No 1 第一章 電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)

1教材：《材料現(xiàn)代分析方法》左演聲等主編講授：30學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)：18學(xué)時(shí)思考題:單周周四上課時(shí)交閉卷考試，考勤、實(shí)驗(yàn)、考試：10:20:70材料測(cè)試技術(shù)及方法HarvardatHarvard理想的候選人須“有能力，左右逢源，主動(dòng)，有學(xué)術(shù)好奇心，而且要有異常出色的潛力Resourceful、Initiative、Intellectualcuriosity、Andbecausetheirworkholdsexceptionalpromise摘自科學(xué)網(wǎng)博客“哈佛里的哈佛”/blog-1102703-851648.html23課程相關(guān)的參考書目：王培銘，許乾慰主編，《材料研究方法》，科學(xué)出版社，2005年楊南如主編，《無(wú)機(jī)非金屬材料測(cè)試實(shí)驗(yàn)》，武漢工業(yè)大學(xué)出版社，1990年。周玉主編，《材料分析方法》，機(jī)械工業(yè)出版社,2000常鐵軍等編著，《材料近代測(cè)試分析方法》，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1999年。4組織結(jié)構(gòu)性能化學(xué)成分合成加工

材料科學(xué)與工程的內(nèi)涵四要素5相同的氧化鋁材料《材料測(cè)試技術(shù)及方法》教學(xué)目的678910

1.總論1-4章

2.X射線衍射5-8章

3.電子顯微鏡

4.分子光譜12章

5.其他分析方法課程內(nèi)容透射電鏡9章掃描電鏡10章紫外、可見吸收光譜紅外吸收光譜熱分析方法17章電子能譜法13章*****11第一節(jié)電磁輻射與物質(zhì)波電磁輻射與波粒二象性、電磁波譜、物質(zhì)波第二節(jié)材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（一）原子能級(jí)及其表征#、分子運(yùn)動(dòng)與能態(tài)第三節(jié)材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（二）晶體結(jié)構(gòu)、干涉指數(shù)、倒易點(diǎn)陣#、晶帶衍射分析（之一）電磁輻射與材料結(jié)構(gòu)

第一章總論

光譜、能譜12學(xué)習(xí)目的與要求一、目的與要求1.*掌握電磁輻射與物質(zhì)結(jié)構(gòu)的關(guān)系。2.掌握電子波波長(zhǎng)的計(jì)算。3.理解電子和分子的能級(jí)分布3.*掌握干涉指數(shù)的表示方法和意義。4.**

掌握倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣之間的關(guān)系，倒易矢量的表示方法。5.掌握晶帶指數(shù)與晶面指數(shù)的關(guān)系。二、學(xué)時(shí)講授2學(xué)時(shí)，自學(xué)大于8學(xué)時(shí)。13第一節(jié)電磁輻射與物質(zhì)波

一、電磁輻射與波粒二象性電磁輻射是指在空間傳播的交變電磁場(chǎng)1、電磁輻射的波動(dòng)性電磁波在空間的傳播遵循波動(dòng)方程；反射、折射、干涉、衍射、偏振等是電磁輻射波動(dòng)性的表現(xiàn)．14電磁波的物理參數(shù)光速(c)：電磁波在真空中的傳播速度：c=3×108m/s波長(zhǎng)(λ)：波在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)傳播的距離波數(shù)(σ或K)

：波在其傳播方向上單位長(zhǎng)度內(nèi)波長(zhǎng)的數(shù)目，亦即λ的倒數(shù)(1/λ)頻率(ν)：每秒鐘內(nèi)波振動(dòng)的次數(shù)，Hz(赫茲)．位相(φ)：決定波在任一時(shí)刻(或位置)的狀態(tài)的參數(shù)，其值關(guān)系到同頻率的不同波束能否發(fā)生干涉等相互作用：位相差為2π的整數(shù)倍時(shí)發(fā)生干涉152、電磁波的粒子性電磁波是由光子所組成的光子流，電磁波與物質(zhì)相互作用，如光電效應(yīng)等現(xiàn)象是其微粒性的表現(xiàn)。物理參數(shù)有：光子能量(E)和光子動(dòng)量(p)等電磁波波動(dòng)性與微粒性通過(guò)下式相聯(lián)系，即16射線譜二、電磁波譜穆斯堡爾光譜法X-射線吸收光譜法X-熒光光譜法原子光譜分子光譜紅外吸收光譜法電子自旋共振波譜法核磁共振波譜法光學(xué)光譜波譜相應(yīng)的波譜技術(shù)17三、物質(zhì)波

