高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 名師獲獎(jiǎng)

2023年江西省南昌市十所省重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（四）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）設(shè)集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【考點(diǎn)】：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運(yùn)算．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：解指數(shù)不等式求出集合A，求出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即求出集合B，然后求解它們的交集．【解析】：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故選D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查指數(shù)不等式的解法，交集及其運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力．2．（5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=的四個(gè)命題：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i，p4：z的虛部為1，其中真命題為（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：復(fù)數(shù)z=1+i，再利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義即可判斷出真假．【解析】：解：復(fù)數(shù)z===1+i的四個(gè)命題：p1：|z|=≠2，因此是假命題；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命題；p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i，是假命題；p4：z的虛部為1，是真命題．其中真命題為p2，p4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義、命題的真假判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）下列四個(gè)結(jié)論：①若x＞0，則x＞sinx恒成立；②命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”；③“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的充分不必要條件；④命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】：閱讀型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】：令y=x﹣sinx，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可判斷①；由命題的逆否命題，先將體積、結(jié)論調(diào)換，再分別對(duì)它們否定，即可判斷②；由命題p∨q為真，則p，q中至少有一個(gè)為真，不能推出p∧q為真，即可判斷③；由全稱性命題的否定為存在性命題，即可判斷④．【解析】：解：對(duì)于①，令y=x﹣sinx，則y′=1﹣cosx≥0，則有函數(shù)y=x﹣sinx在R上遞增，則當(dāng)x＞0時(shí)，x﹣sinx＞0﹣0=0，則x＞sinx恒成立．則①對(duì)；對(duì)于②，命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x﹣sinx≠0”，則②對(duì)；對(duì)于③，命題p∨q為真，則p，q中至少有一個(gè)為真，不能推出p∧q為真，反之成立，則應(yīng)為必要不充分條件，則③錯(cuò)；對(duì)于④，命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．則④對(duì)．綜上可得，其中正確的敘述共有3個(gè)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查復(fù)合命題的真假和真值表的運(yùn)用，考查充分必要條件的判斷和命題的否定，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．4．（5分）如圖是一個(gè)無(wú)蓋器皿的三視圖，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖中的正方形邊長(zhǎng)為2，正視圖、側(cè)視圖中的虛線都是半圓，則該器皿的表面積是（）A．π+24B．π+20C．2π+24D．2π+20【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積．【專題】：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉一個(gè)圓的正方體的表面積s1和半球的表面積s2，即可求出該器皿的表面積．【解析】：解：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉一個(gè)圓的正方體的表面積s1和半球的表面積s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：由三視圖求表面積與體積，關(guān)鍵是正確分析原圖形的幾何特征．5．（5分）（2023?江西）閱讀如圖程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為（）A．7B．9C．10D．11【考點(diǎn)】：程序框圖．【專題】：算法和程序框圖．【分析】：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值．【解析】：解：由程序框圖知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循環(huán)的i值為9，∴輸出i=9．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵．6．（5分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，由z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，即當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，10）時(shí)，取得最大，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣2）時(shí)，取得最小值，利用數(shù)形結(jié)合確定m的取值范圍．【解析】：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y得y=mx+z，則直線的截距最大，z最大，直線的截距最小，z最?。吣繕?biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，∴當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，10）時(shí)，取得最大，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣2）時(shí)，取得最小值，∴目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的目標(biāo)函數(shù)的斜率m滿足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)的斜率是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．7．（5分）對(duì)于函數(shù)f（x）=x3cos3（x+），下列說(shuō)法正確的是（）A．f（x）是奇函數(shù)且在（）上遞減B．f（x）是奇函數(shù)且在（）上遞增C．f（x）是偶函數(shù)且在（）上遞減D．f（x）是偶函數(shù)且在（）上遞增【考點(diǎn)】：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】：探究型．【分析】：由題設(shè)條件知，可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)選出正確選項(xiàng)【解析】：解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函數(shù)是偶函數(shù)，又x3與sin3x在（）上遞增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上遞減，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，C正確故選C【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)奇偶性與函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法與函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，除了用定義法判斷之外，掌握一些基本函數(shù)的單調(diào)性，利用基本函數(shù)的單調(diào)性判斷一些由這些基本函數(shù)組合的函數(shù)的性質(zhì)可以方便解題8．（5分）（2023?甘肅二模）定義：在數(shù)列{an}中，若滿足﹣=d（n∈N+，d為常數(shù)），稱{an}為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，則（）A．4×20232﹣1B．4×20232﹣1C．4×20232﹣1D．4×20232【考點(diǎn)】：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】：計(jì)算題；推理和證明．【分析】：確定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出結(jié)論．【解析】：解：由題意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用疊乘法可得==4×20232﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查新定義，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解．9．（5分）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）“凸函數(shù)“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A．（﹣∞，）B．[，5]C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：函數(shù)在區(qū)間（1，3）上為“凸函數(shù)”，所以f″（x）＜0，即對(duì)函數(shù)y=f（x）二次求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題解決即可；【解析】：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）為區(qū)間（1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在區(qū)間（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識(shí)遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．