2020屆北京市東城區(qū)高三一模考試數(shù)學(xué)試題

2020北京市城區(qū)高三?？荚嚁?shù)學(xué)題一選題1.已集合

A

A

B

（）A

B

C．

D．

2.函f

2

的定義域為（）AC．

B．D．

3.已

i

，則a）A1

B

C．

D．4.若曲線C

2

b

22

的一條漸近線與直線

y

平行，則的為（）A1

B

C．3

D．25.如所示某三棱錐主圖視圖左視均為直角三角形該棱錐的體積）A4

B

C．

D．6.已x

，那么在下列不等式中，不成立的是（）A2

B

1

C．sinx0

D．7.在面直角坐標(biāo)系中，動點M在位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動，每2分轉(zhuǎn)動一周.點M的第1頁，共18頁

22222222222222222初始位置坐標(biāo)為,動到3分時，動點M所位置的坐標(biāo)是（）A,

B,

C．

1D．,8.已三角形ABC那么

ABAB

”是三角形為銳角三角形的（）A充分而不必要條件C．分必要條件

B．要而不充分條件D．不分也不必要條件9.設(shè)O為標(biāo)原點，點

，動點在拋物線

y2x

上，且位于第一象限，M是段PA的中點，則直線

的斜率的范圍為（）A

B2

C．2

D．設(shè)存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者后者為捕食者現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模.假設(shè)捕食者的數(shù)量以

x

表示，被捕食者的數(shù)量以

y

表示.如圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數(shù)量系，其中箭頭方向為時間增加的方向下列說法正確的是（）A若在t、t時刻滿足：1

y

B如果

y

數(shù)量是先上升后下降的，那么

x

的數(shù)量一定也是先上升后下降C．捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達(dá)最大值或最小值D．捕者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時，被捕食者的數(shù)量也會達(dá)到最大值二、填空題知向量a

，

b

c

，若ac共，則實數(shù)第2頁，共18頁

66,066,0

x2

的展開式中，常數(shù)項_____數(shù)字作答）心在x軸，且與直線

l:yx1

和

l:y2

都相切的圓的方程為函數(shù)

2xax

給出下列四個結(jié)論：①對

，

R

，使得

f

無解；對

，R

，使得

f

有兩解③時

，使得

f

有解；④當(dāng)時

，使得

f

有三解其，所有正確結(jié)論的序號_

是等邊三角形，點D在

的延長線上，且CDBD27，CD；sin______.三解題圖四棱錐PABCD中PD面為平行四邊形ABPD.

AC

，（Ⅰ）求證：

AD//

平面

；（Ⅱ）求二面角B

的余弦值的大小知函數(shù)

fx，且滿足______.（Ⅰ）求函數(shù)

f

的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若關(guān)于x的程

f

在區(qū)間

解，求實數(shù)的值范圍從①

f

的最大值為，

f

的圖象與直線

y

的兩個相鄰交點的距離等于，

f

的圖象過點

這三個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作.國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)年斗全球系統(tǒng)建設(shè)將全面完如圖是在室外開放的環(huán)境下北二代和北斗三代定位模塊別定位的50個位的橫坐誤差的值，其中“”示北斗二代定位模塊的誤差的值“+表示北斗三代定位模塊的誤差的.單位：米）第3頁，共18頁

（Ⅰ）從北斗二代定位的點位中隨機(jī)抽取一個，求此點橫坐標(biāo)誤差的值大于米概率；（Ⅱ）從圖中A，B，，四點位中隨機(jī)選出兩個，記為中縱坐標(biāo)誤差的值小于的點位的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）試比較北斗二代和北斗三定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差的大.結(jié)論不要求證明）知橢圓：

2y2（a2b2

的，下頂點分別為A，B，左，右焦點分別為F，F(xiàn)，四邊形

AFBF12

為正方形，且面積為2.（Ⅰ）求橢圓E的準(zhǔn)方程；（Ⅱ存在斜率不為零且平行的兩條直線ll們與橢圓E分別交于點C四形1是菱形，求出該菱形周長的最大

DMN知函數(shù)

f

（

）.（Ⅰ）若a，曲線

yf（Ⅱ）若

f

有兩個極值點，求實數(shù)取值范圍；（Ⅲ）若a，

f

a

上的最小值.列

：x，，x，…對給定的t（1n

t

，

t

滿足不等式：

xt

*

（

N，n）的*構(gòu)的集合為

．（Ⅰ）若數(shù)列

:n

2

，寫出集合

；（Ⅱ）如果

（

tN

，

t

）均為相同的單元素集合，求證：數(shù)列x，，…，，為差數(shù)列；1n第4頁，共18頁

（Ⅲ）如果

，t）單元素集合，那么數(shù)列，x，…，x，還是等差數(shù)列嗎？如果1n是等差數(shù)列，請給出證明；如果不是等差數(shù)列，請給出反例．第5頁，共18頁