德布羅意(de.Broglie)于1924年提出運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子[指靜止質(zhì)量(m0)不為零的實(shí)物微粒，如電子、中子、質(zhì)子等]也具有波粒二象性，稱為物質(zhì)波或德布羅意波，如電子波、中子波等。物質(zhì)波也符合波動(dòng)性與微粒性關(guān)系式：18勻速直線運(yùn)動(dòng)著的電子必定和一個(gè)波動(dòng)相對(duì)應(yīng)，其波長(zhǎng)為：對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的粒子，m為相對(duì)論質(zhì)量，有

初速為零的電子在電壓為V的電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)，獲得速度v，

可得電子波的波長(zhǎng)：電子波19半波長(zhǎng)是光學(xué)玻璃透鏡分辨本領(lǐng)的理論極限，可見光的波長(zhǎng)在3900~7600?，其極限分辨率為2000?目前電子顯微鏡的分辨率達(dá)?數(shù)量級(jí)，正是由于采用短波長(zhǎng)的電子波作為光源和磁透鏡而實(shí)現(xiàn)的技術(shù)。20第二節(jié)材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)(一)材料一般界定在固體物質(zhì)范圍，固體由原子(離子)聚集成分子態(tài)、晶態(tài)和非晶態(tài)等固體物質(zhì)的不同存在形式。一、原子能態(tài)及其表征二、分子運(yùn)動(dòng)與能級(jí)三、原子的磁矩和原子核自旋（選學(xué)）四、固體的能帶結(jié)構(gòu)

（自學(xué)）21一、原子能態(tài)及其表征1．原子結(jié)構(gòu)與電子量子數(shù)

核外電子在各自的軌道上運(yùn)動(dòng)并用“電子(殼)層”形象化描述電子的分布狀況．Na：1s22s22p63s1

核外電子在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下所具有的能量數(shù)值各不相同，并且其變化是不連續(xù)的即量子化的，常用能級(jí)(圖)形象化地進(jìn)行表示．能級(jí)圖：按一定比例以一定高度的水平線代表一定的能量，并把電子各個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能量按大小順序而構(gòu)成的梯級(jí)圖形核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由n(主量子數(shù))、l(角量子數(shù))、m(磁量子數(shù))、s(自旋量子數(shù))和ms(自旋磁量子數(shù))表征22a、主量子數(shù)n能量主量子數(shù)

n=1，2，3，……K,L,M，……

電子層23激發(fā)態(tài)能量基態(tài)激發(fā)態(tài)24251889年瑞典物理學(xué)家里德伯將上述各系列譜線歸納出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式：26b、角量子數(shù)l

電子軌道的角度分布，即電子云的形狀。取值為0，1，2，...n-1正整數(shù)，共有n個(gè)。當(dāng)l=0,1,2,3，...

時(shí)原子軌道分別用s,p,d,f

，...表示。當(dāng)n

相同時(shí)，不同l的原子軌道稱為亞層。s軌道p軌道d軌道27電子云的角度部分圖示28c、磁量子數(shù)m電子軌道在空間的取向數(shù)值可以是0，1，2，....l，對(duì)于某個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以有2l+1個(gè)磁量子數(shù)。例如l＝1，ml

可以為0，1三個(gè)不同的取向，用pz，px,py

表示。29d、自旋量子數(shù)s和ms：電子本身作自旋運(yùn)動(dòng)。其中，s=1/2

，電子自旋有順時(shí)針和逆時(shí)針兩個(gè)方向，因此，自旋量子數(shù)ms為1/2(反映自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的分量大小)30原子的電子能級(jí)示意圖

