《用樣本的頻率分布估計總體分布》導(dǎo)學(xué)案

第4課時用樣本的頻率分布估計總體分布1.會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖、折線圖,并能應(yīng)用頻率分布直方圖解決有關(guān)問題.2.會畫莖葉圖,并能讀取莖葉圖中的數(shù)據(jù)和利用莖葉圖解決有關(guān)問題.3.通過頻率分布折線圖初步理解分布的實際意義.某市從各學(xué)校選拔了部分同學(xué)參加全國初中數(shù)學(xué)競賽,指導(dǎo)老師統(tǒng)計了所有參賽同學(xué)的成績(成績都是整數(shù),試題滿分120分),并且繪制了圖形(如圖所示),你能根據(jù)圖形分析出哪些信息?該市參加本次數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)有多少名?

問題1

(1)在上面的問題中,圖形為

,從表中可以得出每個分?jǐn)?shù)段的

,但要注意與我們下面所學(xué)頻率分布直方圖的區(qū)別.

(2)頻數(shù):將一批數(shù)據(jù)按照要求分為若干組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的

叫作該組的頻數(shù).

(3)頻率:每組數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個數(shù)的值叫作該組的頻率.頻率反映數(shù)據(jù)在每組中所占比例的

.

人數(shù)大小個數(shù)頻數(shù)分布條形圖(4)頻率分布:根據(jù)隨機所抽樣本的大小,分別計算某一事件出現(xiàn)的

,這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況),就叫作樣本的頻率分布.為了直觀地顯示樣本的頻率分布情況,通常我們會將

樣本的容量

、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中,叫作樣本

.

(5)頻率分布折線圖:類似于

,連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的

,就得到頻率分布折線圖.

(6)總體密度曲線:一般地,總體的個數(shù)越多,所取的樣本的容量就

,分的組數(shù)就越多.隨著樣本容量和組數(shù)的增加,相應(yīng)的

會越來越接近于一條光滑的曲線,這條曲線稱作總體密度曲線.

頻率頻率分布表頻數(shù)分布折線圖中點越大頻率分布折線圖

作頻率分布直方圖的具體步驟(1)計算極差:

與

的差.

(2)決定組距與組數(shù):組距與組數(shù)的確定沒有固定標(biāo)準(zhǔn),需要嘗試、選擇,力求有合適的組數(shù),以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn),太多或太少都不好,不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān),樣本容量越大,組數(shù)越多,如果數(shù)據(jù)的容量不超過100,按數(shù)據(jù)多少,通常分為5~12組.(3)決定分點:分點要比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),便于分組,分組區(qū)間采用

,避免數(shù)據(jù)被重復(fù)計算.

左閉右開最大值最小值問題2(4)列頻率分布表:一般分“分組”、“頻數(shù)累計”(可省略)、“頻數(shù)”、“頻率”四列,最后一行是“合計”.(5)畫出頻率分布直方圖:在畫頻率分布直方圖時,縱軸表示“

”.

莖葉圖當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示

,即第一個有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示

,即第二個有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長出來的葉子,因此通常把這樣的圖叫作莖葉圖.

頻率/組距十位數(shù)個位數(shù)問題3說明:①用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點:一是所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到;二是莖葉圖便于

和

,能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.②莖葉圖只便于表示

的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù),兩組以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄,但是沒有那么直觀、清晰.

頻率分布直方圖的特征(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距,縱坐標(biāo)表示

,頻率=組距×

.

(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為

,因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是

.

表示記錄兩位有效數(shù)字1頻率比問題4(3)

和

是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準(zhǔn)確,后者直觀.

(4)從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.頻率分布表頻率分布直方圖1D

如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3,第2小組的頻數(shù)為10,則抽取的學(xué)生人數(shù)為(

).A.20

B.30

C.40

D.50C2某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量,從中隨機抽測了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)).所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[5,40]中,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的100根中,有

根棉花纖維的長度小于20mm.

