CH1-復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

場論與復(fù)變函數(shù)初萍辦公室：深圳大學(xué)信息工程學(xué)院N823電話：22673391郵箱：chuping@2教材：《復(fù)變函數(shù)與場論簡明教程》深圳大學(xué)復(fù)變函數(shù)與場論教研組。西安電子科技大學(xué)出版社參考書：

《復(fù)變函數(shù)》（第四版）西安大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室。高等教育出版社《矢量分析與場論》（第3版）謝樹藝高等教育出版社《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》（英文版、第七版）J.W.Brown,R.V.Churchill。機械工業(yè)出版社34課程基本內(nèi)容1、復(fù)變函數(shù)的基本概念(4+2課時）2、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)（解析函數(shù)、初等函數(shù))(6+2課時)3、復(fù)變函數(shù)積分（柯西-古薩定理、復(fù)合閉路定理、

柯西積分公式）（8+2課時）4、級數(shù)（泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)）（8+2課時）5、留數(shù)、積分求法(6+2課時)6、矢量分析的基本概念7、場論(6+2課時)5考核方式平時成績：1、作業(yè);2、考勤;3、課堂表現(xiàn)、提問等;作業(yè)要求：1、手寫

寫上課程號、學(xué)號和姓名；2、按時按量提交作業(yè)。6基礎(chǔ)課專業(yè)基礎(chǔ)課工程數(shù)學(xué)

專業(yè)課線性代數(shù)復(fù)變函數(shù)、場論概率論與隨機過程本課程在專業(yè)培養(yǎng)體系中的地位7關(guān)于復(fù)變函數(shù)課程發(fā)展：

復(fù)數(shù)是16世紀解代數(shù)方程時引入的,笛卡爾給出虛數(shù)的定義；18世紀歐拉定義了虛數(shù)符號i,并定義了歐拉公式；

19世紀初高斯闡明了幾何、物理意義，得以發(fā)展；

19世紀柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯（導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)）為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作。研究對象：高等數(shù)學(xué)中實變函數(shù)：復(fù)變函數(shù)中復(fù)變函數(shù)：學(xué)習(xí)要點：注意與實變函數(shù)共同點和不同點。應(yīng)用：1、自然科學(xué)和工程技術(shù)中廣泛應(yīng)用；

2、電磁學(xué)，信息處理等廣泛應(yīng)用。8第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基本內(nèi)容：1、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算2、復(fù)數(shù)的表示形式3、復(fù)平面拓撲（區(qū)域及其單連通多連通概念）4、復(fù)變函數(shù)的基本概念、極限與連續(xù)性重點：復(fù)數(shù)的運算與表示、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

9§第1節(jié)

復(fù)數(shù)及表示形式1.1復(fù)數(shù)概念方程：x2=-1x為實數(shù)：無解；

x為復(fù)數(shù)：可解。數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,并規(guī)定對于任意二實數(shù)x,y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)注意：(1)2個復(fù)數(shù)不能比較大小;(2)當(dāng)且僅當(dāng)實部、虛部分別相等時復(fù)數(shù)才相等。101、幾何表示

通過引入虛數(shù)單位i,

直角坐標系平面就與復(fù)平面一一對應(yīng)一個復(fù)數(shù)z=x+iy由一對有序?qū)崝?shù)(x,y)唯一確定對于平面上的直角坐標系,復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點的全體成一一對應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)z=x+iy可以用該平面上的坐標為(x,y)的點來表示x-實軸y-虛軸兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z平面.0xy1.2復(fù)數(shù)的表示形式11在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)z還與從原點指向點z=x+iy的平面向量一一對應(yīng),因此復(fù)數(shù)z也能用向量OP來表示.OxyxyqPz=x+iy|z|=r2、向量表示：12向量的長度稱為z的?；蚪^對值,記作

