電磁場(chǎng)與電磁波教案4(hao)

第四章靜態(tài)場(chǎng)的解主要內(nèi)容邊值問(wèn)題的分類(lèi)邊值問(wèn)題的唯一性定理鏡像法分離變量法有限差分法4.1邊值問(wèn)題的分類(lèi)邊界條件：所討論區(qū)域邊界上電位的指定值（邊值）來(lái)確定積分常數(shù)。邊值問(wèn)題：通過(guò)微分方程組和相關(guān)邊界條件描述的問(wèn)題。靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題通常分為兩大類(lèi)：1.分布型問(wèn)題由已知場(chǎng)源（電荷、電流）分布，直接從場(chǎng)的積分公式求空間各點(diǎn)的場(chǎng)分布2.邊值型問(wèn)題已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)域內(nèi)的場(chǎng)分布靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法可分為：1.解析法給出的結(jié)果是場(chǎng)量的解析表示式，如鏡像法、分離變量法2.數(shù)值法通過(guò)數(shù)值計(jì)算，給出場(chǎng)量的一組離散數(shù)據(jù)，如有限差分法、有限元法邊界條件的類(lèi)型：實(shí)際邊值問(wèn)題的邊界條件分為三類(lèi)：1.已知整個(gè)邊界上的電位函數(shù)，稱(chēng)為“狄利克萊”邊界條件2.已知整個(gè)邊界上的電位法向?qū)?shù)，稱(chēng)為“諾伊曼”邊界條件3.已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向?qū)?shù)，稱(chēng)為混合邊界條件格林公式兩式相減，得格林第二恒等式4.2唯一性定理邊值問(wèn)題的求解是偏微分方程的求解，同時(shí)要考慮解得存在性、唯一性和穩(wěn)定性。已知整個(gè)邊界上的電位函數(shù)（第一類(lèi)邊界條件），則場(chǎng)域的解答是唯一的。已知整個(gè)邊界上的電位法向?qū)?shù)（第二類(lèi)邊界條件），則場(chǎng)域的解答是唯一的。已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向?qū)?shù)（第三類(lèi)邊界條件），則場(chǎng)域的解答是唯一的。唯一性定理證明（用格林公式，反證法）用于求解分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。4.3鏡像法

幾個(gè)實(shí)例：qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

求解位于接地導(dǎo)體板附近的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位

接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

鏡像法(methodofimages)

實(shí)質(zhì)：是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變成無(wú)限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。

依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜電場(chǎng)沒(méi)有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱(chēng)為鏡像電荷（theimagecharge），而這種方法稱(chēng)為鏡像法。

關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。鏡像電荷位置選擇原則：1.鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外2.鏡像電荷的引入不能改變?cè)瓎?wèn)題的邊界條件

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

1.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地的導(dǎo)體平面的鏡像

介質(zhì)導(dǎo)體qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即因?yàn)闊o(wú)限大接地導(dǎo)體平面的電位為零，求得4.3.1接地導(dǎo)體平面的鏡像

電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q

位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場(chǎng)取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷。可見(jiàn)，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場(chǎng)強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論。

半空間等效：上述等效性?xún)H對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。2.線(xiàn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷的密度和位置分別為

介質(zhì)導(dǎo)體ρrP

介質(zhì)ρ

rPhh

介質(zhì)

3.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖，兩半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。

要滿(mǎn)足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個(gè)鏡像電荷。如圖所示。

對(duì)于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為，則所有鏡像電荷數(shù)目為2n-1個(gè)。q

對(duì)于半無(wú)限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界應(yīng)用鏡像法時(shí)，僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個(gè)鏡像電荷。

/3/3q例：真空中，電量為1μC的點(diǎn)電荷位于點(diǎn)P(0,0,1)處，xOy平面是一個(gè)無(wú)限大的接地導(dǎo)體板。求z軸上電位為10000V的點(diǎn)的坐標(biāo)。解：根據(jù)鏡像法，可知上半空間的電位是xzOPfqo1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點(diǎn)電荷q'位于球心與點(diǎn)電荷q的連線(xiàn)上。那么，球面上任一點(diǎn)電位為可見(jiàn)，為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電荷為4.3.2導(dǎo)體球面的鏡像Padrqr

