數(shù)列的極限函數(shù)的極限

第二章極限與連續(xù)縱觀微積分的發(fā)展史，微積分發(fā)展初期進(jìn)展非常緩慢，究其原因，是因?yàn)闆](méi)有形成系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，而理論基礎(chǔ)的核心是極限。極限的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，莊子在《天下篇》中寫(xiě)道“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”；劉徽的“割圓術(shù)”中說(shuō)“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”。2第一節(jié)極限的概念這都是極限思想的體現(xiàn)，古今中外一些學(xué)者雖曾有意無(wú)意地引用了一些極限方法，并隱約地體會(huì)到這種方法的重要性，但至到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們還是覺(jué)得極限概念十分模糊。18世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家達(dá)朗貝爾首次把極限理論作為分析的基礎(chǔ)，并給出了比較反映其實(shí)質(zhì)的極限定義，19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西出版了他的《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程》、《微分計(jì)算教程》等具有劃時(shí)代意義的著作，給出了比較嚴(yán)密的極限定義，從而將微積分建立在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上，帶動(dòng)了微積分的飛速發(fā)展。3

什么是極限？我們知道，微積分的研究對(duì)象是函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)變量，極限就是研究函數(shù)當(dāng)它的自變量有一個(gè)無(wú)限變化時(shí)，其因變量(函數(shù)值)的變化趨勢(shì)。4一、數(shù)列的極限1、割圓術(shù)：利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓的面積(一)概念的引入思路：利用圓的內(nèi)接正多邊形近似替代圓的面積隨著正多邊形邊數(shù)的增多，近似程度會(huì)越好。割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒崭顖A術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒崭顖A術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒铡案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒胀ㄟ^(guò)上面演示觀察得:

若正多邊形邊數(shù)n無(wú)限增大，則

正多邊形周長(zhǎng)無(wú)限接近于圓的周長(zhǎng)。2、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”——出自莊子《天下篇》(二)數(shù)列的極限的有關(guān)知識(shí)1.定義:

按一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列,記作．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng),第n項(xiàng)稱(chēng)為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).數(shù)列也可稱(chēng)作整標(biāo)函數(shù).

因?yàn)閿?shù)列可看成是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù).當(dāng)自變量

n按正整數(shù)1,2,3,…依次增大的順序取值時(shí),函數(shù)值按相應(yīng)的順序排列成一串?dāng)?shù):稱(chēng)為一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列.在幾何上一個(gè)數(shù)列可看成實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)列，也可看一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取值.注意：

例1xn0242nx1x2……x???????????????………xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項(xiàng)1xnx3x2x1x0………??????????…(三)、數(shù)列極限的直觀描述

2.上面數(shù)列(2),(4)收斂于0;數(shù)列(5)收斂于1;數(shù)列(1),(3)發(fā)散.3、舉例例1

判斷下列數(shù)列極限

2、

3、

4、解：1、

2、

3、不存在

不存在4、問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:對(duì)極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的憑觀察能判定數(shù)列的極限是多少嗎顯然不能問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.這就是“當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限地接近于1”的實(shí)質(zhì)和精確的數(shù)學(xué)描述。如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.(四)、數(shù)列極限的ε—N定義

通過(guò)上面的討論，我們可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把它敘述出來(lái)：，如果對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在一時(shí)，

恒成立，則稱(chēng)常數(shù)為數(shù)列的極限，定義:對(duì)于數(shù)列或稱(chēng)數(shù)列收斂于.記為

否則，稱(chēng)數(shù)列發(fā)散。個(gè)正整數(shù)N，使當(dāng)注①定義1習(xí)慣上稱(chēng)為極限的ε—N定義，它用兩個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫(huà)了極限的實(shí)質(zhì)，用|un－a|＜ε定量地刻畫(huà)了un與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個(gè)定義有三個(gè)要素：(ⅰ)正數(shù)ε，(ⅱ)正數(shù)N，(ⅲ)不等式|un－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對(duì)固定性。ε的二重性體現(xiàn)了un逼近a時(shí)要經(jīng)歷一個(gè)無(wú)限的過(guò)程（這個(gè)無(wú)限過(guò)程通過(guò)ε的任意性來(lái)實(shí)現(xiàn)），但這個(gè)無(wú)限過(guò)程又要一步步地實(shí)現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個(gè)有限的變化通過(guò)ε的相對(duì)固定性來(lái)實(shí)現(xiàn)）。③定義中的N是一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在ε相對(duì)固定后才能確定的，且由|un－a|＜ε來(lái)選定，一般說(shuō)來(lái)，ε越小，N越大，但須注意，對(duì)于一個(gè)固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。④

