交晶系二次軸或反映面大于１三斜晶系只有１次軸28從主要的對稱性來看七大晶系二、根據(jù)晶體中高次軸的數(shù)目，晶體分為三個晶族：１、具有四個三次軸的立方晶系為高級晶族。２、只有一個高次軸的晶體屬于中級晶族。四次晶系，三方晶系，六方晶系均屬于中級晶族。３、無高次軸的晶體為低級晶族。三斜晶系，單斜晶系，正交晶系屬于低級晶族。29晶體的點群晶體的分類在晶體中，可以只存在一個對稱要素，也可有若干個對稱要素組合在一起共同存在。不同類型的晶體，其對稱要素的數(shù)目和組合情況各不相同。根據(jù)對稱情況，把對稱型相同的所有晶體歸于一類，叫做晶類。在晶體中共有32種對稱型，也就有32個晶類。由于每個晶類中的所有對稱要素至少交于一點，所以把這些共點的宏觀對稱要素的集合所構(gòu)成的對稱群稱為點群，32個晶類對應于32種點群。30極射赤面投影圖晶體的球面投影極射赤平投影31對稱要素的空間分布3232個點群的極射赤面投影圖P1433晶體學坐標系P15－16根據(jù)結(jié)晶學理論，晶體的晶軸必須符合晶體空間點陣規(guī)律和對稱性，因此，總是選擇點陣中的行列方向作為晶軸，就是以晶體的自然坐標系為晶體學坐標系，坐標軸用a,b,c或X,Y,Z來表示。四方晶系KDP（）晶體的晶系立方晶系m3m點群的晶軸(a)立方體(b)八面體34晶體物理學坐標系P17－18在對晶體的物理性質(zhì)進行描述時，采用上述借助于晶體本身的自然坐標系有時不夠方便，所以從事晶體物理工作的人們另行規(guī)定了一套坐標系，這是一套直角坐標系，坐標軸用x1,x2,x3表示，三個軸的單位長度相等，且滿足右手螺旋法則。由于這套坐標系是為了便于描述以矩陣形式表示的各類晶體的物理性質(zhì)，因此稱之為晶體物理學坐標系。35形象的總結(jié)P14，圖1－1932種點群的極射赤面投影圖晶體學坐標系與晶體物理學坐標系的選取均標于圖中36張量基礎(chǔ)Chapter2，P20－3337材料性能的種類

按照對外場的響應分為物理性能結(jié)構(gòu)敏感和結(jié)構(gòu)不敏感穩(wěn)態(tài)的和非穩(wěn)態(tài)的平衡的和非平衡的物理、化學、力學電學（對電場）：電導率、介電常數(shù)磁學（磁場）：磁導率、矯頑場熱學（熱場）：熱導率、熱膨脹、熱容聲學（彈性波）：傳播速率光學（電磁場）：折射率、光吸收38材料性能的抽象表示描述宏觀物理性質(zhì)的物理量是由宏觀可測量的物理量之間的關(guān)系來定義，如電極化率是由施加在材料上的電場強度Ｅ和由此感生的電極化強度Ｐ這兩個可測量的關(guān)系：來定義。一般而言，某物理量Ｃ用這樣的公式來定義。其中，Ａ稱為作用物理量，它代表施加于材料上的各種作用，如上述的電場強度Ｅ；Ｂ稱為感生物理量，是該材料受Ａ作用而產(chǎn)生的物理量，如受電場作用而產(chǎn)生的電極化強度Ｐ；Ｃ則聯(lián)系著Ａ與Ｂ之間的關(guān)系，代表了材料本身的特性，即材料的某種物理量，屬物質(zhì)量。而Ａ和Ｂ并不代表材料的本身性質(zhì)，都是可測量的物理量，屬場量。一般是通過測量Ａ和Ｂ。用（２）式確定材料的物理量Ｃ。無論是場量還是物質(zhì)量都可以是張量。（１）（２）39標量、矢量和二階張量☆

標量：與方向無關(guān)，如密度、質(zhì)量、溫度等；☆

矢量：既有大小又有方向，如力、速度、電場強度等；☆

二階張量：例——歐姆定律

——各向同性：

——各向異性：40二階張量的表示愛因斯坦求和規(guī)則：下標表示法下標表示必須成對出現(xiàn)ｉ為自由下標，ｊ為下標41坐標變換★

坐標軸變換★

矢量變換注：此處P與P*均為行向量42矢量變換法則43二階張量的變換若有：令：則：若有：令：則：44高階張量的變換二階張量三階張量四階張量45張量的性質(zhì)★

張量的定義

——張量是與坐標系有聯(lián)系的一組量，并滿足一定的坐標變換規(guī)律?！?/p>

張量的性質(zhì)

——任何兩個張量相乘所得到新張量的階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；

——兩個張量間的比例系數(shù)一般是一個張量，其階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；

——張量的變換規(guī)律與坐標乘積的變換規(guī)律相同；

——變換矩陣與二階張量的區(qū)別46二階對稱張量★對稱張量：——對稱張量有6個對立分量——簡約表示：11→1、22→2、33→3、23→4、13→5、12→6★反對稱張量：——反對稱張量有3個對立分量——簡約表示：23→α、13→β、12→-γ47二階對稱張量的示性二次曲面二次曲面方程★★坐標變換將（2）帶入（1）中左式，得：（1）（2）所以：—二次曲面方程系數(shù)與張量分量具有相同的變換規(guī)律；—二次曲面方程稱為張量S示性曲面；—示性二次曲面可描述具有二階對稱張量性質(zhì)的物理特性48示性二次曲面的主軸★二次曲面的主軸方程★二次曲面★示性二次曲面的性質(zhì)—S1>0、S2>0、S3>0:橢球面—S1、S2、S3其中之一<0:單葉雙曲面—S1、S2、S3其中之一>0:雙葉雙曲面—

示性二次曲面上的任意一條徑矢長度r等于張量S在該徑矢方向上的量值平方根的倒數(shù)。