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第一課時(shí):§3.2立體幾何中的向量方法(一)授課要求:向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.授課重點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課難點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入1.用向量解決立體幾何中的一些典型問(wèn)題的基本思慮方法是:⑴怎樣把已知的幾何條件(如線段、角度等)轉(zhuǎn)變成向量表示;⑵考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式;⑶怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的向量進(jìn)行運(yùn)算,才能獲得需要的結(jié)論?通法解析:利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問(wèn)題呢?角問(wèn)題;⑵利用性質(zhì)a⊥ba·b=0可以解決線段或直線的垂直問(wèn)題;⑶利用性質(zhì)a·a=|a|2,可以解決線段的長(zhǎng)或兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題.二、例題講解1.出示例1:已知空間四邊形OABC中,OABC,OBAC.求證:OCAB.證明:OC·AB=OC·(OBOA)=OC·OB-OC·OA.∵OABC,OBAC,∴OA·BC0,OB·AC0,OA·(OCOB)0,OB·(OCOA)0.∴OA·OCOA·OB,OB·OCOB·OA.∴OC·OB=OC·OA,OC·AB=0.∴OCAB2.出示例2:如圖,已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC,線段BD⊥AB,線段DD',DBD'30,若是AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.解:由AC,可知ACAB.由DBD'30可知,<CA,BD>=120,∴|CD|2=(CAABBD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2(CA·AB+CA·BD+AB·BD)=b2a2b22b2cos120=a2b2.∴CDa2b2.3.出示例3:如圖,M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn).求異面直線MN與CD'所成的角.解:∵M(jìn)N=1(CC'BC),CD'=CC'CD,2∴MN·CD'=1(CC'BC)·(CC'CD)=1(|CC'|2+CC'CD+BC·CC'+22BC·CD).∵CC'CD,CC'BC,BCCD,∴CC'CD0,BC·CC'0,BC·CD0,∴MN·CD'=1|CC'|2=1.求得cos<MN,CD'>1,∴<MN,CD'>=60.222小結(jié):利用向量解幾何題的一般方法:把線段或角度轉(zhuǎn)變成向量表示式,并用已知向量表示未知向量,爾后經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算去計(jì)算或證明.三、牢固練習(xí)作業(yè):課本P116練習(xí)1、2題.第二課時(shí):§3.2立體幾何中的向量方法(二)授課要求:向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.授課重點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課難點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入談?wù)摚簩⒘Ⅲw幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變成向量問(wèn)題的路子?1)經(jīng)過(guò)一組基向量研究的向量法,它利用向量的看法及其運(yùn)算解決問(wèn)題;2)經(jīng)過(guò)空間直角坐標(biāo)系研究的坐標(biāo)法,它經(jīng)過(guò)坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)變成數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.二、例題講解1.出示例1:如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:D1F平面ADE.證明:不如設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度,且設(shè)DA=i,DC=,DD1=.以、、為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系D-,則jkijkxyz11∵AD=(-1,0,0),D1F=(0,,-1),∴AD·D1F=(-1,0,0)·(0,,-1)=0,∴D1FAD.22又AE=(0,1,1),∴AE·D1F=(0,1,1)·(0,1,-1)=0,∴D1FAE.222又ADAEA,∴D1F平面ADE.說(shuō)明:⑴“不如設(shè)”是我們?cè)诮忸}中常用的小技巧,平時(shí)可用于設(shè)定某些與題目要求沒(méi)關(guān)的一些數(shù)據(jù),以使問(wèn)題的解決簡(jiǎn)單化.如在立體幾何中求角的大小、判斷直線與直線或直線與平面的地址關(guān)系時(shí),可以約定一些基本的長(zhǎng)度.⑵空間直角坐標(biāo)些建立,可以采用任意一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底,但詳盡設(shè)置時(shí)仍應(yīng)注意幾何體中的點(diǎn)、線、面的特色,把它們放在合適的地址,才能方便計(jì)算和證明.出示例2:課本P116例3解析:怎樣轉(zhuǎn)變成向量問(wèn)題?進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算?出示例3:課本P118例4解析:怎樣轉(zhuǎn)變成向量問(wèn)題?進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算?出示例4:證:若是兩條直線同垂直于一個(gè)平面,則這兩條直線平行.改寫(xiě)為:已知:直線OA⊥平面α,直線BD⊥平面α,O、B為垂足.求證:OA//BD.證明:以點(diǎn)O為原點(diǎn),以射線OA為非負(fù)z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,i,j,k為沿x軸,y軸,z軸的坐標(biāo)向量,且設(shè)BD=(x,y,z).∵BD⊥α,∴BD⊥i,BD⊥j,BD·i=(x,y,z)·(1,0,0)=x=0,BD·j=(x,y,z)·(0,1,0)=y(tǒng)=0,∴BD=(0,0,z).∴BD=zk.即BD//k.由已知O、B為兩個(gè)不同樣的點(diǎn),∴OA//BD.5.法向量定義:若是表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α,則稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作a⊥α.若是a⊥α,那么向量a叫做平面α的法向量.6.小結(jié):向量法解題“三步曲”:(1)化為向量問(wèn)題→(2)進(jìn)行向量運(yùn)算→(3)回到圖形問(wèn)題.三、牢固練習(xí)作業(yè):課本P120、習(xí)題A組1、2題.第三課時(shí):§3.2立體幾何中的向量方法(三)授課要求:向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法,并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.授課重點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課難點(diǎn):向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用.授課過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入1.法向量定義:若是直線l平面,取直線l的方向向量為a,則向量a叫作平面α的法向量(normalvectors).利用法向量,可以巧妙的解決空間角度和距離.2.談?wù)摚涸鯓永梅ㄏ蛄壳缶€面角?→面面角?直線AB與平面α所成的角,可看作是向量AB所在直線與平面α的法向量n所在直線夾角的余角,從而求線面角轉(zhuǎn)變成求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線角,根據(jù)兩個(gè)向量所成角的余弦公式cos,ab,我們可以獲得以下向量法的公式:ababsinABncosAB,n.ABn談?wù)摚涸鯓永孟蛄壳罂臻g距離??jī)僧惷嬷本€的距離,轉(zhuǎn)變成與兩異面直線都訂交的線段在公垂向量上的投影長(zhǎng).點(diǎn)到平面的距離,轉(zhuǎn)變成過(guò)這點(diǎn)的平面的斜線在平面的法向量上的投影長(zhǎng).二、例題講解:1.出示例1:長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E、F分別是A1D1、AB的中點(diǎn),O是BC1與B1C的交點(diǎn).求直線OF與平面DEF所成角的正弦.解:以點(diǎn)D為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),DA、DC、DD1為坐標(biāo)軸,建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系.則D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0).設(shè)平面DEF的法向量為n(x,y,z),nDE而DE(1,0,2),DF(2,2,0).則,nDFnDE0x2z0,解得x:y:z2:2:1∴,即2x2ynDF00∵nOF|n||OF|cos,而OF(1,2,1
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