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文檔簡介
山西省呂梁市中陽縣武家莊鎮(zhèn)中學2021年高三數(shù)學文測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若,則過點可作圓的兩條切線的概率為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D略2.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是A.
B.
C.
D.參考答案:B略3.已知雙曲線的左、右焦點分別是,正三角形的一邊與雙曲線左支交于點,且,則雙曲線的離心率的值是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B試題分析:由已知可知:點在軸上,設(shè),∵,∴,即,在中,,由余弦定理有,由定義有:,即,∴.考點:1.雙曲線的標準方程;2.余弦定理.
4.在右程序框圖中,當時,函數(shù)表示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若輸入函數(shù),則輸出的函數(shù)可化為
A.
B.
C.
D.參考答案:D5.已知△ABC兩內(nèi)角A、B的對邊邊長分別為a、b,
則“”是“
”的(
)A.充分非必要條件
B.必要非充分條件
C.充要條件
D.非充分非必要條件參考答案:6.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.80參考答案:C分析:寫出,然后可得結(jié)果詳解:由題可得令,則所以故選C.點睛:本題主要考查二項式定理,屬于基礎(chǔ)題。7.已知等比數(shù)列滿足,則的值為(
)A.1
B.2
C.
D.參考答案:A8.將函數(shù)y=f(x)的圖象按向量=(﹣,2)平移后,得到函數(shù)g(x)=sin(2x+)+2的圖象,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.y=sin2xB.y=sin(2x+)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x﹣)參考答案:A考點:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:先求出向量的相反向量﹣,然后將函數(shù)y=sin(x+)+2按照﹣的方向進行平移整理,即可得到答案.解答:解:∵=(﹣,2),∴﹣=(,﹣2),將y=sin(2x+)+2按照向量﹣平移后得到,y=sin[2(x﹣)+]=sin2x的圖象,故選:A.點評:本題主要考查三角函數(shù)按向量的方向進行平移.屬基礎(chǔ)題.9.下列說法正確的是(
)A.“若,則”的否命題是“若,則”.
B.“若,則”的逆命題為真命題.C.,使成立.
D.“若,則”是真命題.參考答案:D對于A.“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯誤;對于B.“若,則”的逆命題為“若,則”,當時,,故B錯誤;對于C.因為,所以C錯誤;對于D.“若,則”是真命題,故選D.
10.若關(guān)于x的不等式xln+x﹣kx+3k>0對任意x>1恒成立,則整數(shù)k的最大值為()A.4 B.3 C.2 D.5參考答案:A【考點】函數(shù)恒成立問題.【分析】把函數(shù)f(x)的解析式代入f(x)+x﹣k(x﹣3)>0,整理后對x討論,x=3,x>3,1<x<3時,運用參數(shù)分離,求得最值,主要是x>3時,求其導(dǎo)函數(shù),得到其導(dǎo)函數(shù)的零點x0位于(13,14)內(nèi),且知此零點為函數(shù)h(x)的最小值點,經(jīng)求解知h(x0)=x0,從而得到k<x0,則正整數(shù)k的最大值可求.【解答】解:關(guān)于x的不等式xlnx+x﹣kx+3k>0對任意x>1恒成立,即k(x﹣3)<x+xlnx,當x=3時,不等式顯然成立;當x>3,即有k<對任意x>3恒成立.令h(x)=,則h′(x)=,令φ(x)=x﹣3lnx﹣6(x>3),則φ′(x)=1﹣>0,所以函數(shù)φ(x)在(3,+∞)上單調(diào)遞增,因為φ(13)=7﹣3ln13<0,φ(14)=8﹣3ln14>0,所以方程φ(x)=0在(3,+∞)上存在唯一實根x0,且滿足x0∈(13,14).當13<x<x0時,φ(x)<0,即h′(x)<0,當x>x0時,φ(x)>0,即h′(x)>0,所以函數(shù)h(x)=在(13,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.所以[h(x)]min=h(x0)===x0∈(,).所以k<[h(x)]min=x0,因為x0∈(13,14).故整數(shù)k的最大值是4;當1<x<3時,即有k>對任意x>3恒成立.由于x﹣3<0,可得<0,即有k≥0,綜上可得,k的最大值為4.故選:A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中,若=°,∠B=°,BC=,則AC=
參考答案:略12.已知,且,則
。參考答案:略13.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB,其中點O,A,B的坐標分別為(0,0),(1,2),(3,1),則f的值為________.參考答案:214.某展室有9個展臺,現(xiàn)有3件展品需要展出,要求每件展品獨自占用1個展臺,3件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰,且3件展品所選用的展臺之間間隔不超過2個展臺,則不同的展出方法種數(shù)為
種(用數(shù)字作答);參考答案:48略15.已知函數(shù)f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為________.參考答案:16.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1:x+y=4,曲線C2:(θ為參數(shù)),過原點O的直線l分別交C1,C2于A,B兩點,則的最大值為.參考答案:【考點】參數(shù)方程化成普通方程.【分析】求出曲線(θ為參數(shù))的普通方程,設(shè)直線方程為kx﹣y=0,求出|OA|,|OB|,即可求出的最大值.【解答】解:曲線(θ為參數(shù)),普通方程為(x﹣1)2+y2=1.設(shè)直線方程為kx﹣y=0,圓心到直線的距離d=,∴|OB|=2=,kx﹣y=0與x+y=4聯(lián)立,可得A(,),∴|OA|=,∴=,設(shè)k+1=t(t>0),則=≤=.∴的最大值為.故答案為.17.已知數(shù)列滿足(為正整數(shù))且,則數(shù)列的通項公式為
