數(shù)學(xué)建模作業(yè)

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱 數(shù)學(xué)建模 上機(jī)項(xiàng)目 人口模型 專業(yè)班級(jí) 一、 問(wèn)題提出人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。要求：分別建立并求解兩個(gè)最基本的人口模型，即：指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型，并利用表1給出的近兩百年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫(huà)出圖形擬合數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年的人口。表1人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）1790180018101820183018401850人口（百萬(wàn)）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百萬(wàn)）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）1930194019501960197019801990人口（百萬(wàn)）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4二、問(wèn)題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響。人口數(shù)量對(duì)人類的發(fā)展影響也是與日俱增。所以對(duì)人口數(shù)量的控制和預(yù)測(cè)也顯得尤為重要。就此我們需要找到更好更精確的人口增長(zhǎng)模型來(lái)預(yù)測(cè)人口數(shù)量。就此，根據(jù)題目所給的信息，就美國(guó)從1790年至2000年的人口增長(zhǎng)入手，用指數(shù)增長(zhǎng)模型的檢驗(yàn)人口增長(zhǎng)是否相符，預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)。并改進(jìn)成阻滯增長(zhǎng)模型，并用它預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)。1?先用指數(shù)增長(zhǎng)模型檢驗(yàn)人口增長(zhǎng)是否相符。由于經(jīng)歷的時(shí)間比較長(zhǎng)，所以我們分為長(zhǎng)期和短期分別檢驗(yàn)。就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，短期的符合該模型，而長(zhǎng)期而言后半期明顯計(jì)算的增加的比較快。根據(jù)這個(gè)問(wèn)題我們找原因。由于資源、環(huán)境問(wèn)題使阻滯增長(zhǎng)人口模型人口增加到一定數(shù)量時(shí)，增長(zhǎng)率會(huì)減慢。據(jù)此改進(jìn)我們就得到了第二個(gè)模型。2?得到第二個(gè)模型后先找規(guī)律，找關(guān)鍵點(diǎn)。及增長(zhǎng)率隨時(shí)間的變化以及人口容量值。分析人口隨時(shí)間變化率與人口容量的關(guān)系。然后得出人口與時(shí)間的關(guān)系。最后檢驗(yàn)計(jì)算值與實(shí)際值是否相符，很明顯相符的。所以我們就可以用之預(yù)測(cè)人口數(shù)量了。3?分析兩模型的優(yōu)缺點(diǎn)，適用范圍，以便我們更廣泛明了的使用。模型一：指數(shù)增長(zhǎng)(Malthus)模型：三、 模型假設(shè)：時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，增長(zhǎng)率為常數(shù)r。以x(t)表示時(shí)刻t某地區(qū)(或國(guó)家)的人口數(shù)，設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且x(t)關(guān)于t連續(xù)可微。符號(hào)說(shuō)明t表示某一時(shí)刻；x(t)表示時(shí)刻t某地區(qū)(或國(guó)家)的人口數(shù)；r表示人口增長(zhǎng)率為常數(shù)。四、 模型建立：今年人口x0,年增長(zhǎng)率r，k年后人口 x€x(1+r)kk 0指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)基本假設(shè)：人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)x(t)?時(shí)刻t的人口x(t+At)—x(t)€rAtx(t)dx€rx,x(0)€x (1)dt 0x(t)€x(er)t*'a2+b2，x(1+r)t00隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)五、模型求解(顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果)解微分方程(1)得 x(t)€xert (2)表明：F?8時(shí)，丿(r>0)模型的參數(shù)估計(jì)：要用模型的結(jié)果(2)來(lái)預(yù)報(bào)人口，必須對(duì)其中的參數(shù)r進(jìn)行估計(jì)，這可以用表1-1的數(shù)據(jù)通過(guò)擬合得到?擬合的具體方法見(jiàn)本書(shū)第16章或第18章.通過(guò)表中1790—1980的數(shù)據(jù)擬合得：r=0.307.模型檢驗(yàn)：將x0=3.9，r=0.307代入公式(2)，求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1810—1920的人口數(shù)，見(jiàn)下圖:程序代碼:M文件：functionx=renkou1(beta,t)x=3.9*exp(beta.*t);t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=0.1;[beta,r,J]=nlinfit(t',x','renkou1',beta0);betay=renkou1(beta,t)[YY,delta]=nlpredci('renkou1',t',beta,r,J);plot(t,x,'b*',t,YY,'r')error=abs(y-x)'EditorF:\matlsb\3AJntitlcdl.mFileEditTestGoCellToolsDebugDesktopWindciwHelp岀■冶呷e給旨”是?牛旳|歸”址抽強(qiáng)!匚ILBd5E-T|j花令:□-1.0 +|■!■1.1X|囁惦；flt- ];T0.- x=[3.95,57,P9.512.917-]P3.?31-43B,65CL262,F76,092.0LW,E]?3.?131-7LEO”；179,320^,0 251-41:brta0=：L]:-'helSjc,J] infit(1.zPnreckonL,betaO):- betai- y=re(nkcai](bet3,1^7- '.Ti.deLta]znlpredci J : enkc-ulJ,1njbeta；,r,J- ploi(t.Jb^J,1,￥￥/ t')a— ercorzabs(y-a)

