最值導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

最值

區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)取得區(qū)間端點(diǎn)取得極值點(diǎn)駐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、函數(shù)的最值1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（?。┲怠袂箝]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的步驟：①求出在區(qū)間內(nèi)部的所有駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。②計(jì)算上述點(diǎn)及端點(diǎn)處的函數(shù)值。③

比較計(jì)算出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是

函數(shù)的最大值，最小者就是函數(shù)的最小值?！?/p>

若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)，則最值在端點(diǎn)處取得。例

求在上的最大值和最小值。解令得駐點(diǎn)：所求的最大值為最小值為（舍）又2、實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要求在一定條件下，怎樣才能使用料最省，容積最大，平均成本最低，費(fèi)用最少等問(wèn)題，這些問(wèn)題反映到數(shù)學(xué)上，都可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大（?。┲祮?wèn)題?！?/p>

利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值時(shí)，若所建立的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)

，且從實(shí)際問(wèn)題可知在內(nèi)必定有最值，則就是最值點(diǎn)。例1將邊長(zhǎng)為的正方形四角截去四個(gè)相等的小解設(shè)所截小正方形的邊長(zhǎng)為由題意得：令得駐點(diǎn)：（惟一的駐點(diǎn)）當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為時(shí)，能使盒的容積最大。正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒，問(wèn)小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，能使盒的容積最大？例2

要制造一個(gè)容積為的帶蓋圓柱形鐵桶，問(wèn)底半徑和高分別為何值時(shí)，才能使所用的鐵皮最??？設(shè)鐵桶的表面積為由題知解令得駐點(diǎn)：（唯一的駐點(diǎn)）從而當(dāng)?shù)装霃剑邥r(shí)所用的鐵皮最省。練習(xí)

制作一個(gè)底面為正方形，體積為64的

封閉長(zhǎng)方體容器，如何設(shè)計(jì)才能使所用材料最?。?/p>

解

設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，高為，長(zhǎng)方體的表面積為由題意得：令得惟一駐點(diǎn)：故….（一）經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)1、需求函數(shù)在一定的價(jià)格水平下，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量。設(shè)需求量，價(jià)格，則●

一般地，需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)。需求量由多種因素決定。其中商品的市場(chǎng)價(jià)格是影響它的一個(gè)主要因素。需求量：五、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用2、供給函數(shù)在一定的價(jià)格水平下，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出售的商品量。供給量也由多種因素決定。設(shè)供給量，價(jià)格，則●

一般地，供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)。供給量：●

市場(chǎng)均衡對(duì)一種商品而言，若，則稱此商品達(dá)到市場(chǎng)均衡。市場(chǎng)均衡價(jià)格：市場(chǎng)均衡數(shù)量：▽例1已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為：供給函數(shù)為：求該產(chǎn)品的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量。解由得解之，故從而▽3、成本函數(shù)生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所要投入的各種生產(chǎn)要素的總費(fèi)用。廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊，管理者的固定工資等它不隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。變動(dòng)成本：原材料費(fèi)用、工人工資等，它隨產(chǎn)品產(chǎn)量的變化而變化。成本函數(shù)：平均成本函數(shù)：成本：固定成本：4、收入函數(shù)(收益函數(shù))生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。設(shè)總收入，銷售量，收入函數(shù)：價(jià)格，則平均收入函數(shù)：總收入：5、利潤(rùn)函數(shù)總收入與總成本之差。利潤(rùn)函數(shù)：平均利潤(rùn)函數(shù)：●盈利：虧損：盈虧平衡：利潤(rùn)：例2

設(shè)某商品的需求函數(shù)為：試求該商品的收入函數(shù)，并求銷量為200件時(shí)的總收入和平均收入。

由得又解（二）邊際定義：若是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的某個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則稱邊際函數(shù)值。的邊際函數(shù)。邊際函數(shù)在點(diǎn)處的●

邊際成本：●

邊際收益：●

邊際利潤(rùn)：▽●邊際函數(shù)的經(jīng)濟(jì)解釋的經(jīng)濟(jì)解釋：函數(shù)在點(diǎn)處，當(dāng)改變一個(gè)單位時(shí)，相應(yīng)地近似改變個(gè)單位。證明：▽例1

某化工廠日生產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品求：當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本。的經(jīng)濟(jì)解釋：解的總成本（單位：元）是日產(chǎn)量（單位：噸）的函數(shù)：▽

例2設(shè)某種家具的需求函數(shù)為

為需求量。試求銷售450件時(shí)的邊際收入。其中（單位：元）為家具的銷售價(jià)格，（單位：件）解由得收入函數(shù)為邊際收入函數(shù)為故的經(jīng)濟(jì)解釋：▽（三）經(jīng)濟(jì)分析中的最值問(wèn)題例1

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品千件時(shí)的總成本函數(shù)為：（萬(wàn)元），單位銷售價(jià)格為：（萬(wàn)元/千件），試求：1）產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？2）最大利潤(rùn)是多少？解1）由已知得利潤(rùn)函數(shù)從而有令得駐點(diǎn)是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn)。故當(dāng)產(chǎn)量為千件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大。（2）最大利潤(rùn)為（萬(wàn)元）是利潤(rùn)函數(shù)的的唯一駐點(diǎn)，又該問(wèn)題確實(shí)存在最大利潤(rùn)。例2某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為（為需求量，為價(jià)格）。試求：1）成本函數(shù)，收入函數(shù)；2）產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大？解1）成本函數(shù)故收入函數(shù)2）利潤(rùn)函數(shù)令得駐點(diǎn)是利潤(rùn)函數(shù)的唯一駐點(diǎn)，又該問(wèn)題確實(shí)存在最大利潤(rùn).

是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn)。故當(dāng)…..例3設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為：其中是產(chǎn)量（單位：臺(tái)）.（萬(wàn)元），求使平均成本最小的產(chǎn)量，并求最小平均成本