△
.參考答案:答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(12分)如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且,G是EF的中點,
(Ⅰ)求證平面AGC⊥平面BGC;(Ⅱ)求GB與平面AGC所成角正弦值;
(Ⅲ)求二面角B—AC—G的平面角的正弦值
參考答案:解析:解法一(幾何法)
(Ⅰ)證明:正方形ABCD
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB,∴CB⊥面ABEF
∵AG,GB面ABEF,
∴CB⊥AG,CB⊥BG又AD=2a,AF=a,ABEF是矩形,G是EF的中點,∴AG=BG=,AB=2a,AB2=AG2+BG2,∴AG⊥BG
∵CG∩BG=B,∴AG⊥平面CBG
面AG面AGC,故平面AGC⊥平面BGC.…4分(Ⅱ)解:如圖,由(Ⅰ)知面AGC⊥面BGC,且交于GC,在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC,垂足為H,則BH⊥平面AGC,
∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角∴Rt△CBG中又BG=,∴
……8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知,BH⊥面AGC,
作BO⊥AC,垂足為O,連結(jié)HO,則HO⊥AC,∴∠BOH為二面角B—AC—G的平面角在Rt△ABC中,在Rt△BOH中,
即二面角B—AC—G的平面角的正弦值為.
……12分[方法二](向量法)解法:以A為原點建立直角坐標系,則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0)(Ⅰ)證明:略(Ⅱ)由題意可得,,設(shè)平面AGC的法向量為,由(Ⅲ)因是平面AGC的法向量,又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的法向量,得∴二面角B—AC—G的的平面角的正弦值為.19.(本題滿分14分)設(shè)函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在上的最大值;(2)記函數(shù),若函數(shù)有零點,求的取值范圍.參考答案:解:(1)當,時,---2分∵函數(shù)在上單調(diào)遞增
∴即在上的最大值為4.------------4分(2)函數(shù)的定義域為-------------5分函數(shù)有零點即方程有解即有解-----------------------------7分令
當時∵------------------------------------9分∴函數(shù)在上是增函數(shù),∴--------------------10分當時,∵-----------------12分∴函數(shù)在上是減函數(shù),∴---------------------13分∴方程有解時即函數(shù)有零點時的取值范圍為---------------------------14分略20.已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx,g(x)=a(x﹣1)(a∈R).(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若f(x)≥g(x)對任意的x∈[1,+∞)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求證:ln2?ln3…lnn>(n≥2,n∈N+).參考答案:【考點】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6K:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)求出h(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可;(Ⅲ)得到lnx≥,令x=n(n≥2,n∈N*),得lnn>,x取不同的值,相乘即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=lnx++1,設(shè)g(x)=f′(x),g′(x)=,令g′(x)>0,得x>1,g′(x)<0,得0<x<1,∴g(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,g(x)min=g(1)=2,∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞),無遞減區(qū)間.(Ⅱ)設(shè)h(x)=(x﹣1)lnx﹣ax+a,由(Ⅰ)知:h′(x)=lnx+=1﹣a=g(x)﹣a,g(x)在(1,+∞)遞增,∴g(x)≥g(1)=2,(1)當a≤2時,h′(x)≥0,h(x)在[1,+∞)遞增,∴h(x)≥h(1)=0,滿足題意.(2)當a>2時,設(shè)ω(x)=h′(x),ω′(x)=,當x≥1時,ω′(x)≥0,∴ω(x)在[1,+∞)遞增,ω(1)=2﹣a<0,ω(ea)=1+e﹣a>0,∴?x0∈(1,ea),使ω(x0)=0,∵ω(x)在[1,+∞)遞增,∴x∈(1,x0),ω(x)<0,即h′(x)<0,∴當x∈(1,x0時,h(x)<h(1)=0,不滿足題意.綜上,a的取值范圍為(﹣∞,2].(Ⅲ)由(Ⅱ)知,令a=2,(x+1)lnx≥2(x﹣1),∴x≥1,lnx≥(當且僅當x=1取“=”),令x=n(n≥2,n∈N*)得lnn>,即ln2>,ln3>,ln4>,…,ln(n﹣2)>,ln(n﹣1)>,lnn>,將上述n﹣1個式子相乘得:ln2?ln3…lnn>=,∴原命題得證.21.已知全集
(1)求A、B;
(2)求參考答案:解:(1)由已知得:
解得由得: (2)由(I)可得
故略22.在△ABC中,點D為BC邊上一點,且BD=1,E為AC的中點,.(1)求sin∠BAD;(2)求AD及DC的長.參考答案:【考點】正弦定理;余弦定理.【分析】(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值,由∠BAD=∠B+∠ADB,利用特
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