【解析】由題意知,棉花纖維的長度小于20mm的頻率為(0.01+0.01+0.04)×5=0.3,故抽測的100根中,棉花纖維的長度小于20mm的有0.3×100=30(根).304未成年人思想道德建設(shè)越來越受到社會的關(guān)注.某青少年研究所隨機調(diào)查了某校100名學(xué)生寒假中花零花錢的數(shù)目(錢數(shù)取整數(shù)元),以便引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的消費觀.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成了頻率分布表和頻率分布直方圖,如圖所示.【解析】(1)頻率分布直方圖中,長方形ABCD的面積是0.25,這次調(diào)查的樣本容量是100;(2)消費150元以上的學(xué)生所占的頻率為:0.3+0.1+0.05=0.45,所以應(yīng)對該校1000名學(xué)生中的0.45×1000=450名學(xué)生提出這項建議.頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖及應(yīng)用為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況,抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5~18歲的男生的體重情況,結(jié)果如下(單位:kg).56.569.56561.564.576716663.55666.56464.57658.559.563.5657074.57273.556677068.56455.572.566.557.565.5687175687657.56071.56268.562.56659.55769.57464.55963.564.567.5736861.5676863.558557266.574635965.562.569.5726055.57064.55864.575.568.564626470.55762.56565.558.567.570.5656971.57362586666.5706359.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖及頻率分布折線圖,并對相應(yīng)的總體分布作出估計.【解析】按照下列步驟獲得樣本的頻率分布:(1)求最大值與最小值的差.在上述數(shù)據(jù)中,最大值是76,最小值是55,極差是76-55=21.(2)確定組距與組數(shù).如果將組距定為2,那么由21÷2=10.5,組數(shù)為11,這個組數(shù)是合適的.于是組距為2,組數(shù)為11.(3)決定分點.根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點,第1小組的起點可取為54.5,第1小組的終點可取為56.5,為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點,又是終點從而造成重復(fù)計算,我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣,所得到的分組是[54.5,56.5),[56.5,58.5),…,[74.5,76.5).(4)列頻率分布表.

如下表:分組頻數(shù)頻率[54.5,56.5)50.05[56.5,58.5)80.08[58.5,60.5)90.09[60.5,62.5)50.05[62.5,64.5)140.14[64.5,66.5)160.16[66.5,68.5)120.12[68.5,70.5)110.11[70.5,72.5)90.09[72.5,74.5)60.06[74.5,76.5)50.05合計1001.00

(5)繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方圖如圖所示.(6)繪制頻率分布折線圖連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.如圖所示.由于圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,這個圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面,頻率分布表比較確切,頻率分布直方圖比較直觀,它們起著相互補充的作用.在得到了樣本的頻率后,就可以對相應(yīng)的總體情況作出估計.例如可以估計體重在(64.5,66.5)kg的學(xué)生最多,約占學(xué)生總數(shù)的16%;體重小于58.5kg的學(xué)生較少,約占13%,等等.7莖葉圖及其應(yīng)用某籃球運動員在某賽季各場比賽的得分情況如下:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.如何分析該運動員的整體水平及發(fā)揮的穩(wěn)定程度?【解析】上述運動員的得分可用莖葉圖來表示.上圖中第一行分界線的左邊的“1”表示十位數(shù)字,右邊的“2”和“5”表示個位數(shù)字,這一行表示該運動員的得分為12分和15分.同理,第二行表示得分為24分和25分,依此類推.從這張圖可以粗略地看出,該運動員平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都在30到40之間,且分布較對稱,集中程度高,說明其發(fā)揮比較穩(wěn)定.統(tǒng)計圖表的應(yīng)用為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.則第二小組的頻率是

,樣本容量是

.若次數(shù)在110以上(含110次)為達標(biāo),試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標(biāo)率是

.

0.0888%150右表是100名學(xué)生身高的頻率分布表:分組頻數(shù)頻率[150.5,153.5)40.04[153.5,156.5)8[156.5,159.5)80.08[159.5,162.5)0.11[162.5,165.5)220.22[165.5,168.5)190.19[168.5,171.5)14[171.5,174.5)70.07[174.5,177.5)40.04[177.5,180.5)30.03合計100

(1)補充完整上表;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖;(3)畫出頻率分布折線圖.【解析】(1)表格中從上至下分別填:0.08、11、0.14、1.(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)頻率分布折線圖如圖所示.

甲、乙兩個小組各11名學(xué)生的韓語口語測試成績?nèi)缦?單位:分):甲組:79

90

85

86

81

87

87

82

85

83

89乙組:81

84

86

89

79

81

91

89

78

70

90用莖葉圖表示兩個小組的成績,并判斷哪個小組的成績更整齊一些.【解析】莖葉圖如圖所示,容易看出甲組成績集中在80多分,乙組成績較分散,即甲組成績更整齊一些.如圖是某市有關(guān)部門根據(jù)該市干部的月收入情況,作抽樣調(diào)查后畫出的樣本頻率分布直方圖,已知圖中第一組的頻數(shù)為4000,圖中每組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在[1000,1500).請根據(jù)該圖提供的信息解答下列問題:(1)求樣本中月收入在[2500,3500)的人數(shù).(2)為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出100人做進一步分析,則月收入在[1500,2000)的這段應(yīng)抽多少人?1.一容量為100的樣本的頻率分布直方圖如圖所示,則由圖形中的數(shù)據(jù),樣本落在[15,20)內(nèi)的頻數(shù)為(

).A.20B.30C.40

D.50【解析】樣本數(shù)據(jù)落在[15,20)內(nèi)的頻數(shù)為100×[1-5×(0.04+0.1)]=30.B2.已知樣本:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11,那么頻率為0.2的范圍是(

).A.5.5~7.5

B.7.5~9.5C.9.5~1