山西省呂梁市中陽縣武家莊鎮(zhèn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

山西省呂梁市中陽縣武家莊鎮(zhèn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，則過點可作圓的兩條切線的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知雙曲線的左、右焦點分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點，且，則雙曲線的離心率的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由已知可知：點在軸上，設(shè)，∵，∴，即，在中，，由余弦定理有，由定義有:，即，∴.考點：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.余弦定理.

4.在右程序框圖中，當(dāng)時，函數(shù)表示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若輸入函數(shù)，則輸出的函數(shù)可化為

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知△ABC兩內(nèi)角A、B的對邊邊長分別為a、b，

則“”是“

”的（

）A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.非充分非必要條件參考答案：6.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.80參考答案：C分析：寫出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題。7.已知等比數(shù)列滿足，則的值為（

）A．1

B．2

C.

D．參考答案：A8.將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量=（﹣，2）平移后，得到函數(shù)g（x）=sin（2x+）+2的圖象，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A．y=sin2xB．y=sin（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）參考答案：A考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先求出向量的相反向量﹣，然后將函數(shù)y=sin（x+）+2按照﹣的方向進行平移整理，即可得到答案．解答：解：∵=（﹣，2），∴﹣=（，﹣2），將y=sin（2x+）+2按照向量﹣平移后得到，y=sin[2（x﹣）+]=sin2x的圖象，故選：A．點評：本題主要考查三角函數(shù)按向量的方向進行平移．屬基礎(chǔ)題．9.下列說法正確的是（

）A．“若，則”的否命題是“若，則”.

B．“若，則”的逆命題為真命題.C．，使成立.

D．“若，則”是真命題.參考答案：D對于A.“若，則”的否命題是“若，則”,故A錯誤;對于B.“若,則”的逆命題為“若,則”,當(dāng)時,,故B錯誤;對于C.因為,所以C錯誤;對于D.“若，則”是真命題，故選D.

10.若關(guān)于x的不等式xln+x﹣kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，則整數(shù)k的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．5參考答案：A【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）+x﹣k（x﹣3）＞0，整理后對x討論，x=3，x＞3，1＜x＜3時，運用參數(shù)分離，求得最值，主要是x＞3時，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點x0位于（13，14）內(nèi)，且知此零點為函數(shù)h（x）的最小值點，經(jīng)求解知h（x0）=x0，從而得到k＜x0，則正整數(shù)k的最大值可求．【解答】解：關(guān)于x的不等式xlnx+x﹣kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，即k（x﹣3）＜x+xlnx，當(dāng)x=3時，不等式顯然成立；當(dāng)x＞3，即有k＜對任意x＞3恒成立．令h（x）=，則h′（x）=，令φ（x）=x﹣3lnx﹣6（x＞3），則φ′（x）=1﹣＞0，所以函數(shù)φ（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，因為φ（13）=7﹣3ln13＜0，φ（14）=8﹣3ln14＞0，所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一實根x0，且滿足x0∈（13，14）．當(dāng)13＜x＜x0時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，當(dāng)x＞x0時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函數(shù)h（x）=在（13，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．所以[h（x）]min=h（x0）===x0∈（，）．所以k＜[h（x）]min=x0，因為x0∈（13，14）．故整數(shù)k的最大值是4；當(dāng)1＜x＜3時，即有k＞對任意x＞3恒成立．由于x﹣3＜0，可得＜0，即有k≥0，綜上可得，k的最大值為4．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，若=°,∠B=°，BC=，則AC=

參考答案：略12.已知，且，則

。參考答案：略13.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f的值為________．參考答案：214.某展室有9個展臺，現(xiàn)有3件展品需要展出，要求每件展品獨自占用1個展臺，3件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，且3件展品所選用的展臺之間間隔不超過2個展臺，則不同的展出方法種數(shù)為