單電子電子間相互作用2（2l+1）個(gè)電子能量簡(jiǎn)并軌道-自旋相互作用外磁場(chǎng)作用圖1-131氫、氦、鋰、鈉、鋇、汞、氖的發(fā)射光譜（從上到下）鈉氫322、原子能態(tài)與原子量子數(shù)多電子原子中存在的電子與電子相互作用可分為軌道-軌道相互作用、自旋-自旋相互作用及自旋-軌道相互作用將軌道-軌道相互作用、自旋-自旋相互作用稱為剩余相互作用對(duì)角動(dòng)量進(jìn)行加和組合的過(guò)程稱為偶合，進(jìn)而獲得表征多電子原子整體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與能態(tài)的原子量子數(shù)。偶合分為L(zhǎng)-S偶合和J-J偶合。33

J-J耦合：當(dāng)剩余相互作用小于自旋-軌道偶合相互作用時(shí)，即一個(gè)電子的自旋和它本身的軌道之間的耦合很強(qiáng)，產(chǎn)生一個(gè)總角動(dòng)量J，兩個(gè)總角動(dòng)量的耦合較小，但不能忽略。使用場(chǎng)合主要局限在一些重原子的能級(jí)上。L-S耦合：當(dāng)剩余相互作用大于自旋-軌道偶合相互作用時(shí)，即兩個(gè)電子的自旋之間相互作用較強(qiáng)，同時(shí)兩個(gè)電子的軌道之間相互作用也較強(qiáng)。此偶合方式適用于輕元素和中等元素（Z<40）34LS

耦合(LS

coupling)

描述原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原子量子數(shù)為S、L、J、MJ。自旋總角動(dòng)量

軌道總角動(dòng)量原子的總角動(dòng)量

數(shù)值

總磁量子數(shù)MJ

數(shù)值

0，1，2，…，J（當(dāng)J為整數(shù)時(shí)）或1/2，3/2，…，J（當(dāng)J為半整數(shù)時(shí)）

以雙原子為例以雙原子為例，共2L+1個(gè)

例1:設(shè)兩個(gè)原子的價(jià)電子的組態(tài)為2p和3d，求通過(guò)LS耦合所形成的原子態(tài)。

解:

根據(jù)題意，l1=1，l2=2，s1=1/2，s2=1/2。

s=0，1；l=1，2，3。當(dāng)s=0時(shí)：對(duì)于l=1，得到j(luò)=1，這是單一態(tài)；對(duì)于l=2，得到j(luò)=2，這是單一態(tài);對(duì)于l=3，得到j(luò)=3，這是單一態(tài)。當(dāng)s=1時(shí)：

對(duì)于l=1，得到j(luò)=0、1、2，這是三重態(tài);

對(duì)于l=2，得到j(luò)=1、2、3，這是三重態(tài);

對(duì)于l=3，得到j(luò)=2、3、4，這是三重態(tài)。36原子能級(jí)：nMLJ主量子數(shù)光譜項(xiàng)總軌道角量子數(shù)L＝0，1，2，3，4…，

S、P、D、F、G…總量子數(shù)正整數(shù)或半整數(shù)，L+S，L+S-1，L+S-2，…，L-S。若L≥S，有2S+1個(gè)值；若L＜S，則J有2L+1個(gè)值M為J的可能取值的個(gè)數(shù)，若L≥S，M=2S+1；若L＜S，M=2L+1光譜項(xiàng)多重性（稱譜線多重性符號(hào)）37某原子的一個(gè)光譜項(xiàng)為23PJ，即有n=2，L=1，設(shè)S=1，（故M=2S+1=3），據(jù)L-S偶合，J=2，1，0。（當(dāng)有外磁場(chǎng)存在時(shí)，出現(xiàn)塞曼分裂，其分裂情況取決于MJ）當(dāng)J＝2時(shí)，MJ=0，1，2；J=1時(shí)，MJ=0，1；J=0時(shí)，MJ＝0。23PJ光譜項(xiàng)及其分裂如圖所示38

原子能級(jí)圖一條譜線用兩個(gè)光譜項(xiàng)符號(hào)來(lái)表示Na5889.96?

(3S1/2－32P3/2)Na5895.93?