（根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來(lái)數(shù)據(jù)填寫表格）表2實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年（公元）實(shí)際人口（百萬(wàn)）指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算出人口（百萬(wàn)）誤差17903.93.9000018005.34.84440.455618107.26.01761.182418209.67.47482.1252183012.99.28493.6151184017.111.53345.5666185023.214.32648.8736186031.417.795713.6043187038.622.105116.4949188050.227.458222.7418189062.934.107528.7925190076.042.367133.6329191092.052.626839.37321920106.565.371141.12891930123.281.201641.99841940131.7100.865630.83441950150.7125.291525.40851960179.3155.632423.66761970204.0193.320810.67921980226.5240.135913.63591990251.4298.287946.8879（分析原因，該模型的結(jié)果說(shuō)明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著。下需要對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn)，即阻滯增長(zhǎng)模型。）模型二：Logistic模型（阻滯增長(zhǎng)模型）模型假設(shè):（a）人口增長(zhǎng)率r為人口上）的函數(shù)Q（減函數(shù)），最簡(jiǎn)單假定r（x）==-SX,r,S>°（線性模型假設(shè):函數(shù)）,r叫做固有增長(zhǎng)率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm符號(hào)說(shuō)明：r函數(shù)）,r叫做固有增長(zhǎng)率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm符號(hào)說(shuō)明：r表示人口增長(zhǎng)率，x（t）表示增長(zhǎng)率為r時(shí)人口數(shù)量Xm表示自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm模型建立:r當(dāng)x=x時(shí)，增長(zhǎng)率應(yīng)為0，即r（x）=0，于是ym mm，代入r0=r-sx得將（3）式代入（1）得:r(x)(、1x

=r1-—Ix丿m1x

…r1—一<x1x

…r1—一<x丿m(4)0模型求解:x(t)=解方程組（4）1+m—解方程組（4）1+m—1e-rtx0丿(5)根據(jù)方程(4)dx

作出dt一X曲線圖，見(jiàn)圖1,由該圖可看出人口增長(zhǎng)率隨人口數(shù)的變化規(guī)r=0.2072,r=0.2072,x=464.m利用表1中1790—1980的數(shù)據(jù)對(duì)r和x擬合得:m模型檢驗(yàn):將r=0.2072,x=464代入公式（5），求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1800—1990的人口數(shù),m也可將方程（4）離散化，得尸0,1,2,...,x(t+1)…x(t)+Ax…x(t)+r(1一 x(t)尸0,1,2,...,xm用公式(6)預(yù)測(cè)1800—1990的人口數(shù)程序代碼:

M文件:functionf=renkou2(beta,t)f=beta(1)./(1+((beta(1)/3.9)-1)*exp(-beta(2)*t))Editor?F:\matlaib\3^?6人匚頊型\「皂門1<0口2巾—口ileEditTextGoCellToolsDebugDesktopWindowHelpsn■I#*? ◎旨檔柑程］龍］郢屆相|t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[10,0.1];beta=lsqcurvefit('renkou2',beta0,t,x);f=renkou2(beta,t)FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肅巧丨由FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肅巧丨由「”聲?嘩觀1初”屆??■欄1螢品氏 圧工匚曰旦error=abs(f-x)—L0*IIX1洱洱1=0:1;20;x=[3.95.37,29,51Z.917.L23,E3L43氐650.E62,976.092.0]朋?5123,2L31.7L5Q.7L7F.52D4rQ225.525].41:3-betaCt.[LQ?0.1]4-betLsqcuxvefLt「Eenkou2J、betaCi,t,x);5-f=rerikou2(beta,t\6-plotC'tjTtj'r^jtjf)ftrrat=abs(f-x)190076.067.26748.7326191092.083.19498.80511920106.5101.33175.16831930123.2121.32551.87451940131.7142.593410.89341950150.7164.374813.67