為了使鏡像電荷具有一個(gè)確定的值，必須要求比值對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。由上圖可見(jiàn)，若要求三角形△OPq

與△

OqP相似，則常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為這樣，根據(jù)q及q'

即可計(jì)算球外空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。fqoPadrqr

若導(dǎo)體球不接地，則位于點(diǎn)電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負(fù)值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對(duì)于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷q'

后，為了滿(mǎn)足電荷守恒原理，必須再引入一個(gè)鏡像電荷q"，且必須令

顯然，為了保證球面邊界是一個(gè)等位面，鏡像電荷q”

必須位于球心。事實(shí)上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q’在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個(gè)鏡像電荷q”

以提供一定的電位。qfOPadrq2.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球面的鏡像

真空中一點(diǎn)電荷Q位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為a，點(diǎn)電荷距離球心距離為d（d>a）。求：導(dǎo)體球接地時(shí)空間電位分布。解:當(dāng)導(dǎo)體球接地時(shí)，由鏡像法，原問(wèn)題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷q’。易知：例則球外空間任意點(diǎn)處電位為：導(dǎo)體球接地，因此球內(nèi)空間電位為0，即：1.點(diǎn)電荷對(duì)電介質(zhì)分界平面的鏡像問(wèn)題：點(diǎn)電荷位于兩種電介質(zhì)分界面上方h，求空間電位分布。分析：在介質(zhì)分界面上將存在極化面電荷，空間電位由極化面電荷和電荷q共同產(chǎn)生。解決問(wèn)題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。qhO1

2

zqhO1

zhq′PR1

R1′

區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q′共同產(chǎn)生hO2

PR2

z

區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷

共同產(chǎn)生4.3.3介質(zhì)平面的鏡像qhO1

zhq′PR1

R1′hO2

zPR2

在z=0面上應(yīng)用電位邊界條件2.線(xiàn)電流對(duì)磁介質(zhì)分界平面的鏡像hzx

2

1IO問(wèn)題：線(xiàn)電流位于兩種磁介質(zhì)分界面上方h，求空間磁場(chǎng)分布。分析：在介質(zhì)分界面上將存在磁化電流，空間中的磁場(chǎng)由磁化電流和直線(xiàn)電流I共同產(chǎn)生。解決問(wèn)題方法：鏡像法，即用鏡像線(xiàn)電流等效磁化電流作用。

區(qū)域1的磁場(chǎng)由I和位于區(qū)域2中的鏡像線(xiàn)電流I’共同產(chǎn)生

區(qū)域2的的磁場(chǎng)由I和位于區(qū)域1中的鏡像線(xiàn)電流I”共同產(chǎn)生r'hhPzx

1IH1H2OrI''

1hzx

2

1IOhPzx

2I+I''Or''

2為了維持邊界條件不變，求出的上半空間及下半空間的場(chǎng)在邊界上應(yīng)滿(mǎn)足恒定磁場(chǎng)的邊界條件，即。由此求得hPzx

2I+I''Or”

2x

1

1r'hhPzIH1H2H1H2HOrI''例

設(shè)一根載有恒定電流I的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線(xiàn)與無(wú)限大的理想導(dǎo)磁平面平行放置，如圖示。導(dǎo)線(xiàn)與平面間的距離為h

，試求上半空間任一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度。

Xhyx

=

0IOXhyx

=

0IOH1r'hhPyx

0IH2OrI''

0解采用鏡像法。設(shè)在鏡像位置放置一根無(wú)限長(zhǎng)的恒定電流I

，那么上半空間任一點(diǎn)合成磁場(chǎng)強(qiáng)度為I′=I根據(jù)則因此合成磁場(chǎng)為r'hhPyx

0IH1H2OrI''

0直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系使用鏡像法時(shí)必須注意：邊界必須是無(wú)限大，或者是具有球或圓柱對(duì)稱(chēng)性