10．（5分）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．則不同的搜尋方案有（）A．40種B．70種C．80種D．100種【考點(diǎn)】：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】：計(jì)算題；推理和證明．【分析】：Grace不參與該項(xiàng)任務(wù)，需一位小孩在大本營(yíng)陪同，則其余4人被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處；Grace參與該項(xiàng)任務(wù)，則從其余5人中選2人去近處，即可得出結(jié)論．【解析】：解：Grace不參與該項(xiàng)任務(wù)，則有=30種；Grace參與該項(xiàng)任務(wù)，則有=10種，故共有30+10=40種故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．11．（5分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得△F1F2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：分等腰三角形△F1F2P以F1F2為底和以F1F2為一腰兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合以橢圓焦點(diǎn)為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷，建立關(guān)于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍．【解析】：解：①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P；②當(dāng)△F1F2P構(gòu)成以F1F2為一腰的等腰三角形時(shí)，以F2P作為等腰三角形的底邊為例，∵F1F2=F1P，∴點(diǎn)P在以F1為圓心，半徑為焦距2c的圓上因此，當(dāng)以F1為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F(xiàn)1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以離心率e＞．當(dāng)e=時(shí)，△F1F2P是等邊三角形，與①中的三角形重復(fù)，故e≠同理，當(dāng)F1P為等腰三角形的底邊時(shí)，在e且e≠時(shí)也存在2個(gè)滿足條件的等腰△F1F2P這樣，總共有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（，）∪（，1）【點(diǎn)評(píng)】：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形中，共有6個(gè)不同點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足==1其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為（）A．8B．10C．12D．18第Ⅱ卷【考點(diǎn)】：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由已知得點(diǎn)（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點(diǎn)的距離最小值的平方．由此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】：解：∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足==1，∴b=a﹣2ea，d=2﹣c，∴點(diǎn)（a，b）在曲線y=x﹣2ex上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義就是曲線y=x﹣2ex到曲線y=2﹣x上點(diǎn)的距離最小值的平方．考查曲線y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線，∵y′=1﹣2ex，求出y=x﹣2ex上和直線y=2﹣x平行的切線方程，∴令y′=1﹣2ex=﹣1，解得x=0，∴切點(diǎn)為（0，﹣2），該切點(diǎn)到直線y=2﹣x的距離d==2就是所要求的兩曲線間的最小距離，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為d2=8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．二、填空題：本大題共四小題，每小題5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影為3，則實(shí)數(shù)m=．【考點(diǎn)】：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】：平面向量及應(yīng)用．【分析】：由投影的定義即得，所以得到，解出m即可．【解析】：解：根據(jù)投影的概念：；∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：考查投影的概念，兩向量夾角余弦公式的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求其長(zhǎng)度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，則二項(xiàng)式（x2+）5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為﹣80．【考點(diǎn)】：定積分；二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)定積分的運(yùn)算法則求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理的公式，求出一次項(xiàng)的系數(shù)；【解析】：解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin（）﹣2sin=﹣2，∴二項(xiàng)式（x2+）5=（x2﹣）5，∴Tr+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二項(xiàng)式（x2+）5的展開(kāi)式中x的系數(shù)=﹣80；故答案為：﹣80；【點(diǎn)評(píng)】：此題主要考查定積分的運(yùn)算法則和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是一道綜合題，比較簡(jiǎn)單；15．（5分）對(duì)于集合{a1，a2，…，an}和常數(shù)a0，定義：為集合{a1，a2，…，an}相對(duì)a0的“正弦方差”，則集合相對(duì)a0的“正弦方差”為．【考點(diǎn)】：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【專題】：計(jì)算題；壓軸題；新定義．【分析】：先根據(jù)題意表示出正弦方差μ，進(jìn)而利用二倍角公式把正弦的平方轉(zhuǎn)化成余弦的二倍角，進(jìn)而利用兩角和公式進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理，求得結(jié)果即可．【解析】：解：因?yàn)榧舷鄬?duì)a0的“正弦方差”，W======故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角，兩角和公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．16．（5分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA=r（0＜r＜），記點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為f（r）給出以下四個(gè)命題：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函數(shù)f（r）在（0，1）上是增函數(shù)，f（r）在（，）上是減函數(shù)其中為真命題的是①④（寫出所有真命題的序號(hào)）【考點(diǎn)】：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：由題意畫出圖形并得出相應(yīng)的解析式，畫出其圖象，經(jīng)過(guò)討論即可得出答案．【解析】：解：如圖所示：①當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=3××r=r，f（）=，．此時(shí)，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得：0＜f（r）≤＜5，②當(dāng)1＜r≤時(shí)，在平面ABCD內(nèi)，設(shè)以點(diǎn)A為圓心，r為半徑的圓弧與BC、CD分別交于點(diǎn)E、F，則cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③當(dāng)＜r≤時(shí)，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，綜上，當(dāng)0＜r≤1時(shí)，f（r）=r，當(dāng)1＜r≤時(shí)，f（r）=3rarccos+3rarccos；當(dāng)＜r≤時(shí)，f（r）=3rarccos，故只有①④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】：熟練掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c滿足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，求{}的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)；余弦定理．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，從而得以==，進(jìn)而能求出{}的前n項(xiàng)和Sn．【解析】：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）設(shè){an}的公差為d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a1==2，且=a2?a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴an=2n，∴==，∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查角的大小的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．18．（12分）某大學(xué)的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，在對(duì)大學(xué)生的良好“光盤習(xí)慣”的調(diào)査中，隨機(jī)發(fā)放了l20份問(wèn)巻．