第一章緒論數(shù)值分析

第一章緒論1.1現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的一般過(guò)程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算結(jié)果分析1.1.1對(duì)實(shí)際工程問(wèn)題進(jìn)行建模數(shù)學(xué)建模：應(yīng)用有關(guān)學(xué)科知識(shí)和數(shù)學(xué)理論，將實(shí)際工程問(wèn)題，用精煉準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其關(guān)鍵的核心部分進(jìn)行描述并給出數(shù)學(xué)模型，這一過(guò)程常稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)值計(jì)算方法主要討論能用確定的數(shù)學(xué)解析式描述的實(shí)際工程計(jì)算問(wèn)題。什么樣的模型是好的數(shù)學(xué)模型？符合以下兩條：1）反映問(wèn)題本質(zhì)2）便于計(jì)算機(jī)實(shí)踐按數(shù)學(xué)性質(zhì)確定型隨機(jī)型離散型連續(xù)型按表達(dá)式分類：1.1.2對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題給出數(shù)值計(jì)算方法現(xiàn)代計(jì)算機(jī)簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算

科學(xué)和工程計(jì)算問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值化計(jì)算機(jī)

數(shù)值計(jì)算方法不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題不同的數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)速度精度1.1.3對(duì)數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)

一個(gè)好的數(shù)值計(jì)算方法要通過(guò)程序設(shè)計(jì)，才能在計(jì)算機(jī)上實(shí)踐。程序設(shè)計(jì)要求用最簡(jiǎn)練的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、最快的速度、最少的存儲(chǔ)和準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。這就要求程序設(shè)計(jì)者不僅要掌握數(shù)值計(jì)算方法，而且要熟悉并能熟練使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，準(zhǔn)確無(wú)誤地描述每一個(gè)算法。1.1.4上機(jī)計(jì)算并分析結(jié)果前面三個(gè)階段工作的結(jié)果如何？上機(jī)計(jì)算的結(jié)果與工程實(shí)際符合？所做研究是否具有推廣價(jià)值？1.2現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的一般過(guò)程1.2.1數(shù)值計(jì)算方法的研究?jī)?nèi)容數(shù)值代數(shù)數(shù)值逼近微分方程數(shù)值解法最優(yōu)化理論與方法線性方程組，矩陣特征值特征向量，非線性方程方程組的數(shù)值解法。各種函數(shù)逼近問(wèn)題數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分常微分方程偏微分方程1.2.2數(shù)值計(jì)算方法的特點(diǎn)例1.1

利用克拉姆法則求解線性方程組，當(dāng)方程組階數(shù)n很大，例如n=20,計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度1億次/秒,大約需算幾十萬(wàn)年;好方法如高斯消去法不到一分鐘就可以得到結(jié)果。另外，有計(jì)算結(jié)果可靠性問(wèn)題。這個(gè)例子說(shuō)明研究數(shù)值計(jì)算方法很有必要，而數(shù)值計(jì)算方法所研究的正是在計(jì)算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是象克拉姆法則這樣的方法。例1.2計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增勢(shì)?？梢?jiàn)初始的小擾動(dòng)公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∪】疾旆赐埔徊降恼`差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

通過(guò)上面的兩個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計(jì)算方法與純數(shù)學(xué)有明顯的不同，概括起來(lái)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：第一面向計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算方法理論的發(fā)展與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。第二數(shù)值計(jì)算方法的誤差分析、收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性分析都是建立在相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上的。第三數(shù)值計(jì)算方法的可行性。第四需要通過(guò)實(shí)際去驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算方法。本課程的理論基礎(chǔ)：微積分，線性代數(shù)，常微分方程?？筛鶕?jù)課時(shí)需要自行選擇授課內(nèi)容。從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差/*ModelingError*/通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值

——觀測(cè)誤差/*MeasurementError*/求近似解——方法誤差(截?cái)嗾`差/*TruncationError*/)機(jī)器字長(zhǎng)有限——舍入誤差

/*RoundoffError*/1.3計(jì)算過(guò)程中的誤差及其控制1.3.1誤差的來(lái)源與分類1.3.2誤差與有效數(shù)字/*ErrorandSignificantDigits*/絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/其中x為近似值，x*為x的精確值。，例如：工程上常記為，稱為絕對(duì)誤差限

/*accuracy*/，的上限記為注：e理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負(fù)。

e>0不唯一，當(dāng)然e越小越具有參考價(jià)值。然而，絕對(duì)誤差限的大小不能完全刻畫(huà)近似值的精確程度，例如：某量的精確值為其近似值為另一個(gè)量的精確值為相應(yīng)的近似值為這兩個(gè)量的絕對(duì)誤差限都是，但是顯然的精度要比的精度好。為反映這種近似程度我們引入相對(duì)誤差的概念。相對(duì)誤差/*relativeerror*/NowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?x的相對(duì)誤差上限

/*relativeaccuracy*/

定義為Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：在實(shí)際計(jì)算中，常用計(jì)算相對(duì)誤差限那么，與是否反映了同一數(shù)量級(jí)的誤差？

有效數(shù)字/*significantdigits*/用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到位。例：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位。43注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫(xiě)成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x

有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x

的相對(duì)誤差限可寫(xiě)為則可見(jiàn)x

至少有n位有效數(shù)字。例：為使的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。1.3.3誤差的傳播/*Spread*/誤差分析的重要性（考察例1.2）誤差的傳播可用微分描述誤差的變化即的微分表示的絕對(duì)誤差，的微分表示的相對(duì)誤差。?????1.避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：1.3.4誤差的控制2.避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1093.先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)