參答1.【析】∵

A

∴

故選：D．【答案】D2.【析】函數(shù)f

2

，令

2

，得

，解得x，以

f

的定義域為

2,

故選：【答案】B3.【析】

i

，i=

21-i

=

2

，因此，a.故選：A．【答案】A4.【析】雙曲線C2

b

22

的一條漸近線y與線y

平行，可得

故選：D．【答案】D5.【析】由三視圖知，幾何體是一個三棱錐

1

BCD

，根據(jù)三棱錐的三視圖的數(shù)據(jù)，設(shè)出三棱錐兩兩垂直的三條側(cè)棱分別是D，BC，

1

，因此，三棱錐的體積是

12

第6頁，共18頁

2，22，2故選：A．【答案】A6.【析】

則

x

x

，

xxxxxx

，又

sin

、

cosx

，sin，cosx.可得：成，不立故選：D．【答案】D7.【析】每分轉(zhuǎn)動一周，則運動到分時，轉(zhuǎn)過的角為

2

設(shè)點的初始位置的坐標(biāo)為

，則

cos

，sin

，運動到鐘時動點所位置的坐標(biāo)是

M

2

由誘導(dǎo)公式可得cos

sin2

12

，所以，點故選：．

的坐標(biāo)為【答案】C【解析】三角形中“

ABAB

”

AB

，可得A為銳角，此時三角形

不一定為銳角三角形.三角形為銳角三角形A

為銳角第7頁，共18頁

9.【析】設(shè)，，以PA的點2229.【析】設(shè)，，以PA的點222OM2角形ABC，么故選：．【答案】B

ABAB

”是三形為銳角三角形的要不充分條.yM,22

，所以

OM

2y224

2

，1因為，所以

，所以k故選：．【答案】C解析】由圖可知，曲線中縱坐標(biāo)相等時橫坐標(biāo)未必相等，故A不確；在曲線上半段中觀察到

y

是先上升后下降，而

x

是不斷變小的，故B正確；捕食者數(shù)量最大時是在圖象最右端，最小值是在圖象最左端，此時都不是被捕食者的數(shù)量的最處，同樣當(dāng)被捕食者的數(shù)量最大即圖象最上端和最小即圖象最下端時，也不是捕食者數(shù)量取最值的候，所以被捕食者數(shù)量和捕食者數(shù)量不會同時達(dá)到最大和最小值，故C正確；當(dāng)捕食者數(shù)量最大時在圖象最右端，

x此時二者總和

x

，由圖象可知存在點

x

，

y

，x

y

，所以并不是被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時，被捕食者數(shù)量也會達(dá)到最大值，故D錯，故選：．【答案】C解析】

向量

b

c

，

，a與c共，故答案為：.

m

，解得實數(shù).第8頁，共18頁

【答案】

解析】在x

2

)

的展開式中通公式為：Tr

r

x2

r

r2x

r令rr所以展開式的常數(shù)項為：故答案為：【答案】60

C解析】設(shè)所求圓的方程為

2

r

2

，因為圓

與直線

l:yx1

和

l:y2

都相切，則

r

，解得，r

，所以圓的方程為

2

故答案為：

2

【答案】

解析】對于①，可取a則

2,x0.

，當(dāng)

時，

f

；當(dāng)

時，f

x

22

x

，且僅當(dāng)

時，取得等號，故時，

的值域為R∴

R

，

f

都有解，故①錯誤；對于②，當(dāng)

t

時，由于對于任意

xf

x

,

x

無解；

時，

f

，對任意的a,

至多有一個實數(shù)根，故②錯誤；對于③，當(dāng)a時x時

f

單調(diào)遞減，可得

f

；又時

，即有2

x

第9頁，共18頁

22可得x，

f

的值域為

，∴

，

f

都有解，故③正確；對于④，當(dāng)

時，

時，

f

遞增，可得

f

；當(dāng)時f

，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，由圖象可得，當(dāng)

