數(shù)學建模最佳市場價格

西瓜最佳市場價格【摘要】市場僅有兩家銷售西瓜，因此構(gòu)成一個壟斷體系，通過彼此產(chǎn)量競爭以及是否先把貨物投放市場來謀求個人利益最大化。本文通過分析市場價格，算出市場總利潤u€pq-0.5q，此時各自利潤最大。但是這個產(chǎn)量組合是不穩(wěn)定的，任意一方增加產(chǎn)量會使其利潤增加，所以當牛仔q€900時獲得了更多的利潤。王婆用“計中計”預先z向市場公布自己的種植量，采取先動優(yōu)勢，獲得了較大的利益u€900。但是在這種情lw況下，牛仔是不會不種植的。由此，最后兩家合作，利用Nash均衡，求出當，如果違約，任何一個瓜農(nóng)單獨提高或降低種植量時，都只會減少而不會增加利潤，因此，該產(chǎn)量組合是一個均衡。本文將西瓜種植推廣到更普遍的經(jīng)濟學中壟斷競爭現(xiàn)象，雙方進行博弈，以謀求利益的最大化。對兩種較為典型的寡頭進入方式，即：所有寡頭同時生產(chǎn)商品進入市場；某個寡頭等待其他頭先生產(chǎn)，依據(jù)對方產(chǎn)量決定自己產(chǎn)量和利潤。我們得出：采取先動優(yōu)勢，能使自己的利潤遠遠大于其他競爭者。關鍵詞：Nash均衡壟斷博弈論一問題陳述王婆和牛仔是自由市場上僅有的兩個出售西瓜的農(nóng)民，二人種植西瓜的成本均為每個西瓜0.5元，西瓜的市場價格為p€—丄,其中q€q+q為二人提供的西瓜1600 wz數(shù)量之和。問題一：是王婆和牛仔同時播種，且二人對自己和對方的成本及市場需求具有完全信息，求各自的產(chǎn)量和利潤；問題二：若王婆比牛仔早播種一個星期，因此牛仔在決定自己的種植量之前，可以知道王婆當年的產(chǎn)量(例如，深夜?jié)撊胪跗殴咸?，貝V：如果已知王婆的種植量為qw，牛仔為使利潤最大，應該選擇怎樣的種植量？王婆早有所料，她知道牛仔決策方法，因此，根據(jù)她自己的種植量qw就可以推算出牛仔的種植量，從而推算出市場價格以及自己的利潤。王婆為使利潤最大，應該選擇怎樣的種植數(shù)量？在這種情況下，王婆和牛仔誰更有利？問題三：王婆和牛仔商議，兩家一起決策當年的種植數(shù)量，各家分種數(shù)量的一半,這個協(xié)議是否有誘惑力？王婆和牛仔是否有積極性自覺遵守該協(xié)議？二問題分析市場僅有兩家銷售西瓜，因此構(gòu)成一個壟斷體系，通過彼此產(chǎn)量競爭以及是否先把貨物投放市場來謀求個人利益最大化。在第一問中，兩家同時入市，且兩家對自己和對方的成本及市場需求具有完全信息，彼此都想獲得最大利益，因此通過分析市場價格P€―丄，市場價格由兩家的總產(chǎn)1600量共同決定：當產(chǎn)量過多時，每個西瓜的價格會過低，每個西瓜的利潤過低；當產(chǎn)量過少時，每個西瓜的價格雖然很高，但是量少了總利潤也隨之減少。因此如何決定兩家的總產(chǎn)量使總利潤最大化是本問的關鍵。在第二問a中，牛仔知道了王婆的種植量，分析自己的利潤函數(shù)是一元二次方程，可求得最大利潤。在第二問b中，王婆知道了牛仔的的“計謀”，他們采取“計中計”即：預先向市場公布自己的種植量，用以引誘牛仔上鉤”之后根據(jù)牛仔的種植量，決定自己的實際產(chǎn)量。在第二問c中，這樣算出前兩問的利潤，對比就知道誰更有利了。在第三問中，兩人合作，決定各自的產(chǎn)量及利潤。三模型假設1瓜農(nóng)種植的西瓜是相同的，消費者沒有對某個瓜農(nóng)的偏好。供給增加不會導致過剩，而僅僅使價格降低，即瓜農(nóng)可以將種植的西瓜全部售出。瓜農(nóng)都是理性的，即面對既定的情況都做出決策使自己利益最大化。四符號說明1、q表示兩家種植總產(chǎn)量；

2、q——表示王婆的種植產(chǎn)量；3、wq——表示牛仔的種植產(chǎn)量；4、zu——市場總利潤；5、uu——表示王婆、牛仔的利潤；6、wzp—表示市場價格；7、c——表示西瓜成本；8、Q—表示王婆預先公布的種植量19q——表示王婆實際種植量；五模型建立及求解問題一5.1.確定市場總利潤及各自利潤由p=2-q仝q€q<3200，得單個西瓜的利潤為:1600wzu=2,厶，cu=2,厶，c=2,丄