對(duì)收回的l00份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表：（1）現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問(wèn)卷中抽取了9份問(wèn)卷，若從這9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤的問(wèn)卷的份數(shù)為ξ，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望（2）如果認(rèn)為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2=，其中n=a+b+c+d，獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：【考點(diǎn)】：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【專題】：應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】：（1）因?yàn)?份女生問(wèn)卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問(wèn)卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因?yàn)棣伪硎緩倪@9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取的4份中能做到光盤的問(wèn)卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相應(yīng)的概率，可得隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）計(jì)算K2=≈，可得結(jié)論．【解析】：解：（1）因?yàn)?份女生問(wèn)卷是用分層抽樣取到的，所以這9份問(wèn)卷中有6份做不到光盤，3份能做到光盤．因?yàn)棣伪硎緩倪@9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取的4份中能做到光盤的問(wèn)卷份數(shù)，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈因?yàn)椋迹迹阅茉诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)，即P=．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，知識(shí)綜合．19．（12分）在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考點(diǎn)】：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，由題設(shè)條件推導(dǎo)出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知條件推導(dǎo)出∠EBF=60°，由此能證明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，能推導(dǎo)出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根據(jù)題意，點(diǎn)F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角為60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四邊形DEFO是平行四邊形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足為G，連接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值為．…（12分）解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為則，∴，∴．…（9分）所以，又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值為．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．20．（12分）已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作圓C：（x﹣2）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，|MN|=（1）求拋物線E的方程（2）設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且=（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)②過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點(diǎn)，求四邊形AGBD面積的最小值．【考點(diǎn)】：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（1）求得K的坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，運(yùn)用對(duì)稱性可得MR的長(zhǎng)，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=3，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）①設(shè)出直線方程，榴蓮么拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得到定點(diǎn)Q；②運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和四邊形的面積公式，換元整理，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值．【解析】：（1）解：由已知可得K（﹣，0），圓C：（x﹣2）2+y2=1的圓心C（2，0），半徑r=1．設(shè)MN與x軸交于R，由圓的對(duì)稱性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，則拋物線E的方程為y2=4x；（2）①證明：設(shè)直線AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），聯(lián)立拋物線方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．則有AB恒過(guò)定點(diǎn)Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=?，同理|GD|=|y2﹣y1|=?，則四邊形AGBD面積S=|AB|?|GD|=???=4，令m2+=μ（μ≥2），則S=4是關(guān)于μ的增函數(shù)，則當(dāng)μ=2時(shí)，S取得最小值，且為88．當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，四邊形AGBD面積的最小值為88．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是實(shí)數(shù)，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求常數(shù)b的值（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（3）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由條件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，①當(dāng)a≤﹣時(shí)，②當(dāng)a≥0時(shí)，③當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，求得最小值，即可得到a的范圍；（3）對(duì)要證的不等式等價(jià)變形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②運(yùn)用（2）中的結(jié)論，通過(guò)a的取值，即可得證．【解析】：（1）解：對(duì)f（x）求導(dǎo)得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根據(jù)條件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①當(dāng)a≤﹣時(shí)，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[]上單調(diào)遞增，從而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[]上單調(diào)遞增，即f（x）≥f（0）而且僅有f（0）=0；②當(dāng)a≥0時(shí)，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[]上單調(diào)遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0；③當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，令m=min{1，﹣}，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0．綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣]．（3）證明：要證對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．即證對(duì)于任意的正整數(shù)n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即證ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即證ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②對(duì)于①相當(dāng)于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0．取x=，有l(wèi)n（1+）﹣＜0；對(duì)于②相當(dāng)于（2）中a=﹣1，有?x∈[0，1]，f（x）≥0而且僅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．則有對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式（1+）n．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法是解題的關(guān)鍵．請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑．選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E．（Ⅰ）求證AB?PC=PA?AC（Ⅱ）求AD?AE的值．【考點(diǎn)】：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】：直線與圓．【分析】：（1）由已知條件推導(dǎo)出△PAB∽△PCA，由此能夠證明AB?PC=PA?AC．（2）由切