32立體幾何中的向量方法(一)

第一課時：§3.2立體幾何中的向量方法（一）授課要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用．掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課過程：一、復習引入1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思慮方法是：⑴怎樣把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉變成向量表示；⑵考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶怎樣對已經表示出來的向量進行運算，才能獲得需要的結論？通法解析：利用兩個向量的數量積的定義及其性質可以解決哪些問題呢？角問題；⑵利用性質a⊥ba·b＝０可以解決線段或直線的垂直問題；⑶利用性質a·a＝｜a｜2，可以解決線段的長或兩點間的距離問題．二、例題講解1.出示例1：已知空間四邊形OABC中，OABC，OBAC．求證：OCAB．證明：OC·AB＝OC·(OBOA)＝OC·OB－OC·OA．∵OABC，OBAC，∴OA·BC0，OB·AC0，OA·(OCOB)0，OB·(OCOA)0．∴OA·OCOA·OB，OB·OCOB·OA．∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0．∴OCAB2.出示例2：如圖，已知線段AB在平面α內，線段AC，線段BD⊥AB，線段DD'，DBD'30，若是AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D間的距離．解：由AC，可知ACAB．由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．∴CDa2b2．3.出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點．求異面直線MN與CD'所成的角．解：∵MN＝1(CC'BC)，CD'＝CC'CD，2∴MN·CD'＝1(CC'BC)·(CC'CD)＝1(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋22BC·CD)．∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CC'0，BC·CD0，∴MN·CD'＝1|CC'|2＝1．求得cos＜MN,CD'＞1，∴＜MN,CD'＞＝60.222小結：利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉變成向量表示式，并用已知向量表示未知向量，爾后經過向量的運算去計算或證明．三、牢固練習作業(yè)：課本P116練習1、2題.第二課時：§3.2立體幾何中的向量方法（二）授課要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用．掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課過程：一、復習引入談論：將立體幾何問題轉變成向量問題的路子？1）經過一組基向量研究的向量法，它利用向量的看法及其運算解決問題；2）經過空間直角坐標系研究的坐標法，它經過坐標把向量轉變成數及其運算來解決問題.二、例題講解1.出示例1：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：D1F平面ADE．證明：不如設已知正方體的棱長為１個單位長度，且設DA＝i，DC＝，DD1＝．以、、為坐標向量建立空間直角坐標系D－，則jkijkxyz11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．22又AE＝(0,1,1)，∴AE·D1F＝(0,1,1)·(0,1,-1)＝0，∴D1FAE．222又ADAEA，∴D1F平面ADE．說明：⑴“不如設”是我們在解題中常用的小技巧，平時可用于設定某些與題目要求沒關的一些數據，以使問題的解決簡單化．如在立體幾何中求角的大小、判斷直線與直線或直線與平面的地址關系時，可以約定一些基本的長度．⑵空間直角坐標些建立，可以采用任意一點和一個單位正交基底，但詳盡設置時仍應注意幾何體中的點、線、面的特色，把它們放在合適的地址，才能方便計算和證明．出示例2：課本P116例3解析：怎樣轉變成向量問題？進行怎樣的向量運算？出示例3：課本P118例4解析：怎樣轉變成向量問題？進行怎樣的向量運算？出示例4：證：若是兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行．改寫為：已知：直線OA⊥平面α，直線BD⊥平面α，O、B為垂足．求證：OA//BD．證明：以點O為原點，以射線OA為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，i,j,k為沿x軸，y軸，z軸的坐標向量，且設BD＝(x,y,z)．∵BD⊥α，∴BD⊥i，BD⊥j，BD·i＝(x,y,z)·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝(x,y,z)·(0,1,0)＝y(tǒng)＝0,∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．由已知O、B為兩個不同樣的點，∴OA//BD．5.法向量定義：若是表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α．若是a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．6.小結：向量法解題“三步曲”：（1）化為向量問題→（2）進行向量運算→（3）回到圖形問題.三、牢固練習作業(yè)：課本P120、習題A組1、2題.第三課時：§3.2立體幾何中的向量方法（三）授課要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用．掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用．授課過程：一、復習引入1.法向量定義：若是直線l平面,取直線l的方向向量為a，則向量a叫作平面α的法向量（normalvectors）.利用法向量，可以巧妙的解決空間角度和距離.2.談論：怎樣利用法向量求線面角？→面面角？直線AB與平面α所成的角，可看作是向量AB所在直線與平面α的法向量n所在直線夾角的余角，從而求線面角轉變成求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角，根據兩個向量所成角的余弦公式cos,ab，我們可以獲得以下向量法的公式：ababsinABncosAB,n.ABn談論：怎樣利用向量求空間距離？兩異面直線的距離，轉變成與兩異面直線都訂交的線段在公垂向量上的投影長.點到平面的距離，轉變成過這點的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.二、例題講解：1.出示例1：長方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=4，E、F分別是A1D1、AB的中點，O是BC1與B1C的交點.求直線OF與平面DEF所成角的正弦.解：以點D為空間直角坐標系的原點，DA、DC、DD1為坐標軸，建立以下列圖的空間直角坐標系.則D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0).設平面DEF的法向量為n(x,y,z)，nDE而DE(1,0,2)，DF(2,2,0).則，nDFnDE0x2z0,解得x:y:z2:2:1∴，即2x2ynDF00∵nOF|n||OF|cos，而OF(1,2,1