高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明數(shù)學(xué)歸納法 全國(guó)公開(kāi)課

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)重慶第八中學(xué)校鄧禮咸【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能：1.了解由歸納法得出的結(jié)論具有不可靠性,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì);2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力,體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想．過(guò)程與方法:1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程;2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，逐步體驗(yàn)觀察、歸納、猜想、論證的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硪庾R(shí)，并初步掌握論證方法;3.通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.情感與價(jià)值觀:1.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的討論，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；3.通過(guò)置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析，初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)條件的歸納，提煉和理解,及數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.【教學(xué)方法】師生互動(dòng)討論、共同探究的方法【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題情境一、“摸球?qū)嶒?yàn)”

這盒子中裝的不是糖，而是乒乓球，下面抽幾個(gè)同學(xué)從盒中分別摸出一個(gè)球，并判斷乒乓球的顏色，由此猜想這盒子中所有乒乓球的顏色。

問(wèn)：這個(gè)猜想對(duì)嗎？

答：不對(duì)

問(wèn)：怎樣判斷這個(gè)猜想是對(duì)的？

答：把它全部倒出來(lái)看或一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看。

問(wèn)：為什么可以一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看？答：因?yàn)槭怯邢薜摹?/p>

問(wèn)：如果是無(wú)限的呢？

答：不能采用一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看。再看一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：情境二：已知＝（），(1)

分別求；；．（由學(xué)生齊答；；的值，老師播放幻燈片）(2)

由此猜想出的值？這個(gè)猜想正確嗎？檢驗(yàn)：所以這個(gè)猜想是錯(cuò)的。（的值是對(duì)的，就接著檢驗(yàn)后面的,不要一檢驗(yàn)就是錯(cuò)的）由上面兩個(gè)例子看出：由幾個(gè)特殊的事例得出一般的結(jié)論有時(shí)是對(duì)的，有時(shí)是錯(cuò)的。由此引出歸納法的定義：歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.

下面看一個(gè)比較熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：（由學(xué)生齊答，老師在黑板上書(shū)寫(xiě)）

回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程：

（學(xué)生齊答，老師放幻燈）

問(wèn)：這個(gè)猜想對(duì)嗎？

學(xué)生答：不一定對(duì)但我們已把它當(dāng)成一個(gè)公式在用，說(shuō)明這個(gè)猜想是對(duì)的，怎樣證明？法一：一個(gè)一個(gè)的檢驗(yàn)，由于n是無(wú)限的，這個(gè)方法不可行，除非我們把有限的生命投入到無(wú)限的驗(yàn)算中去。問(wèn)：有沒(méi)有更好的方法呢？從而引出課題：數(shù)學(xué)歸納法。（放幻燈片）

二、師生互動(dòng)，探究知識(shí)先看一個(gè)大家比較熟悉的游戲：演示多米諾骨牌游戲視頻.我們把剛才的視頻簡(jiǎn)化一下，得到這樣的一個(gè)實(shí)驗(yàn)（老師彈出事先準(zhǔn)備好的簡(jiǎn)化的多米諾骨牌游戲的動(dòng)畫(huà),并再次演示一遍）提問(wèn)：滿足什么條件能使所有的骨牌全部倒下？（把學(xué)生按前后四個(gè)同學(xué)分組，每組選一個(gè)代表發(fā)言，討論時(shí)間大約3分鐘左右）學(xué)生代表發(fā)言（老師在黑板上書(shū)寫(xiě)）：條件1：第一塊要倒下;條件2：當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下問(wèn)：其它組還有其它意見(jiàn)嗎？（給學(xué)生提出的條件老師進(jìn)行歸納整理）問(wèn)：是否滿足這兩個(gè)條件就可以保證所有的骨牌倒下？給出推理（播放幻燈片）：

第1塊倒下

第2塊倒下

第3塊倒下

第n塊倒下

所有的骨牌全部倒下。對(duì)多米諾骨牌游戲的原理進(jìn)行推廣：因?yàn)楣桥剖?塊，2塊，……,無(wú)數(shù)塊,而我們要這么的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是要證明成立,所以可將多米諾骨牌游戲的原理類比到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題上.多米諾骨牌游戲的原理與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題(1)第一塊要倒下(1)時(shí)命題成立(2)當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下;(2)假設(shè)成立，則時(shí)接結(jié)論也成立。根據(jù)(1)和(2),可知無(wú)論多少塊骨牌都能全部倒下根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n，命題都成立。（全部由學(xué)生總結(jié)提煉，老師播放幻燈片）進(jìn)一步總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：(1)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)成立，則時(shí)接結(jié)論也成立。我們把用這種模式來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題叫作數(shù)學(xué)歸納法。下面解釋一下用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證題是可行的，有效的：1.推理過(guò)程：

成立

成立

成立

……

對(duì)所有的正整數(shù)n都成立。2.假設(shè)成立的依據(jù)