時，

f

有三解，故④正.故答案為：③④.【答案】③④15.【解析】如圖所示，等邊

中AD，以AC

又BD7，以BD2BC2CDBC，即

2

CD

，解得CD，所以AD；由

ADBDsinABDA

，即

62sinABDsin60

，解得ABD

故答案為：2；

第，共

【答案】2解析）證明：

底面為平行四邊形//BC

，面，AD平面PBC，AD//平PBC；（Ⅱ）解：過D作行于

的直線

，

，Dx，

ABCD

，

以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

D

則

、

、

，

，設(shè)平面

的一個法向量為nz

，由

nxyn

，取y，

取平面的一個法向量mmn

m

由圖可知，二面角DPC

為鈍角二面角PC

的余弦值為

【答案）明見解析）

解析）函數(shù)

fsin2x2x6xcos2x6sin2xx66第，共

fx2sin23fx2sin233f,06,332x2sin

，若滿足①

f

的最大值為1則

，解得a，所以

，則函數(shù)

f

的最小正周期為T2

；（Ⅱ）令

f

，解得

x

k

，kZ，

x

，；若關(guān)于的程

f

x

或

；所以實數(shù)的值范圍是

7

若滿足②，

f

的圖象與直線

y

的兩個相鄰交點的距離等于，且

f

的最小正周期為T

22

以

，解得a；以下解法均相同.若滿足③，

f

的圖象過點

a6

，解得a；以下解法均相同.【答案】滿足①或②或③

f2

，最小正周期為）

；18.【解析）由圖可得，在北斗二代定位的個點中，橫坐標(biāo)誤差的絕對值大于10米點，所以從中隨機(jī)選出一點，此點橫坐標(biāo)誤差的絕對值大于10米概率為

0.06

；（Ⅱ）由圖可得，B，，四點位中縱坐誤差值小于的有兩個點：CD，所以X的所有可能取值為0，1，2第，共

222222

C02C24

，P

X

C1C22C234

，

C22C264

，所以X的分布列為所以X的期望為

E

3

；（Ⅲ）北斗二代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差大于北斗三.【答案）0.06）布列見解析1）斗二代定位模塊縱坐標(biāo)誤差的方差大北斗三19.【解析）∵四邊形，∴2解得，

AFBF12

為正方形，且面積為，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2

；（Ⅱ）設(shè)

l1

的方程為

ykxm1

，

Cy11

22

，設(shè)l的程為2

ykx，My244

，聯(lián)立

ykxx222

可得

211

，由

可得

2m1

2

1

，化簡可得

k22

，①第，共

121118121118x12

km1k

2

2m，1，121

1

x1

k

21k2

2

kk

2

21，同理可得

MN

1k222k

，∵四邊形

CDMN為菱形，∴CD，m1

22

，又∵

m，m112

，∴

l，l1

關(guān)于原點對稱，又橢圓關(guān)于原點對稱，∴M關(guān)于原點對稱，N也于原點對稱，∴且，y142∴

MCy1

ND2

，∵四邊形

為菱形，可得

，即

xyy即12121

1

，即

11

，可得

2km1km121k

2

1

，化簡可得

3k

，∴菱形CDMN的長為l4CD

2k22k221k2

2k

1

231k2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)

，即

k

時等號成立，第，共

單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，此時

，滿足①，∴菱形

的周長的最大值為【答案）

2

）20.【解析】∵

f

，∴

f

；（Ⅰ）當(dāng)時

f

，∴曲線

y

y

，即

y

；（Ⅱ）∵若

f

有兩個極值點，∴

f

x

lnxax

有兩個不等的正根，即

a

x

兩個不等的正根，令

lnx

，，

2

，令

x

x

，當(dāng)

xx

，此g

x

；當(dāng)

x

，時g

單調(diào)遞減，

∴函數(shù)

在

x

處取得極大值，也是最大值

，因為

a

x

兩個不等的正根，∴

a，

，1∴實數(shù)取值范圍是（Ⅲ）∵

f

，∴

f

，

x

a

，第，共

xx2axx2a∵，

xf

a

，當(dāng)

a

時，

f

x

單調(diào)遞增，當(dāng)

f

x

單調(diào)遞減，故

f

x

f

1

，∴故

ff

上單調(diào)遞減，上的最小值為

f

．【答案）

y

1）

2a

21.【解析）解：由題意得，

為滿足不等式

x2

*

的t*構(gòu)成的集合，∵數(shù)列

nn

2

，∴

2*

*

當(dāng)n

時，上式可化為*，當(dāng)時上式可化為*，得5*，∴

；（Ⅱ）證：對于數(shù)列

：