高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用 第30課時

第30課時函數(shù)模型應(yīng)用舉例課時目標1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等社會生活中普遍使用的函數(shù)模型．2．通過實例感受函數(shù)在生活中的應(yīng)用．識記強化1．常用的函數(shù)模型(1)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)指數(shù)函數(shù)模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)．(3)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)．(4)冪函數(shù)模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．2．解實際應(yīng)用題的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理清數(shù)量關(guān)系．(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型．(3)求模：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論．(4)還原：將用數(shù)學方法得到的結(jié)論還原為實際問題的結(jié)論．課時作業(yè)(時間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．某商場把某種商品按標價的八折售出，仍可獲利30%，若這種商品的進價為100元，則標價是()A．128元B．158元C．元D．178元答案：C解析：設(shè)標價為x，則實際售價為80%x，獲利30%，所以eq\f(80%x－100,100)＝30%?x＝.2．以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，再用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長為定值l，則這塊場地的最大面積為()\f(l2,12)\f(l2,3)\f(l2,6)D．l2答案：A解析：設(shè)寬為x，則長為l－3x，故面積S＝x(l－3x)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(l,6)))2＋eq\f(l2,12)有最大值eq\f(l2,12).3．用長度為24m的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為()A．3mB．4mC．6mD．12m答案：A解析：設(shè)隔墻的長為xm，矩形面積為S，則S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴當x＝3時，S有最大值為18.4．一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如下圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下4個說法，正確的是()A．0點到3點只進水不出水B．3點到4點不進水只出水C．4點到6點不進水不出水D．以上都不正確答案：A解析：設(shè)進水量為y1，出水量為y2，時間為t，由圖知y1＝t，y2＝2t.由圖丙知，從0～3時蓄水量由0變?yōu)?，說明0～3時2個進水口均打開進水但不出水，故A正確；3～4時蓄水量隨時間增加而減少且每小時減少1個單位，若3～4點不進水只出水，應(yīng)每小時減少2個單位，故B不正確；4～6時為水平線說明水量不發(fā)生變化，可能是不進不出，也可能所有水口都打開，進出均衡，故C不正確．5．某工廠一年中第十二個月的產(chǎn)量是第一個月產(chǎn)量的m倍，那么該工廠這一年中的月平均增長率是()\f(m,11)\f(m,12)\r(12,m)－1\r(11,m)－1答案：D6．今有一組數(shù)據(jù)如下：tv12現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似的表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝eq\f(t2－1,2)D．v＝2t－2答案：C解析：取t＝≈2，代入A得v＝log22＝1≠；代入B得v＝log2＝－1≠；代入C得v＝eq\f(22－1,2)＝；代入D得v＝2×2－2＝2≠，故選C.二、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈．答案：4解析：設(shè)至少要清洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，解得x≥eq\f(1,lg2)≈，所以至少要清洗4次．8．從盛滿20升純酒精的容器里倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升混合溶液，再用水加滿，這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和酒精殘留量y之間的函數(shù)關(guān)系為________．答案：y＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x解析：第一次倒完后，y＝19；第二次倒完后，y＝19×eq\f(19,20)＝eq\f(192,201)；第三次倒完后，y＝19×eq\f(19,20)×eq\f(19,20)＝eq\f(193,202)；…第x次倒完后，eq\f(19x,20x－1)＝20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x.9．如圖一動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)，沿正方形的邊界逆時針轉(zhuǎn)動一周，再回到點A.若點P運動的路程為x，點P到頂點A的距離為y，則A，P兩點間的距離y與點P運動的路程x之間的函數(shù)關(guān)系式是________．答案：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3,4－x，3<x≤4))解析：①當點P在AB上，即0≤x≤1時，AP＝x，也就是y＝x.②當點P在BC上，即1<x≤2時，AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根據(jù)勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋x－12)＝eq\r(x2－2x＋2).③當點P在DC上，即2<x≤3時，AD＝1，DP＝3－x，根據(jù)勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，所以y＝AP＝eq\r(1＋3－x2)＝eq\r(x2－6x＋10).④當點P在AD上，即3<x≤4時，有y＝AP＝4－x.所以所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤1,\r(x2－2x＋2)，1<x≤2,\r(x2－6x＋10)，2<x≤3,4－x，3<x≤4))三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)A，B兩城市相距100km，在兩地之間距A城市xkm的D處建一垃圾處理廠來解決A，B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾．為保證不影響兩城市的環(huán)境，垃圾處理廠與市區(qū)距離不得少于10km.已知垃圾處理費用和距離的平方與垃圾量之積的和成正比，比例系數(shù)為.若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20t，B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10t.(1)求x的范圍；(2)把每天的垃圾處理費用y表示成x的函數(shù)；(3)垃圾處理廠建在距A城市多遠處，才能使每天的垃圾處理費用最小？解：(1)x的取值范圍為[10,90]．(2)由題意，得y＝[20x2＋10(100－x)2]，即y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)由y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))2＋eq\f(50000,3)(10≤x≤90)，則當x＝eq\f(100,3)時，y最?。串斃幚韽S建在距A城市eq\f(100,3)km時，才能使垃圾處理費用最小．11．(13分)某食品廠對蘑菇進行深加工，每千克蘑菇的成本為20元，并且每千克蘑菇的加工費為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，設(shè)該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量q(單位：千克)與ex成反比，當每千克蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100千克．(1)求該工廠的日銷售利潤y(單位：元)與每千克蘑菇的出廠價x(單位：元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若t＝5，當每千克蘑菇的出廠價x為多少元時，該工廠的利潤y為100e4元？解：(1)設(shè)日銷量q＝eq\f(k,ex)(25≤x≤40)，則eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30，∴日銷量q＝eq\f(100e30,ex)(25≤x≤40)，∴y＝eq\f(100e30x－20－t,ex)(25≤x≤40)．(2)當t＝5時，y＝eq\f(100e30x－25,ex)＝100e4，則x－25＝ex－26，根據(jù)函數(shù)y＝x－25與y＝ex－26的圖象(如圖所示)．可求得方程x－25＝ex－26的解為x＝26，∴當每千克蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤為100e4元．能力提升12．(5分)某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴重，最近三年測得沙漠的增加值分別為萬公頃、萬公頃和萬公頃，則下列選項中與沙漠增加數(shù)y(公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10)D．y＝＋log16x答案：C13．(15分)某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低元，但實際出廠單價不能低于51元．(1)當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達式；(3)當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)解：(1)設(shè)每個零件的實際出廠價格恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋eq\f(60－51,＝550.因此，當一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠單價恰好降為51元．(2)當0<x≤100時，P＝60；當100<x<550時，P＝(60－(x－100)＝62－eq\f(x,50)；當x≥550時，P＝51.所以P＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600<x≤100，,62－\f(x,50)100<x<550，,51x≥550，)))(x∈