單 1600 1600由此知道市場總利潤得：(

—q2——0.5?0所以q…2400即q+q…2400wzu-qf2,丄-c]A1600丿-0.51600丿(_q[1.5_1600<Ru當u最大時，———0得q-1200此時u—900TOC\o"1-5"\h\zRq max兩家都想獲得最大利潤，那么兩家都應該公平的分得產(chǎn)量為q—q— —600wz2所以王婆和牛仔各自的利潤為：u—q(2--^-0.5)—450w% 1600u—q(2--^-0.5)—450z z 1600問題二5.2.1重新確定牛仔的利潤因為已經(jīng)知道了王婆的種植量qw，貝V：u-q(2-qw€qz-0.5)=1.5q-1q2-iJL，因為qw是知道的,所以可以看成是關于qzzz1600z1600z1600Ru的一元二次函數(shù)，當u最大時，〒六-0得q-1200-0.5q。又因為在不知道牛仔是否z Rq z wz同時播種的時候，由于有問題一的假設，王婆應該是種植600個西瓜，那么現(xiàn)在牛仔應該種植900個西瓜，則牛仔的利潤為：u-506.25z所以，牛仔通過確定王婆家的數(shù)量，改變自己的產(chǎn)量，比原來方案的利潤明顯增加了。此時，u-337.5王婆家比原來的利潤大幅度減少，而牛仔是最大的贏家。w

5.2.2“計中計”更是贏家王婆知道牛仔的“計謀”，采取計中計，即：預先向市場公布自己的種植量QQ€q），用以引誘牛仔“上鉤”lw=q(2-=q(2-z-0.5)z1600當u最大時，竺，1.5當u最大時，竺，1.5-工-

z ?q 1600zq+q05)lw*—0.5)1600iw，0，得q?q lwlw則：u，q(2—lwlw當u最大時,lw-需，°得廠1200-°5Q,瞥，此時王婆家的利潤為u，-^+3Q+225所以u隨Q的增加而增加。iw25600 16 lw而此時牛仔的利潤2-qz+qiw-0.5'1600丿,2400-Q22-216004-,2400-Q22-216004-°5,-Q2+576000012800可知在Q大于0時，u隨Q的增加而減小。z綜上分析，可知王婆向市場公布自己的種植量Q越大，對他們總收益越有利，但是隨著種植量的增加，每個瓜的市場單價也隨之減少。由第一問可知：Q<2400，則由以上公式可得出：u，900（q，1200）u，0（q，0）。lw lw z z5.3.2誰更有利由上述可以知道在這種情況下是王婆更加有利。也就是說誰米取先動優(yōu)勢，能使自己的利潤遠遠大于其他競爭者。問題三5.3兩人合作q+q—z wq+q—z w1600—0.5丿-w ——1600—0.5丿當兩家利潤都為最大時，uu都為最大值，各自一階偏導數(shù)為0zwTOC\o"1-5"\h\zQu q+q 2qz1.5——z w—z0dq 1600 1600z加_q+q 2qw ——w z—wUdq 1600 1600w因為市場西瓜的價格是根據(jù)市場西則在西瓜成本一樣的情況下，我覺得兩人合作是最好的，因為市場西瓜的價格是根據(jù)市場西瓜的總量的變化而變化的，如果市場上西瓜的總數(shù)達到一定的程度或者超過這個量得話，那么牛仔和王婆就會出現(xiàn)虧損的現(xiàn)象，所以就必須得策劃這一年在市場上西瓜的量，這樣才能保證各自的利益。于是我們假設這一年在市場上的總西瓜的數(shù)量為q,根據(jù)問題一可以知道，此時q，q， ，600時，取得的利潤是最大的。由二、二問可以知道，假設你王婆種植1200wz2個西瓜的時候，你要確定牛仔一個也不種，但是這是不現(xiàn)實的，在這樣情況下只要牛仔再種植600個，王婆的利潤就會和種植600個的利潤一樣了。都是450.所以兩人只有合作，才可以在最少的投資中獲得最大的利潤。所以，兩家一起決策當年的種植數(shù)量，各家分種數(shù)量的一半，是很有誘惑力的。王婆和牛仔也會積極自覺遵守該協(xié)議的。六模型的評價與改進優(yōu)點：深入的研究了兩方種植商競爭的策略，給出了彼此獲得最大利益時該如何制定種植量，將博弈論中的Nash均衡應用到實際生活中，并討論了當一些種植商應用計謀來優(yōu)先生產(chǎn)，米取先動優(yōu)勢，使自己的利潤遠遠大于其他競爭者。缺點：應用Nash均衡，雖然可以使各個種植商獲得較大利潤，然而這種產(chǎn)量組合給各個種植商