顯然：在z0的情況,以正實軸為始邊,以向量OP為終邊的角的弧度稱為z的輻角,記作OxyxyqPz=x+iy|z|=rz=0時輻角不確定若z0：13輻角主值公式：2341xy注意：143、三角表示法：4、指數(shù)表示法：（由歐拉公式：)OxyxyqPz=x+iy|z|=r15例1求1+i與的輻角與輻角主值例2將化成三角與指數(shù)表示16四則運算乘冪與方根共軛復(fù)數(shù)§第2節(jié)

復(fù)數(shù)的運算171、四則運算加法、減法：乘法:除法:

稱滿足z2z=z1(z20)的復(fù)數(shù)z=x+iy為z1除以z2的商

18兩個復(fù)數(shù)z1和z2的加減法等價于相應(yīng)的向量的加減法.Oxyz1z2z1+z2Oxyz1z2z1-z2-z2加法減法:不等式成立|z1+z2||z1|+|z2|(三角不等式)|z1-z2|||z1|-|z2|| 19

兩個復(fù)數(shù)z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 :|z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Argz1+Argz2定理一、乘積：模相乘；輻角相加。輻角相加：兩端可能取的值的全體是相同的。乘法:

20例如,設(shè)z1=-1,z2=i,則z1z2=-i,則推論：21幾何意義：

z1z2相當(dāng)于將z1的模擴大|z2|倍并旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2q2q2z2q1z1z1z21Oxy22例1已知正三角形的兩個頂點為z1=1與z2=2+i,求它的另一個頂點.[解]如圖所示,將表示z2-z1的向量繞z1旋轉(zhuǎn)p/3(或-p/3)就得到另一個向量,它的終點即為所求的頂點z3(或z3’).23根據(jù)復(fù)數(shù)乘法,有24定理二、商：模相除；輻角相減。輻角相減：兩端可能取的值的全體是相同的。

除法:

稱滿足z2z=z1(z20)的復(fù)數(shù)z=x+iy為z1除以z2的商

25與實數(shù)運算一樣，復(fù)數(shù)運算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3262、冪與方根冪：

n個相同的復(fù)數(shù)z=reiq相乘，稱為z的n次冪(n為整數(shù))。

當(dāng)|z|=1時有：27方根：注意根的多值性！28

幾何上看，n個值是以原點為中心，為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。2930例2求[解]

因為所以31即323、復(fù)數(shù)的共軛33一對共軛復(fù)數(shù)z和z在復(fù)平面內(nèi)的位置關(guān)于實數(shù)軸對稱Oxy因而|z|=|z|

如果z不在負實軸和原點上,有argz=-argz34例1設(shè)z1=5-5i,z2=-3+4i,求與[解]所以35例2設(shè)求Re(z),Im(z)與[解]所以364、復(fù)數(shù)形式方程來表示平面圖形（復(fù)數(shù)的應(yīng)用）Oxyz=z1+t(z2-z1)表示通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線Oxyz=z1+t(z2-z1)z1=x1+iy1z2=x2+iy237例3將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為

z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取,得知線段的中點為38例4求下列方程所表示的曲線:39[解]該方程表示復(fù)平面上所有與點-i的距離為2的點，是一個圓，如圖所示。

下面來求其直角坐標方程：設(shè)z=x+iy,方程變?yōu)?iOxy40幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,其直角坐標方程為y=-x.Oxy-22iy=-x41設(shè)z=x+iy,則可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-342對復(fù)平面內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系,而N點本身可代表無窮遠點,記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.NSOxyPz把包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面不包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面復(fù)球面與無窮遠點取一個與復(fù)平面切于原點z=0的球面,球面上的一點S與原點重合.通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點N.稱N為北極,S為南極.