用定義驗(yàn)證un以a為極限時(shí)，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε，求出一個(gè)相應(yīng)的N，使當(dāng)n

＞N時(shí)，不等式|un－a|＜ε成立。⑤定義中的不等式|un－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而對(duì)則不要求它們一定成立這就表明數(shù)列un中的項(xiàng)到一定程度時(shí)變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱(chēng)謂的“收斂”。使得N項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都落在a點(diǎn)的ε鄰域因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例2

利用定義證明

證明：要使，只須

故：任給，總存在，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此

注意數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法,只能驗(yàn)證某個(gè)數(shù)是不是某數(shù)列的極限.二、函數(shù)的極限數(shù)列極限是一般函數(shù)極限的特殊情況.數(shù)列作為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，其自變量是離散的，而不是連續(xù)的.其自變量的變化過(guò)程只有一種，即趨于無(wú)窮大，記作但是，考察一般函數(shù)的極限時(shí)，自變量的變化過(guò)程可以是連續(xù)的，并出現(xiàn)了多種可能性.

由于數(shù)列實(shí)際上可以看成是定義在為正整數(shù)集上的一個(gè)函數(shù),所以可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.1.

x→∞時(shí)函數(shù)?(x)的極限定義：對(duì)函數(shù)?(x),

當(dāng)x取正值且無(wú)限增大時(shí)(即x→+∞

),?(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱(chēng)A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限.記為注：函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→+∞

時(shí)有極限與數(shù)列極限的不同點(diǎn)在于自變量一個(gè)是連續(xù)遞增的,一個(gè)是取自然數(shù)遞增的(數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情形).例如不存在

定義：對(duì)函數(shù)?(x),

當(dāng)x取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)(即x→－∞),如果?(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱(chēng)A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→－∞時(shí)的極限.記為例如不存在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題沒(méi)有?當(dāng)x+時(shí),函數(shù)趨于/2;當(dāng)x-時(shí),函數(shù)趨于-/2;那?例

定義：對(duì)函數(shù)?(x),

當(dāng)x絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)(即x→∞),

?(x)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱(chēng)A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限.記為充要條件：例不存在2

.x→x0

時(shí)函數(shù)?(x)的極限當(dāng)x從大于1和小于1的方向趨于1即當(dāng)x→1時(shí),函數(shù)?(x)無(wú)限接近于2.??oxy11(1,2)首先,考察函數(shù)y=?(x)=

(如右圖)(1)定義：設(shè)函數(shù)在的附近有定義，如果當(dāng)無(wú)限接近于但不等于時(shí)，無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)函數(shù)以為極限.記作注意：例：觀察并求出下列極限1o1-1=1=0=0=1=1=-1中所討論的x→x0

即x可從x0

的左右如(2).函數(shù)?(x)的左、右極限則只能考察x從0的右側(cè)趨于0時(shí)的極限.因而必須引進(jìn)左、右極限的概念.兩側(cè)趨于x0

.但有時(shí)可考察x

僅從x0

的左側(cè)趨于x0或右側(cè)趨于x0時(shí)函數(shù)(特別是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處)的極限.

的左側(cè)有定義，如果當(dāng)從左側(cè)無(wú)限接近于時(shí)的左極限為。記為①定義：設(shè)函數(shù)在但不等于時(shí)，無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)函數(shù)以為極限.也稱(chēng)在②定義：設(shè)函數(shù)在的右側(cè)有定義，如果當(dāng)從的右側(cè)無(wú)限接近于但不等于時(shí)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)函數(shù)以為極限．也稱(chēng)在時(shí)的右極限為．記為(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：③左極限和右極限統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)極限.定理

函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→x0

時(shí)極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y=?(x)的左極限和右極限都存在且等于A.即左右極限存在但不相等,證例例解？如何求分段點(diǎn)左右兩邊表達(dá)式相同不需分左右極限例

已知

求

解：1、

2、

即所以

不存在3、④

討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限的步驟:注意：有時(shí)不需分左右極限求解四、函數(shù)極限的幾個(gè)重要性質(zhì)為了敘述方便,將?(x)在x→∞或x→x0時(shí)的極限A統(tǒng)一記為1.唯一性

若存在,則極限值A(chǔ)唯一.lim?(x)=A2.有界性若,則在的某空心領(lǐng)域內(nèi)有界下面性質(zhì)以時(shí)極限為例，其它極限有類(lèi)似結(jié)