2021年全國(guó)III卷理科數(shù)學(xué)高考真題

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1?已知集合A二?x,y)x,yeN*,y>xl,B=?x,y)x+y=8>則AQB中元素個(gè)數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z23462.復(fù)數(shù)占的虛部是1010A.1010B.C.D.3D.3103?在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p,p,p,p，且p=1,1234ii=1則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A.pp=0.1,p=42p30.4B．pp=0.4,p=p=0.11423C．pp=0.2,p42=p3=0.3D．pp=0.3,pp=0.214234.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)=K，其中K為的最大確診病例數(shù)?當(dāng)IC)=0.95K時(shí)，標(biāo)志1+e-0.23(t-53)

著已初步遏制疫情，則t*約為(lnl9-3)60TOC\o"1-5"\h\z6366695.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn)，若OD丄OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)4(1,0)2(1,0)(2,0)6.已知向量a,b滿足\a=5，ab=一6，貝Ucos(a,a+b)二A.31356.已知向量a,b滿足\a=5，ab=一6，貝Ucos(a,a+b)二A.3135B.1935C.1735D.12357.在△ABC中,2cosC=—，AC=4，BC=3,則cosB=A.B.1913C.D.12238.右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是6+4邁4+4邁8.右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是6+4邁4+4邁6+2打已知2tan0—tan?+—）二7，貝Utan0=4—2—112_i若直線l與曲線y=px和圓x2+y2二都相切，則l的方程為A.B.C.D.y二2x+—21.y二x+1211y—x+—2211.F,離心率為2設(shè)雙曲線C:乂—蘋—1(a>0,b>0)11.F,離心率為2TOC\o"1-5"\h\za2b21J5.P是C上一點(diǎn)，且FP丄FP?若△PFF的面積為4,則&=1212124812.已知55<84，134<85，設(shè)a—log3，b=log5，c—log8，則5813a<b<cb<a<cb<c<ac<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。'x+y>0若x,y滿足約束條件<2-y>0，則z=3x+2y的最大值為.x<1(X2+2)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答).x已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為1關(guān)于函數(shù)f(x)二sinx+有如下四個(gè)命題：sinxf(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.f(x)的圖像關(guān)于直線x二,對(duì)稱.2f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號(hào)是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。(12分)設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a—3，a—3a—4n.n1n+1n計(jì)算a，a，猜想｛a｝的通項(xiàng)公式并加以證明；23n求數(shù)列｛2na｝的前n項(xiàng)和S.nn(12分)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：j鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0,200](200,400](400,600]

1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到人次＜400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好人次＜400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?o.oid0皿3.8416.635IO.82S(a+方｝@+d)(a—c)(b+d)，附：(12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱1111DD，BB上，且2DE二ED，BF二2FB.1111（1）證明：點(diǎn)C在平面AEF內(nèi)；1（2）若AB二2，AD二1，AA二3，求二面角A—EF—A11的正弦值.20.(12分)已知橢圓C:25+m2=1（0<m<5）的離心率為\，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).（1）求C的方程;（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且IBPI=IBQI,BP丄BQ，求AAP。的面積.(12分)設(shè)函數(shù)f(設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)(+,f(1))處的切線與y軸重直,2(1)求b；(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為\Iy=2-3t+t2(七為參數(shù)且tH1),C與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn).(1)求|AB|(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)