(3S1/2－32P1/2)393．原子基態(tài)、激發(fā)、電離及能級(jí)躍遷原子核外電子遵從能量最低原理、包利(Pauli)不相容原理和洪特(Hund)規(guī)則，分布于各個(gè)能級(jí)上，此時(shí)原子處于能量最低狀態(tài)，稱之為基態(tài)。原子中的一個(gè)或幾個(gè)電子由基態(tài)所處能級(jí)躍遷到高能級(jí)上，這時(shí)的原子狀態(tài)稱激發(fā)態(tài)，是高能態(tài)；而原子由基態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榧ぐl(fā)態(tài)的過(guò)程稱為激發(fā)，激發(fā)需要的能量稱為激發(fā)能，其大小等于電子被激發(fā)后所處(高)能級(jí)與激發(fā)前所處能級(jí)之差40高能級(jí)向低能級(jí)躍遷方式原子激發(fā)態(tài)是不穩(wěn)定態(tài)，大約只能存在10-8～10-10s，電子將隨即返回基態(tài)．原子中電子受激向高能級(jí)躍遷或由高能級(jí)向低能級(jí)躍遷均稱為電子躍遷或能級(jí)躍遷．電子由高能級(jí)向低能級(jí)的躍遷可分為兩種方式：躍遷過(guò)程中多余的能量即躍遷前后能量差以電磁輻射的方式放出，稱之為輻射躍遷；若多余的能量轉(zhuǎn)化為熱能等形式，則稱之為無(wú)輻射躍遷．41原子的電離原子中的電子獲得足夠的能量就會(huì)脫離原子核的束縛，產(chǎn)生電離．使原子電離所需的能量稱之為電離能，稱為電離電位．原子失去一個(gè)電子，稱為一次電離；再次電離使原子再失去一個(gè)電子，稱為二次電離；三次電離等依次類推42二、分子運(yùn)動(dòng)與能態(tài)分子由原子組成，原子結(jié)合成分子時(shí)可以是共價(jià)鍵，也可以是離子鍵，本處僅限于討論共價(jià)鍵的情況．1．分子的總能量與能級(jí)結(jié)構(gòu)

一般分子總能量(E)可近似認(rèn)為由分子中各原子核外電子軌道運(yùn)動(dòng)能量(Ee)，原子(或原子團(tuán))相對(duì)振動(dòng)能量(Ev)及整個(gè)分子繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的能量(Er)組成，即43（雙原子）分子能級(jí)（結(jié)構(gòu)）示意圖A、B-電子能級(jí)；V、V-振動(dòng)能級(jí)；J、J-轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)

44轉(zhuǎn)動(dòng)能級(jí)差：（相當(dāng)于微波和遠(yuǎn)紅外）振動(dòng)能級(jí)差：（紅外）電子能級(jí)躍遷：（近紅外，可見，紫外，遠(yuǎn)紫外)一般地,

ER<Ev<Ee452、分子軌道與電子能級(jí)按分子軌道理論，分子軌道可近似用原子軌道的線性組合表示。分子軌道可分為成鍵軌道與反鍵軌道按價(jià)鍵理論，具有未成對(duì)電子的原子接近時(shí)可因未成對(duì)電子配對(duì)從而使原子軌道部分重疊形成分子軌道。自旋反向的未成對(duì)電子配對(duì)形成成鍵軌道，自旋同向電子配對(duì)則形成反鍵軌道。46原子軌道與分子軌道的形狀H247根據(jù)分子軌道沿鍵軸的分布特點(diǎn)，將其分為σ軌道(軌道上相應(yīng)的電子及成鍵作用稱σ電子與σ鍵)：對(duì)鍵軸成圓柱形對(duì)稱的分子軌道，即“頭碰頭”π軌道(相應(yīng)的π電子與π鍵)：通過(guò)鍵軸的節(jié)面反對(duì)稱，包含一個(gè)含鍵軸的節(jié)面，即“肩并肩”。48xyz49xz

N2分子：N1s22s22p3

——(2px12py12pz1)51O2分子電子能級(jí)示意圖將分子軌道運(yùn)動(dòng)按能量大小順序排列，即可得到分子的電子能級(jí)圖思考題1：請(qǐng)將氧原子、氧分子中的電子填充情況在圖1-4中。52分子振動(dòng)是指分子中原子（或原子團(tuán)）以平衡位置為中心的相對(duì)（往復(fù)）運(yùn)動(dòng)。雙原子分子的振動(dòng)可近似用彈簧諧振子模擬。虎克定律：牛頓第二定律：可求得諧振子振動(dòng)頻率（）是彈簧力常數(shù)（k）和小球質(zhì)量（m）的函數(shù)

