高中數(shù)學人教B版本冊總復習總復習 2023版第3章不等式的實際應用

不等式的實際應用1.能根據(jù)實際情景建立不等式模型.(難點)2.掌握運用不等式知識，解決實際問題的方法、步驟.(重點)[基礎·初探]教材整理不等式的實際應用閱讀教材P81～P83，完成下列問題.1.實際問題中，有許多不等式模型，必須首先領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，然后適當設未知數(shù)，將量與量間的關系變成不等式或不等式組.2.實際問題中的每一個量都有其實際意義，必須充分注意定義域的變化.3.解不等式應用題，一般可按以下四個步驟進行：(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系；(2)引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關系；(3)解不等式；(4)回答實際問題.1.有如圖3-4-1所示的兩種廣告牌，其中圖(1)是由兩個等腰直角三角形構成的，圖(2)是一個矩形，從圖形上看，這兩個廣告牌面積的大小關系為________，并將這種大小關系用含字母a，b的不等式表示出來為________.圖3-4-1【解析】圖(1)廣告牌面積大于圖(2)廣告牌面積.設圖(1)面積為S1，則S1＝eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)，圖(2)面積為S2，則S2＝ab，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＞ab.【答案】圖(1)廣告牌面積大于圖(2)廣告牌面積eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2>ab2.一輛汽車原來每天行駛xkm，如果這輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程超過2200km，寫成不等式為________；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為________.【解析】原來每天行駛xkm，現(xiàn)在每天行駛(x＋19)km.則不等關系“在8天內(nèi)的行程超過2200km”，寫成不等式為8(x＋19)>2200.若每天行駛(x－12)km，則不等關系“原來行駛8天的路程就得花9天多的時間”用不等式表示為eq\f(8x,x－12)>9.【答案】8(x＋19)>2200eq\f(8x,x－12)>9 [小組合作型]比較法在實際問題中的應用(1)某品牌彩電為了打開市場，促進銷售，準備對其特定型號彩電降價，有四種降價方案：方案(1)先降價a%，再降價b%；方案(2)先降價b%，再降價a%；方案(3)先降價eq\f(a＋b,2)%，再降價eq\f(a＋b,2)%；方案(4)一次性降價(a＋b)%.其中a＞0，b＞0，a≠b，上述四種方案中，降價幅度最小的是()A.方案(1) B.方案(2)C.方案(3) D.方案(4)(2)甲、乙兩家飯館的老板同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲每次購進100kg大米，而乙每次用去100元錢.購買方式更合算的是________老板.【精彩點撥】首先用代數(shù)式表示出要比較的兩個量，然后用比差法比較這兩個量的大小.【自主解答】設原價為1，則四種方案中，降價后的價格分別為：(1)(1－a%)(1－b%)；(2)(1－b%)(1－a%)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋b,2)%))2；(4)1－(a＋b)%.由于(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)·(1－a%)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－b%＋1－a%,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋b,2)%))2，且(1－a%)(1－b%)＞1－(a＋b)%，所以方案(3)降價后價格最高.(2)設兩次大米的價格分別為a元/千克，b元/千克(a、b＞0，a≠b)，則甲兩次購買大米的平均價格是eq\f(100a＋b,200)＝eq\f(a＋b,2)元/千克；乙兩次購買大米的平均價格是eq\f(200,\f(100,a)＋\f(100,b))＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)元/千克.∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)＞0，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\f(2ab,a＋b).∴乙飯館的老板購買大米的方式更合算.【答案】(1)C(2)乙比較法在實際中的應用主要體現(xiàn)在決策優(yōu)化問題中，解決的關鍵是兩個量表示后用作差法或作商法進行大小比較，然后作出實際問題的解答.[再練一題]1.如圖3-4-2(2)，一圓柱的底面半徑為5dm，高為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.小明設計了兩條路線：試說明哪條路線最短？路線1：側面展開圖中的線段AC.如圖(1)所示：路線2：高線AB＋底面直徑BC.如圖(2)所示：(1)(2)圖3-4-2【解】設路線1的長度為l1，則leq\o\al(2,1)＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.設路線2的長度為l2，則leq\o\al(2,2)＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.∵leq\o\al(2,1)－leq\o\al(2,2)＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l(xiāng)eq\o\al(2,1)>leq\o\al(2,2)，∴l(xiāng)1>l2.所以選擇路線2較短.一元二次不等式的實際應用某農(nóng)貿(mào)公司按每擔200元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬擔，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點，預測收購量可增加2x個百分點.(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關系式；(2)要使此項稅收在稅率調節(jié)后，不少于原計劃稅收的%，試確定x的取值范圍.【精彩點撥】認真閱讀題意，理解各個量之間的關系，構建函數(shù)關系或不等式解決問題.【自主解答】(1)降低稅率后為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x%)萬擔，收購總金額為200a(1＋2x依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－x＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).(2)原計劃稅收為200a·10%＝20依題意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×%，化簡得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范圍是(0,2].