高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第二章2

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題.3.理解an與Sn的關(guān)系，能根據(jù)Sn求an.知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列中an與Sn的關(guān)系思考已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，怎樣求a1，an?答案a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1時(shí)也適合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.梳理對(duì)任意數(shù)列{an}，Sn與an的關(guān)系可以表示為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2，n∈N*.))知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值思考我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？答案由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1＜0，d>0時(shí)，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1＞0，d<0時(shí)，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值．梳理等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與{Sn}的單調(diào)性有關(guān)．(1)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值．(2)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值．(3)若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值．類型一已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求an例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解根據(jù)Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)]＝2n－eq\f(1,2)， ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也滿足①式．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－eq\f(1,2).故數(shù)列{an}是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．引申探究例1中前n項(xiàng)和改為Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求通項(xiàng)公式．解當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋eq\f(1,2)n＋1)－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)＋1]＝2n－eq\f(1,2). ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N*.))反思與感悟已知前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an，先由n＝1時(shí)，a1＝S1求得a1，再由n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1求得an，最后驗(yàn)證a1是否符合an，若符合則統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示．跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n，求an.解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2·3n－1，n≥2，n∈N*.))類型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例2已知等差數(shù)列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的前n項(xiàng)和為Sn，求使得Sn最大的序號(hào)n的值．解方法一由題意知，等差數(shù)列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的公差為－eq\f(5,7)，所以Sn＝5n＋eq\f(nn－1,2)(－eq\f(5,7))＝－eq\f(5,14)(n－eq\f(15,2))2＋eq\f(1125,56).于是，當(dāng)n取與eq\f(15,2)最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取最大值．方法二an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,7)))＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7).令an＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7)≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.故前n項(xiàng)和是從第9項(xiàng)開(kāi)始減小又S7＝S8，所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)和最大．反思與感悟在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正(負(fù))值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值，則從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小)．由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解．跟蹤訓(xùn)練2在等差數(shù)列{an}中，an＝2n－14，試用兩種方法求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最小值．解方法一∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….∴當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)，Sn取到最小值．易求S6＝S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.方法二∵an＝2n－14，∴a1＝－12.∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2－13n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(13,2)))2－eq\f(169,4).∴當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)，Sn最小，且(Sn)min＝－42.類型三求等差數(shù)列前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和例3若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))反思與感悟求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，根據(jù)絕對(duì)值的意義，應(yīng)首先分清這個(gè)數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的，哪些項(xiàng)是非負(fù)的，然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和．跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}中，Sn＝－n2＋10n，數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)都有bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式．解由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N*)．驗(yàn)證a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*.∴當(dāng)n≤5時(shí)，an>0，此時(shí)Tn＝Sn＝－n2＋10n；當(dāng)n>5時(shí)，an<0，此時(shí)Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.即Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5，n∈N*，,n2－10n＋50，n>5，n∈N*.))1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，則an等于()A．4n－2 B．n2C．2n＋1 D．2n答案D解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n，又因?yàn)閍1＝2符合an＝2n，所以an＝2n.2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1答案B解析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝S8，當(dāng)n＝________時(shí)，Sn取到最大值．答案5或6解析∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.故當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3＋2n，求an.解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝5≠21－1＝1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))1．因?yàn)閍n＝Sn－Sn－1只有n≥2時(shí)才有意義．所以由Sn求通項(xiàng)公式an＝f(n)時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示．2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定n的值，更加直觀．(2)通項(xiàng)法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時(shí)，Sn取得最小值．3．求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)．40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－1，則a4等于()A．7B．8C．9D．17答案A解析a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7.2．在等差數(shù)列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，則數(shù)列{an＋bn}的前100項(xiàng)的和為()A．10000 B．8000C．9000 D．11000答案A解析由已知得{an＋bn}為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為S100＝eq\f(100[a1＋b1＋a100＋b100],2)＝50×(25＋75＋100)＝10000.3．已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為()A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案D解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋25n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2＋eq\f(625,4).∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大，故選D.4．一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數(shù)列的公差是()A．3 B．－3C．－2 D．－1答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90，,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k值為()A．9B．8C．7D．6答案B解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*，))得an＝2n－10.由5<2k－10<8得，<k<9，∴k＝8.6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因?yàn)镾m＝0，故ma1＋eq\f(mm－1,2)d＝0，即a1＝－eq\f(m－1,2)，因?yàn)閍m＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.二、填空題7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時(shí)，n＝________.答案23或24解析∵a24＝0，d＞0，∴a1，a2，…，a23<0，故S23＝S24最小．8．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4＝1，S5＝10，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．答案4或5解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝1，,S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝－1，))∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同時(shí)最大．∴n＝4或5.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝2n2－30n，則Sn取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的n值為_(kāi)_______．答案7或8解析∵Sn＝2n2－30n＝2(n－eq\f(15,2))2－eq\f(225,2)，∴當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn最小．10．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2013＋a2014＞0，a2013·a2014＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是________．答案4026解析由條件可知數(shù)列單調(diào)遞減，故知a2013＞0，a2014＜0，故S4026＝eq\f(4026a1＋a4026,2)＝2013(a2013＋a2014)＞0，S4027＝eq\f(4027a1＋a4027,2)＝4027×a2014＜0，故使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是4026.三、解答題11．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的自然數(shù)n的值．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n，n∈N*.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因?yàn)镾n＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值．12．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差數(shù)列且a1＝