3．分子的振動(dòng)與振動(dòng)能級(jí)

（1）雙原子分子的振動(dòng)

53雙原子分子振動(dòng)的振動(dòng)頻率（）與彈簧力常數(shù)（k），即化學(xué)鍵的強(qiáng)度和原子折合質(zhì)量（）有關(guān)分子振動(dòng)與彈簧諧振子相比，不同之處在于振動(dòng)能量是量子化的。按量子理論的推導(dǎo)，有

式中：Ev——分子振動(dòng)能；

V——振動(dòng)量子數(shù)，V可取值0，1，2，…；

h——普朗克常數(shù)。

54(2)多原子分子的振動(dòng)多原子分子振動(dòng)遠(yuǎn)較雙原子分子復(fù)雜．(1)伸縮振動(dòng)是指原子沿著價(jià)鍵方向；來(lái)回運(yùn)動(dòng)，即振動(dòng)時(shí)鍵長(zhǎng)發(fā)生變化，鍵角不變。CHHCHH伸縮振動(dòng)vs，CH2vas，CH255(2)、變形振動(dòng)，又稱變角振動(dòng)是指基團(tuán)鍵角發(fā)生變化而鍵長(zhǎng)不變的振動(dòng)變形振動(dòng)面內(nèi)變形面外變形非平面搖擺ω

扭曲振動(dòng)τ

剪式振動(dòng)δs

平面擺動(dòng)ρ

CHHCHHCHHCHH56第三節(jié)材料結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)(二)一、晶體結(jié)構(gòu)1．空間點(diǎn)陣的概念為了描述晶體中原子的排列規(guī)則，將每一個(gè)原子抽象視為一個(gè)幾何點(diǎn)，并從而得到一個(gè)按一定規(guī)則排列分布的無(wú)數(shù)多個(gè)陣點(diǎn)組成的空間陣列，稱為空間點(diǎn)陣或晶體點(diǎn)陣，簡(jiǎn)稱點(diǎn)陣572．陣胞與點(diǎn)陣類型在點(diǎn)陣中選擇一個(gè)由陣點(diǎn)連接而成的幾何圖形(一般為平行六面體)作為點(diǎn)陣的基本單元來(lái)表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)的周期性，稱為陣胞(晶胞)見表1-5：7大晶系和14種布拉菲點(diǎn)陣（課下溫習(xí)），要求：對(duì)常見晶系：立方、六方等相關(guān)的知識(shí)應(yīng)熟記。583．晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣

晶體結(jié)構(gòu)=空間點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元

結(jié)構(gòu)基元具有多樣性：可能是同種或異種原子、離子，也可能是分子、原子團(tuán)等，而原子團(tuán)內(nèi)的原子分布也不盡相同等。594，晶向和晶面指數(shù)

-密勒指數(shù)晶向

[uvw]（互質(zhì)數(shù)）晶向組：相互平行的晶向晶向族：原子排列情況相同

<uvw>晶面（uvw）（互質(zhì)數(shù)）晶面組

晶面族

{uvw}ABC晶面？？60

六方系四數(shù)值晶向指數(shù)［uvtw］與四數(shù)值晶面指數(shù)(hkil)中均只有3個(gè)值是獨(dú)立的h＋k+i=0u＋v+t=0六方晶系晶向指數(shù)與晶面指數(shù)