43復(fù)球面能把擴充復(fù)平面的無窮遠點明顯地表示出來，這就是它比復(fù)平面優(yōu)越的地方。對于復(fù)數(shù)來說，實部、虛部與輻角的概念均無意義,但它的模規(guī)定為正無窮大。關(guān)于的四則運算作如下規(guī)定:

加法:a+=+a=(a)

減法:a-=-a=(a)

乘法:a=a=(a0)44目標4：將復(fù)數(shù)方程與平面圖形相聯(lián)系。目標2：將復(fù)數(shù)的表示相互轉(zhuǎn)換。目標3：求復(fù)數(shù)的積商冪根（通過三角或指數(shù)表示形式）。作業(yè)1：第一章習(xí)題P29-311:(3)、2:(1)(2)(3)、4:(1)(2)(3)、15:(1)(3)45

§第3節(jié)復(fù)平面上的區(qū)域1、區(qū)域：復(fù)變函數(shù)的變化范圍。什么樣的范圍可以成為區(qū)域？dz0dz046內(nèi)點:G為復(fù)平面點集，z0為G中任一點，如果存在z0的

一個鄰域，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，稱z0 為G的內(nèi)點。開集：如果G的每個點都是它的內(nèi)點，稱G為開集。dz0G47連通：點集D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，稱D為連通的。區(qū)域：平面點集D稱為區(qū)域,必須滿足下列兩個條件：

1）D是一個開集。2）D是連通的。區(qū)域z2z1不連通48閉區(qū)域：區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域。邊界點：D為區(qū)域，p不屬于D，但在p任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點，稱p為D的邊界點。邊界：D的所有邊界點組成D的邊界。C3C2zg1g2C149有界區(qū)域：M為正數(shù)，如果D區(qū)域內(nèi)的所有點z都滿足，D為有界區(qū)域。無界區(qū)域：否則稱D為無界區(qū)域。yDOxz0r2r1滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點構(gòu)成一個有界區(qū)域50無界區(qū)域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab帶形域:a<Imz<b51為連續(xù)曲線。稱曲線是兩個連續(xù)的實變函數(shù)，和如果連續(xù)曲線：)()()(,)()()(tztytxtiytxtz曲線稱為光滑曲線。連續(xù)；且光滑曲線：如果在t的某個區(qū)間內(nèi))(tz，)()(tytx￠￠[][],0)()(22tytx1￠+￠+=連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑2、連通域52簡單曲線/若爾當(dāng)(Jardan)曲線：沒有重點的連續(xù)曲線。為重點。稱時有重點：當(dāng))(,)()(:12121tztztztt。的起點和終點重合閉曲線：曲線)()()(bzaztz==1z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)53任意一條簡單閉曲線C把整個復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集，其中：

除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部

另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部

C為它們的公共邊界.內(nèi)部外部C54單連通域：區(qū)域B中任做一條簡單閉曲線，曲線內(nèi)部總屬于B，稱B為單連通區(qū)域。多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域55

區(qū)分：區(qū)域或閉區(qū)域；有界或無界；單連通或多連通。56

設(shè)G是一個復(fù)數(shù)z=x+iy的集合，如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復(fù)數(shù)z,就有一個或幾個復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)記作w=f(z)§第4節(jié)

復(fù)變函數(shù)集合G稱為f(z)的定義集合,對應(yīng)于G中所有z的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合（值域）.1、定義定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).單值函數(shù)：z的一個值對應(yīng)一個w值。多值函數(shù)：z的一個值對應(yīng)兩個或以上w值。反函數(shù)：z=g(w)57考察函數(shù)w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy給定復(fù)數(shù)z=x+iy相當(dāng)于給定了兩個實數(shù)x和y

而復(fù)數(shù)w=u+iv亦同樣地對應(yīng)著一對實數(shù)u和v

復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當(dāng)于兩個關(guān)系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).582、映射：將實變函數(shù)用幾何圖形表示，復(fù)變函數(shù)是對變量(x,y)(u,v)之間的對應(yīng)關(guān)系的描述，可以看作(x,y)平面通過

f變換到(u,v)平面的映射：反函數(shù)稱為w=f(z)的逆映射，若w=f(z)和z=g(w)都為單值的，稱w=f(z)為一一映射59xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2602axyOuvOz1z2w2z3w3aw161小結(jié)：解題思路：1.有規(guī)律的直接寫出規(guī)律2.找不出規(guī)律的將u、v代入x、y表達示解：6263