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文檔簡介
山西省呂梁市汾陽杏花中學2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)f(x)=ex(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是()A.[) B.[) C.[) D.[)參考答案:D【考點】6D:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;51:函數(shù)的零點.【分析】設g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,問題轉化為存在唯一的整數(shù)x0使得g(x0)在直線y=ax﹣a的下方,求導數(shù)可得函數(shù)的極值,數(shù)形結合可得﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解關于a的不等式組可得.【解答】解:設g(x)=ex(2x﹣1),y=ax﹣a,由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g(x0)在直線y=ax﹣a的下方,∵g′(x)=ex(2x﹣1)+2ex=ex(2x+1),∴當x<﹣時,g′(x)<0,當x>﹣時,g′(x)>0,∴當x=﹣時,g(x)取最小值﹣2,當x=0時,g(0)=﹣1,當x=1時,g(1)=e>0,直線y=ax﹣a恒過定點(1,0)且斜率為a,故﹣a>g(0)=﹣1且g(﹣1)=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a,解得≤a<1故選:D【點評】本題考查導數(shù)和極值,涉及數(shù)形結合和轉化的思想,屬中檔題.2.已知復數(shù)z滿足z?(i﹣1)=2i,則z的共軛復數(shù)為() A.1﹣i B. 1+i C. ﹣1+i D. ﹣1﹣i參考答案:B略3.已知函數(shù)f(x)=x﹣存在單調(diào)遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l()A.有3條 B.有2條 C.有1條 D.不存在參考答案:D【分析】求出f(x)的導數(shù),由題意可得f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,討論a<0,a>0可得a>0成立,求得切線l的方程,再假設l與曲線y=ex相切,設切點為(x0,y0),即有e=1﹣=(1﹣)x0﹣1,消去a得x0﹣﹣1=0,設h(x)=exx﹣ex﹣1,求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得h(x)在(0,+∞)有唯一解,由a>0,即可判斷不存在.【解答】解:函數(shù)f(x)=x﹣的導數(shù)為f′(x)=1﹣e,依題意可知,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,①a<0時,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)無解,不符合題意;②a>0時,f′(x)>0即a>e,lna>,x<alna符合題意,則a>0.易知,曲線y=f(x)在x=0處的切線l的方程為y=(1﹣)x﹣1.假設l與曲線y=ex相切,設切點為(x0,y0),即有e=1﹣=(1﹣)x0﹣1,消去a得,設h(x)=exx﹣ex﹣1,則h′(x)=exx,令h′(x)>0,則x>0,所以h(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當x→﹣∞,h(x)→﹣1,x→+∞,h(x)→+∞,所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,則,而a>0時,,與矛盾,所以不存在.故選:D.4.如果二次函數(shù)有兩個不同的零點,那么的取值范圍是.A.
B.
C.
D.參考答案:D5.已知復數(shù)(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z在復平面對應的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:D【分析】先化簡復數(shù)為代數(shù)形式,再確定對應的點所在象限.【詳解】因為,對應的點為,位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查了復數(shù)的基本運算和復數(shù)的幾何意義,屬于基本題.6.如圖所示的算法框圖中,輸出S的值為(
)A.10
B.12
C.15
D.18參考答案:B略7.函數(shù)的最小值為
A.10
B.9
C.6
D.4參考答案:A8.點M(x0,y0)是圓x2+y2=r2內(nèi)圓心以外的一點,則直線x0x+y0y=r2與該圓的位置關系是(
)(A)相切
(B)相交
(C)相離
(D)相切或相交參考答案:C9.若復數(shù)
(為虛數(shù)單位),是z的共軛復數(shù),則在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點的坐標為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C略10.已知是定義在上的非負可導函數(shù),且滿足.對任意正數(shù),若,則必有A.
B.
C.
