高中數(shù)學北師大版2第三章推理與證明數(shù)學證明 第3章2數(shù)學證明

§2數(shù)學證明1．理解演繹推理的概念．(重點)2．掌握演繹推理的基本模式，并能用它們進行一些簡單的推理．(重點)3．能用“三段論”證明簡單的數(shù)學問題．(難點)[基礎·初探]教材整理數(shù)學證明閱讀教材P58～P59“練習”以上部分，完成下列問題．1．證明(1)證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理．(2)證明的方法：演繹推理．2．演繹推理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一個一般性道理．(2)小前提：研究對象的特殊情況．(3)結論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“三段論”就是演繹推理．()(2)演繹推理的結論是一定正確的．()(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()【答案】(1)×(2)×(3)×[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小組合作型]把演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；(2)三角形的內角和為180°，Rt△ABC的內角和為180°；(3)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．【精彩點撥】三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果b?c，a?b，則a?c.”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個特殊情況；a?c為大前提和小前提聯(lián)合產生的邏輯結果．【自主解答】(1)一切奇數(shù)都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇數(shù)．(結論)(2)三角形的內角和為180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的內角和為180°.(結論)(3)數(shù)列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列．(大前提)通項公式an＝3n＋2，n≥2時，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常數(shù))．(小前提)通項公式為an＝3n＋2(n≥2)的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(結論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法：(1)用“三段論”寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內在聯(lián)系．(2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結論成立的充分條件作為大前提．[再練一題]1．將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，則∠A＝∠B.【解析】(1)平行四邊形的對角線互相平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對角線互相平分．(結論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的兩底角，(小前提)∠A＝∠B.(結論)演繹推理在幾何中的應用如圖3-2-1所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：DE＝AF.寫出“三段論”形式的演繹推理.【導學號：67720235】圖3-2-1【精彩點撥】用三段論的模式依次證明：(1)DF∥AE，(2)四邊形AEDF為平行四邊形，(3)DE＝AF.【自主解答】①同位角相等，兩直線平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(結論)②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形．(結論)③平行四邊形的對邊相等，(大前提)DE和AF為平行四邊形的對邊，(小前提)所以DE＝AF.(結論)1．用“三段論”證明命題的步驟(1)理清楚證明命題的一般思路；(2)找出每一個結論得出的原因；(3)把每個結論的推出過程用“三段論”表示出來．2．幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特殊情況，就能得出相應結論．[再練一題]2．證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角．【解】已知在梯形ABCD中(如圖所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對角線，求證：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.證明：①等腰三角形的兩底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)∠1＝∠2.(結論)②兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等，(大前提)∠1和∠3是平行線AD，BC被AC所截的內錯角，(小前提)∠1＝∠3.(結論)③等于同一個量的兩個量相等，(大前提)∠2，∠3都等于∠1，(小前提)∠2和∠3相等．(結論)即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.[探究共研型]演繹推理在代數(shù)中的應用探究1演繹推理的結論一定正確嗎？【提示】演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結論一定正確．探究2因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)是增函數(shù)，而y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x是對數(shù)函數(shù)，所以y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x是增函數(shù)．上面的推理形式和結論正確嗎？【提示】推理形式正確，結論不正確．因為大前提是錯誤的．已知a，b，m均為正實數(shù)，b<a，用三段論形式證明：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).【精彩點撥】利用不等式的性質證明．【自主解答】因為不等式(兩邊)同乘以一個正數(shù)，不等號不改變方向，(大前提)b<a，m>0，(小前提)所以mb<ma.(結論)因為不等式兩邊同加上一個數(shù)，不等號方向不變，(大前提)mb<ma，(小前提)所以mb＋ab<ma＋ab，即b(a＋m)<a(b＋m)．(結論)因為不等式兩邊同除以一個正數(shù)，不等號方向不變，(大前提)b(a＋m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，(小前提)所以eq\f(ba＋m,aa＋m)<eq\f(ab＋m,aa＋m)，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).(結論)代數(shù)問題中常見的利用三段論證明的命題：(1)函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性和對稱性等．(2)導數(shù)的應用：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關的不等式等．(3)三角函數(shù)的圖像與性質．(4)數(shù)列的通項公式、遞推公式以及求和，數(shù)列的性質．(5)不等式的證明．[再練一題]3．當a，b為正實數(shù)時，求證：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).【解】因為一個實數(shù)的平方是非負實數(shù)，(大前提)而eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,2))－\r(\f(b,2))))2是一個實數(shù)的平方，(小前提)所以eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)是非負實數(shù)，即eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)≥0.所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).(結論)[構建·體系]1．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班級中的人數(shù)都超過50人C．由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通過計算a2，a3，a4猜想出an的通項公式【解析】A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理．【答案】A2．用三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0”A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．是正確的【解析】這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結論是“a2>0”【答案】A3．函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：________________________________________________________；小前提：________________________________________________________；結論：___________________________________________________________.【答案】一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y＝2x＋5是一次函數(shù)函數(shù)y＝2x＋5的圖像是一條直線4．如圖3-2-2所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB＝CD，BC＝AD.圖3-2-2又因為△ABC和△CDA的三邊對應相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的兩個步驟中分別省略了________、________.【答案】大前提大前提5．用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是有理數(shù)．【解】(1)因為矩形的對角線相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的對角線相等．(結論)(3)所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，(大前提)\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是循環(huán)小數(shù)，(小前提)所以，\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是有理數(shù)．(結論)我還有這些不足：(1)________________________________