61

立方晶系中指數(shù)相同的晶向和晶面相互垂直在(hkl)晶面組(其晶面間距記為dhkl)同一空間方位上，設(shè)若有晶面間距為dhkl/n(n為任意整數(shù))的晶面(組)，應(yīng)如何標(biāo)識(shí)？[110]625．干涉指數(shù)若僅考慮晶面的空間方位，則A1，A2，A3，…與A1，B1，A2，B2，…一樣，均以晶面指數(shù)(010)標(biāo)識(shí)，但若進(jìn)一步考慮二者晶面間距之不同，則可分別用(010)和(020)標(biāo)識(shí)，此即為干涉指數(shù)．63干涉指數(shù)(HKL):可帶有公約數(shù)(n)的晶面指數(shù)[即(nhnknl)，或?qū)憺閚(hkl)]，即廣義的晶面指數(shù)干涉指數(shù)是對(duì)晶面空間方位與晶面間距的標(biāo)識(shí)：若將(hkl)晶面間距記為dhkl，則晶面間距為dhkl/n(n為正整數(shù))的晶面干涉指數(shù)為(nhnknl)，記為(HKL)(dhkl/n則記為dHKL)．例如晶面間距分別為d110/2，d110/3的晶面，其干涉指數(shù)分別為(220)和(330)應(yīng)當(dāng)指出，干涉指數(shù)表示的晶面并不一定是晶體中的真實(shí)原子面，即干涉指數(shù)表示的晶面上不一定有原子分布。干涉指數(shù)概念的建立是出于衍射分析等工作的實(shí)際需要，它使許多問(wèn)題的解決得以簡(jiǎn)化64勞埃斑LauespotsX射線X--rayCuSO4·5H2O多晶單晶65二、倒易點(diǎn)陣這些斑點(diǎn)與晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？？長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與其電子衍射斑點(diǎn)之間可以通過(guò)另外一個(gè)假想的點(diǎn)陣很好地聯(lián)系起來(lái)，這就是倒易點(diǎn)陣。661．倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣是由晶體點(diǎn)陣按照一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立的空間點(diǎn)陣，此對(duì)應(yīng)關(guān)系可稱為倒易變換．對(duì)于一個(gè)由點(diǎn)陣基矢ai(i=l，2，3，記為a、b、c)定義的點(diǎn)陣(可稱正點(diǎn)陣)，若有另一個(gè)由點(diǎn)陣基矢aj*

(j=1，2，3，記為a*，b*，c*)定義的點(diǎn)陣，滿足

則稱由aj*定義的點(diǎn)陣為ai定義的點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣．67定義式中之常數(shù)K，多數(shù)情況下取K=1，有時(shí)取K=λ(入射波長(zhǎng))或K=2π，下文中不特別注明時(shí)，則認(rèn)為K=1．

倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣互為倒易關(guān)系：

a1*·a2

=a1*·a3

=a2*·a1

=a2*·a3

=a3*·a1

=a3*·a2

=0a1*·a1

=a2*·a2

=a3*·a3

=1

682．倒易點(diǎn)陣基矢表達(dá)式由ai(i=1，2，3)表達(dá)aj*(j=l，2，3)的關(guān)系式，即式中：V-陣胞(a1、a2、a3構(gòu)成的平行六面體)體積，按矢量混合積幾何意義，V=a1·(a2×a3)．

69倒易點(diǎn)陣參數(shù)計(jì)算公式由正點(diǎn)陣參數(shù)表達(dá)的倒易點(diǎn)陣參數(shù)及α*(a2*與a3*夾角)、β*(a1*與a3*夾角)和γ*(a2*與a1*夾角)為70例：立方晶系倒易點(diǎn)陣的表達(dá)式基矢：a=b=c，夾角：α=β=γ=90，V=a3；將其代入公式，則有；同理可得b*、c*、γ*、β*，即

713．倒易矢量及其基本性質(zhì)在倒易點(diǎn)陣中建立坐標(biāo)系：

以任一倒易陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(以下稱倒易原點(diǎn)，一般取其與正點(diǎn)陣坐標(biāo)原點(diǎn)重合)，以a1*、a2*、a3*分別為三坐標(biāo)軸單位矢量，由倒易原點(diǎn)向任意倒易陣點(diǎn)(以下常簡(jiǎn)稱為倒易點(diǎn))的連接矢量稱為倒易矢量，用r*表示．若r*終點(diǎn)(倒易點(diǎn))坐標(biāo)為(H，K，L)，此時(shí)可將r*記作rHKL*：

72倒易矢量性質(zhì)（與正點(diǎn)陣中對(duì)應(yīng)晶面的關(guān)系）的導(dǎo)出倒易矢量的基本性質(zhì)rHKL*垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的(HKL)晶面，其長(zhǎng)度rHKL*等于(HKL)之晶面間距dHKL倒數(shù)73倒易矢量的基本性質(zhì)證明：設(shè)平面ABC為(HKL)在3個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為1/H、1/K和1/L，即有OA=a/H，OB=b/K，OC=c/L。又設(shè)n0為(HKL)法線單位矢量，并設(shè)倒易原點(diǎn)(O*)與正點(diǎn)