不等式應用題常以函數(shù)、數(shù)列為背景出現(xiàn)，多是解決現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題，在解題中主要涉及到不等式的解法等問題，構造數(shù)學模型是解不等式應用題的關鍵.[再練一題]2.某市新建一處公園，要對園內(nèi)一塊長為800m，寬為600m的長方形地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍.【導學號：18082048】【解】設花卉帶的寬度為xm，則中間草坪的長為(800－2x)m，寬為(600－2x)m.根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去.故所求花卉帶寬度的范圍為(0,100]m.[探究共研型]均值不等式的實際應用探究1某單位決定投資3200元建一長方體倉庫，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側用磚墻，每米造價45元，頂部每平方米造價20元.若設鐵柵長為x米，一側磚墻長為y米，那么x，y間有何關系？你能建立倉庫底面積S與x、y間的關系嗎？【提示】x與y間關系為40x＋2×45y＋20xy≤3200，S與x、y間的關系為S＝xy.探究2在探究1中若要求S的最大值能用只含一個自變量的函數(shù)求最值嗎？若不能，如何求S的最大值？【提示】在S＝xy中含兩個變量x，y，而x，y滿足40x＋90y＋20xy≤3200，利用該關系不能將S表示為關于x或只關于y的函數(shù)，故不能用求函數(shù)求最值的方法求解，可用均值不等式進行如下求解.解：設鐵柵長為xm，一側磚墻長為ym，則有S＝xy.由題意得40x＋2×45y＋20xy≤3200.由均值不等式，得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，∴S＋6eq\r(S)≤160，即(eq\r(S)＋16)(eq\r(S)－10)≤0.∵eq\r(S)＋16＞0，∴eq\r(S)－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允許值是100m2某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.【精彩點撥】平均每天所支付的總費用＝eq\f(x天支付的總費用,天數(shù)x)，根據(jù)題意列出函數(shù)式，利用均值不等式求解.【自主解答】(1)設該廠應每x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費用為3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×eq\f(x6x＋6,2)＝9x(x＋1)，設平均每天所支付的總費用為Y1元，則Y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，當且僅當9x＝eq\f(900,x)，即x＝10時取等號.該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費用最少.(2)設該廠利用此優(yōu)惠條件后，每x天購買一次面粉，因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每eq\f(210,6)＝35天購買一次面粉，即x≥35.設平均每天支付的總費用為Y2元，則Y2＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6×eq\f(9,10)＝9x＋eq\f(900,x)＋9729(x≥35)，記f(x)＝x＋eq\f(100,x)，x∈[35，＋∞)，設x1，x2∈[35，＋∞)，取x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(100,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x1)－\f(100,x2)))＝eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)，∵35≤x1<x2，x1x2>100，∴x1－x2<0，x1x2－100>0，∴eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)<0，f(x1)－f(x2)<0，∴函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(100,x)在[35，＋∞)上是增函數(shù)，∴當x≥35時，f(x)min＝f(35).所以，當x＝35時，Y2有最小值，此時Y2的最小值小于10989.故該廠應接受此優(yōu)惠條件.求實際問題中最值的一般思路：1先讀懂題意，設出變量，理清思路，列出函數(shù)關系式.2把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題.3在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮均值不等式，當均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數(shù)的單調性.4正確寫出答案.[再練一題]3.某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元).(1)寫出樓房平均綜合費用y關于建造層數(shù)x的函數(shù)關系式；(2)該樓房應建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積))【解】(1)依題意得y＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N＋).(2)∵x>0，∴48x＋eq\f(10800,x)≥2eq\r(48×10800)＝1440，當且僅當48x＝eq\f(10800,x)，即x＝15時取到“＝”，此時，平均綜合費用的最小值為560＋1440＝2000(元).答：當該樓房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2000元.1.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)≤0))))，則A∩B＝()A.{x|－1≤x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}【解析】∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}.【答案】B2.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2A.6.5mB.6.8mC.7m【解析】設兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則eq\f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈(m).因為要求夠用且浪費最少，故選C.【答案】C3.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是y＝3000＋20x－(0<x<240，x∈N)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是________臺.【解析】y－25x＝－－5x＋3000≤0，所以x2＋50x－30000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，又因為0<x<240，x∈N，所以150≤x<240，x∈N.【答案】1504.用一根長為100m的繩子，圍成一個一邊長為x米，面積大于600m2的矩形，則x【導學號：18082049