高中數(shù)學人教A版1第三章導數(shù)及其應用單元測試【市一等獎】

選修1-1第三章3.一、選擇題1．曲線運動方程為s＝eq\f(1－t,t2)＋2t2，則t＝2時的速度為eq\x(導學號92600619)()A．4 B．8C．10 D．12[答案]B[解析]s′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,t2)))′＋(2t2)′＝eq\f(t－2,t3)＋4t，∴t＝2時的速度為：s′|t＝2＝eq\f(2－2,8)＋8＝8.2．函數(shù)y＝x·lnx的導數(shù)是eq\x(導學號92600620)()A．y′＝x B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x[答案]C[解析]y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是eq\x(導學號92600621)()A．eq\f(19,3) B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3) D．eq\f(10,3)[答案]D[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).4．(2023·北京昌平高二檢測)若函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，則f′(eq\f(π,2))的值為eq\x(導學號92600622)()A．2 B．1C．0 D．－1[答案]D[解析]f′(x)＝cosx－sinx，∴f′(eq\f(π,2))＝coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1.5．(2023·廣西南寧高二檢測)曲線y＝x3－2x＋4在點(1,3)處的切線的傾斜角為eq\x(導學號92600623)()A．30° B．45°C．60° D．120°[答案]B[解析]y′＝3x2－2，∴切線的斜率k＝3－2＝1，∴切線的傾斜角為45°.6．若函數(shù)f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，則f′(1)的值為eq\x(導學號92600624)()A．0 B．－1C．1 D．2[答案]D[解析]∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)二、填空題7．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則f′(x)＝\x(導學號92600625)[答案]1－eq\f(1,x2)[解析]f(x)＝x＋eq\f(1,x)，∴f′(x)＝1－eq\f(1,x2).8．(2023·貴州遵義一中高二檢測)若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實數(shù)a＝\x(導學號92600626)[答案]2[解析]∵f′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x·(sinx)′＝sinx＋xcosx∴f′(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)coseq\f(π,2)＝1.又直線ax＋2y＋1＝0的斜率為－eq\f(a,2)，∴1×(－eq\f(a,2))＝－1，∴a＝2.9．(2023·天津文)已知函數(shù)f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為\x(導學號92600627)[答案]3[解析]f′(x)＝a(lnx＋1)，f′(1)＝a＝3.三、解答題10．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋1的圖象上有兩點A(0,1)和B(1,0)，在區(qū)間(0,1)內求實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的圖象在x＝a處的切線平行于直線\x(導學號92600628)[解析]直線AB的斜率kAB＝－1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(a)＝－1(0<a<1)，即3a2－2a－1＝－1，解得a＝eq\f(2,3).一、選擇題1．(2023·重慶巴蜀中學高二檢測)不可能以直線y＝eq\f(1,2)x＋b作為切線的曲線是eq\x(導學號92600629)()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x) D．y＝ex[答案]C[解析]若y＝eq\f(1,x)，則y′＝－eq\f(1,x2)<0，∴曲線y＝eq\f(1,x)上任意點處的切線的斜率k<0，故其切線方程不可能為y＝eq\f(1,2)x＋b.2．若函數(shù)f(x)＝exsinx，則此函數(shù)圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為eq\x(導學號92600630)()A．eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝eq\r(2)e4sin(4＋eq\f(π,4))<0，故傾斜角為鈍角，選C．3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(－1，－1)處的切線方程為eq\x(導學號92600631)()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2[答案]A[解析]∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切線方程為：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，則f′(e)eq\x(導學號92600632)()A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－e－1，故選C．二、填空題5．直線y＝4x＋b是曲線y＝eq\f(1,3)x3＋2x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝\x(導學號92600633)[答案]－eq\f(4\r(2),3)[解析]設切點為(x0，y0)，則y′＝x2＋2，∴xeq\o\al(2,0)＋2＝4，∴x0＝eq\r(2).∴切點(eq\r(2)，eq\f(8\r(2),3))在直線y＝4x＋b上，∴b＝－eq\f(4\r(2),3).6．設a∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導函數(shù)是f′(x)，若f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在原點處的切線方程為\x(導學號92600634)[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，對任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲線y＝f(x)在原點處的切線方程為y＝－3x.三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象過點P(0,2)，且在點M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，求函數(shù)f(x)的解析式.eq\x(導學號92600635)[解析]由f(x)的圖象經過點P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋′(x)＝3x2＋2bx＋c.因為在M(－1，f(－1))處的切線方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－\x(導學號92600636)(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為13x－y－32＝0.(2)解法一：設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直線l過原點(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．解法二：設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，則k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．(3)∵切線與直線y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切線的斜率