D.參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分16.已知二次函數(shù)()的圖象如圖所示,有下列四個結論:
①
②
③
④,其中所有正確結論的序號有
參考答案:①②③略12.我校女籃6名主力隊員在最近三場訓練賽中投進的三分球個數(shù)如下表所示:隊員i123456三分球個數(shù)圖6是統(tǒng)計該6名隊員在最近三場比賽中投進的三分球總數(shù)的程序框圖,則圖中判斷框里應填
,輸出的s=
.參考答案:,輸出;略13.已知函數(shù)在處取得最大值,則參考答案:14.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB∥平面MNP的所有圖形的序號是
▲
參考答案:①④略15.復數(shù)的值是.參考答案:-1略16.半徑為的圓的面積,周長,若將看作上的變量,則,①
①式可用語言敘述為:圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為的球,若將看作上的變量,請你寫出類似于①的式子:
(注:球體積公式為為球體半徑)參考答案:略17.設p:x<3,q:﹣1<x<3,則p是q成立的
條件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空).參考答案:必要不充分【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專題】轉化思想;綜合法;簡易邏輯.【分析】由q?p,反之不成立.即可判斷出結論.【解答】解:∵p:x<3,q:﹣1<x<3,由q?p,反之不成立.∴p是q成立的必要不充分條件;故答案為:必要不充分.【點評】本題考查了充要條件的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知四棱錐的底面為直角梯形,,底面,且,,是的中點。(1)求異面直線與所成的角的余弦值;(2)證明:面面;&X&K]參考答案:(Ⅰ)證明:因由題設知,且與是平面內(nèi)的兩條相交直線,由此得面.又在面上,故面⊥面.
ks5u(Ⅱ)解:因
略19.(13分)如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,已知,為線段的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.參考答案:證明:(Ⅰ)連結和交于,連結,為正方形,為中點,為中點,,平面,平面平面.(Ⅱ)平面,平面,,為正方形,,平面,平面,平面,
以為原點,以為軸建立如圖所示的坐標系,則,,,平面,平面,,為正方形,,由為正方形可得:,設平面的法向量為,由,令,則設平面的法向量為,,由,令,則,設二面角的平面角的大小為,則二面角的平面角的余弦值為20.(本小題滿分12分)
已知P:“直線x+y-m=0與圓(x-1)2+y2=1相交”,q:“m2-4m<0”若p∪q為真命題,p為真命題,求m的取值范圍。參考答案:解:∵P∪q為真命題,p為假命題,所以p假q真…………3分由若p為假,則D=4(1+m)2-4′2′m2≤0∴m≥1+或m≤1-………………8分若q為真,m2-4m<0,則0<m<4……10分∴p假q真時,1+≤m<4∴m的取值范圍是[1+,4)…………12分21.(9分)已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)設函數(shù),試問:在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量使得的值相等,若存在,請求出的范圍,若不存在,請說明理由?參考答案:(Ⅰ)定義域為,由已知得,
………2分則當時,在上是減函數(shù),當時,在上是增函數(shù),
故函數(shù)的極小值為.
…………6分(Ⅱ)若存在,設,則對于某一實數(shù)方程在上有三個不等的實根,設,則函數(shù)的圖象與x軸有三個不同交點,即在有兩個不同的零點.……9分顯然在上至多只有一個零點
則函數(shù)的圖象與x軸至多有兩個不同交點,則這樣的不存在。
……13分22.如圖所示,異面直線AB,CD互相垂直,AB=,BC=,CD=1,BD=2,AC=3,截面EFGH分別與BD,AD,AC,BC相交于點E,F(xiàn),G,H,且AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.(1)求證:BC⊥平面EFGH;(2)求二面角B﹣AD﹣C的正弦值.參考答案:【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定.【分析】(1)推導出AB∥EF,CD∥HE,AB⊥BC,BC⊥DC,BC⊥EF,BC⊥EH,由此能證明BC⊥平面EFGH.(2)作,以C為原點,CD為x軸,CB為y軸,Cz為z軸,建立空間直角坐標系C﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值.【解答】證明:(1)∵AB∥平面EFGH,又∵AB?平面ABD,平面ABD∩平面EFGH=EF,∴AB∥EF,同理CD∥HE,∵,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,同理BC⊥DC,∴BC⊥EF,同理BC⊥EH,又∵EF,EH是平面EFG
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