種（用數(shù)字作答）；參考答案：48略15.已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．參考答案：16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x+y=4，曲線C2：（θ為參數(shù)），過原點O的直線l分別交C1，C2于A，B兩點，則的最大值為．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】求出曲線（θ為參數(shù)）的普通方程，設(shè)直線方程為kx﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出的最大值．【解答】解：曲線（θ為參數(shù)），普通方程為（x﹣1）2+y2=1．設(shè)直線方程為kx﹣y=0，圓心到直線的距離d=，∴|OB|=2=，kx﹣y=0與x+y=4聯(lián)立，可得A（，），∴|OA|=，∴=，設(shè)k+1=t（t＞0），則=≤=．∴的最大值為．故答案為．17.已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)）且，則數(shù)列的通項公式為

△

．參考答案：答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中點，

（Ⅰ）求證平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角正弦值；

（Ⅲ）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值

參考答案：解析：解法一（幾何法）

（Ⅰ）證明：正方形ABCD

∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF

∵AG，GB面ABEF，

∴CB⊥AG，CB⊥BG又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG

∵CG∩BG=B，∴AG⊥平面CBG

面AG面AGC，故平面AGC⊥平面BGC.…4分（Ⅱ）解：如圖，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，

∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角∴Rt△CBG中又BG=，∴

……8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC，

作BO⊥AC，垂足為O，連結(jié)HO，則HO⊥AC，∴∠BOH為二面角B—AC—G的平面角在Rt△ABC中，在Rt△BOH中，

即二面角B—AC—G的平面角的正弦值為.

……12分[方法二]（向量法）解法：以A為原點建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）（Ⅰ）證明：略（Ⅱ）由題意可得，，設(shè)平面AGC的法向量為，由（Ⅲ）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得∴二面角B—AC—G的的平面角的正弦值為.19.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有零點，求的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)，時，---2分∵函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴即在上的最大值為4.------------4分（2）函數(shù)的定義域為-------------5分函數(shù)有零點即方程有解即有解-----------------------------7分令

當(dāng)時∵------------------------------------9分∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴--------------------10分當(dāng)時，∵-----------------12分∴函數(shù)在上是減函數(shù)，∴---------------------13分∴方程有解時即函數(shù)有零點時的取值范圍為---------------------------14分略20.已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：ln2?ln3…lnn＞（n≥2，n∈N+）．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可；（Ⅲ）得到lnx≥，令x=n（n≥2，n∈N*），得lnn＞，x取不同的值，相乘即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx++1，設(shè)g（x）=f′（x），g′（x）=，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，g（x）min=g（1）=2，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間．（Ⅱ）設(shè)h（x）=（x﹣1）lnx﹣ax+a，由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+=1﹣a=g（x）﹣a，g（x）在（1，+∞）遞增，∴g（x）≥g（1）=2，（1）當(dāng)a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）遞增，∴h（x）≥h（1）=0，滿足題意．（2）當(dāng)a＞2時，設(shè)ω（x）=h′（x），ω′（x）=，當(dāng)x≥1時，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）遞增，ω（1）=2﹣a＜0，ω（ea）=1+e﹣a＞0，∴?x0∈（1，ea），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）遞增，∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，∴當(dāng)x∈（1，x0時，h（x）＜h（1）=0，不滿足題意．綜上，a的取值范圍為（﹣∞，2]．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），∴x≥1，lnx≥（當(dāng)且僅當(dāng)x=1取“=”），令x=n（n≥2，n∈N*）得lnn＞，即ln2＞，ln3＞，ln4＞，…，ln（n﹣2）＞，ln（n﹣1）＞，lnn＞，將上述n﹣1個式子相乘得：ln2?ln3…lnn＞=，∴原命題得證．21.已知全集

（1）求A、B；

（2）求參考答案：解：（1）由已知得：

解得由得： （2）由（I）可得

故略22.在△ABC中，點D為BC邊上一點，且BD=1，E為AC的中點，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的長．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特