根據(jù)第1步，成立，取，這時(shí)假設(shè)成立就不是假設(shè)而是一個(gè)已經(jīng)成立的事實(shí)了，再根據(jù)第2步，由成立就可推出成立，再取，這時(shí)假設(shè)成立就不是假設(shè)而是一個(gè)已經(jīng)成立的事實(shí)了；如此取下去，每一個(gè)假設(shè)成立都是有依據(jù)的。所以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題是有效的和可靠的，大家可以放心大膽使用。三、通過(guò)實(shí)例，運(yùn)用知識(shí)例：用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式(師生共同完成,老師在黑板上書(shū)寫(xiě)并強(qiáng)調(diào)步驟及注意點(diǎn))證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí),左=，右=，所以左=右，即n=1時(shí)結(jié)論成立；(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則時(shí)，=,即n＝k＋1時(shí)等式也成立．綜合(1),(2),對(duì)一切的，成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理的強(qiáng)調(diào)(學(xué)生表述,教師補(bǔ)正)：（1）（遞推奠基）：驗(yàn)證時(shí)命題成立；（2）（遞推根據(jù)）：假設(shè)時(shí)結(jié)論正確；去證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確.（一定要用到假設(shè)）數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無(wú)窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）四、反饋練習(xí),鞏固知識(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明：多邊形的內(nèi)角和為．（學(xué)生獨(dú)立完成，通過(guò)投影儀指出學(xué)生在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中的不足，最后老師播放幻燈片寫(xiě)出規(guī)范的解答）通過(guò)這個(gè)練習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的第一步不一定是從開(kāi)始的，所以對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩步略作改動(dòng)：(1)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)成立，則時(shí)結(jié)論也成立。改為：(1)驗(yàn)證時(shí)命題成立；(2)假設(shè)成立，則時(shí)結(jié)論也成立。五、總結(jié)歸納，加深理解

（先由學(xué)生總結(jié)，最后老師再總結(jié)，最后播放幻燈片）1、兩個(gè)方法：歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。歸納法的本質(zhì)：特殊到一般

歸納法的作用：發(fā)現(xiàn)規(guī)律歸納法的缺陷：具有不可靠性3、數(shù)學(xué)歸納法

基本思想：遞推的思想

適用范圍：與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題

兩個(gè)步驟：

(1)驗(yàn)證時(shí)命題成立；（遞推的基礎(chǔ)）(2)假設(shè)成立，則時(shí)接結(jié)論也成立。（遞推的依據(jù)）

兩個(gè)條件缺一不可，相互依存．附數(shù)學(xué)歸納法打油詩(shī)一首：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，

歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是非常廣泛的，用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是如何由成立去證明成立，有那些方法和技巧，且聽(tīng)下回分解。六、布置作業(yè),課外延伸

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明重慶第八中學(xué)校鄧禮咸一．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)、地位、作用分析《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)第選修II第二章第三節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共三課時(shí)，這是第一課時(shí),主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開(kāi)拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用人類對(duì)問(wèn)題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。二．教學(xué)目標(biāo)分析知識(shí)與技能：1.了解由歸納法得出的結(jié)論具有不可靠性,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì);2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、分析、論證的能力,體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想．過(guò)程與方法:1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程;2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，逐步體驗(yàn)觀察、歸納、猜想、論證的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评硪庾R(shí)，并初步掌握論證方法;3.通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.情感、態(tài)度與價(jià)值觀:1.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的討論，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；3.通過(guò)置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；三．教學(xué)問(wèn)題診斷運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題雖說(shuō)只有兩步，但是原理很抽象．新教材理念告訴我們，不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的簡(jiǎn)單操練.對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是兩步呢？假設(shè)成立有依據(jù)嗎？學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)歸納法后對(duì)這兩點(diǎn)不能完全理解，只能依葫蘆畫(huà)瓢，在需要用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)卻想不起來(lái)，等等．為此，我在教學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)法進(jìn)行強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，由學(xué)生對(duì)多米諾骨牌游戲的原理進(jìn)行討論并自己提煉概括，然后由多米諾骨牌游戲的原理類比到數(shù)學(xué)歸納法的兩步，并對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩步進(jìn)行理論上的證明，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩步的理解，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解更有深度和廣度，這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)的能力，而且也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．由此不難確定本課教學(xué)重點(diǎn)為數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析,初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理;教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解,及用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟的理解.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺缺一不可．此外，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用將重點(diǎn)放在下一課時(shí)完成。四．教法特點(diǎn)及預(yù)期效果1．教學(xué)特點(diǎn)本節(jié)課在教法上貫徹如下幾個(gè)原則：一是建構(gòu)主義原則。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過(guò)反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。如在多米諾骨牌游戲原理的提煉上都由學(xué)生自己討論、歸納、總結(jié)而得出，在由多米諾骨牌游戲原理類比到數(shù)學(xué)歸納法的兩步上也由學(xué)生自己提煉而成。二是寓教于樂(lè)原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺(jué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，讓學(xué)生摸球的游戲，