五年級(jí)奧數(shù)長(zhǎng)方體和正方體(三)姜璐

長(zhǎng)方體和正方體(三)典型例題精講例1.一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積是368平方厘米，底面積是40平方厘米，底面周長(zhǎng)是36厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。解答368-40×2=288平方厘米288÷36=8（厘米）V=40×8=320（立方厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是320立方厘米。例2.將一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)減小5厘米，變成了正方體，正方體表面積比原來(lái)長(zhǎng)方體表面積減少了60平方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解答60÷4=15（平方厘米）15÷5=3（厘米）3×3×（5+3）=72（平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是72立方厘米。例3.有甲，乙兩個(gè)水箱，從里面測(cè)量，甲水箱長(zhǎng)15分米，寬10分米，高8分米，乙水箱長(zhǎng)10分米，寬10分米，高9分米，甲水箱裝滿水，乙水箱空著，現(xiàn)將甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使兩箱水水面高度一樣，兩個(gè)水箱的水面高度是多少分米？解答甲水箱的體積=15×10×8=1200（立方分米）1200÷（15×10+10×10）=4.8（分米）答：兩個(gè)水箱的水面高度是4.8分米。例4.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12厘米，高為8厘米，前后兩個(gè)面，上面和側(cè)面各一個(gè)面的面積之和是392平方厘米，求另外兩個(gè)面積是多少平方厘米？這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？2023/2/5解答

（1）另外兩個(gè)面積是:392-12×8×2=200（平方厘米）（2）200÷（12+8）=10（厘米）體積=12×10×8=960（立方厘米）答：另外兩個(gè)面積是200平方厘米，長(zhǎng)方體的體積是960立方厘米。例5.某工人用薄板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵包包裝箱，并用編織繩在三個(gè)方向上加固，使用的編織繩長(zhǎng)度分別為365厘米、405厘米、485厘米。若每根編織繩加固時(shí)結(jié)頭都是5厘米，則這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米？

解析（365-5）÷2=180厘米（405-5）÷2=200厘米（485-5）÷2=240厘米長(zhǎng)+寬+高=(180+200+240)÷2=310厘米長(zhǎng)=310-180=130厘米寬=310-200=110厘米高=310-240=70厘米V=130×110×70=1001000立方厘米=1.001立方米例6.有甲乙丙三種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長(zhǎng)是乙的棱長(zhǎng)的二分之一，乙的棱長(zhǎng)是丙的棱長(zhǎng)的三分之二。如果用甲乙丙三種木塊拼成一個(gè)盡可能小的大正方體（每塊至少用一塊），那么最多需要這三種木塊共多少塊？最少需要用這三種木塊共多少塊？解析根據(jù)已知條件得知甲乙丙棱長(zhǎng)之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱長(zhǎng)是3厘米的丙正方體拼成較大的正方體，至少用8塊，拿掉一塊丙用乙和甲來(lái)補(bǔ)，需要乙1塊，甲19塊，共需要甲+乙+丙=19+1+7=27塊。（2）最多用92塊。如果拼成棱長(zhǎng)是5厘米的正方體，用一塊丙和一塊乙，需要甲=5×5×5-2×2×2-3×3×3=90（塊）90+1+1=92（塊）例7.在底面邊長(zhǎng)是60厘米的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方體容器里，直立著一個(gè)長(zhǎng)100厘米，底面為邊長(zhǎng)15厘米的正方形的四棱柱鐵棍，這時(shí)容器里的水深為50厘米，現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱，浸濕部分長(zhǎng)多少厘米？

方法一、15×15×24÷（60×60-15×15）=1.6厘米24+1.6=25.6厘米答：浸濕部分長(zhǎng)25.6厘米。解答解答

方法二、解設(shè)：拔出24厘米后，浸在水里的部分為X厘米。（60×60-15×15）X+60×60×24=（60×60-15×15）×503375X=82350X=24.450-24.4=25.6（厘米）答：露出水面的四棱柱，浸濕部分長(zhǎng)25.6厘米。例8.把一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的大正方體木塊切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，這些小正方體的表面積的總和是多少平方厘米？解析方法一：共分成4×4×4=64（個(gè)）S=1×1×6×64=384（平方厘米）方法二：沿著長(zhǎng)、寬、高分別切三刀，共切9刀，一共增加9×2=18個(gè)面，加上原來(lái)的六個(gè)面共有18+6=24（個(gè)）S=4×4×24=384（平方厘米）答：這些小正方體的表面積的總和是384平方厘米。例9把一個(gè)長(zhǎng)12分米，寬6分米，高10分米的長(zhǎng)方體截成3個(gè)相同的小長(zhǎng)方體，它的表面積最多可以增加多少平方分米？共有三種切法例10.在棱長(zhǎng)為3厘米的正方體木塊的每個(gè)面的中心打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，求挖洞后木塊的體積和表面積。解答

V=3×3×3-1×1×1×7=20（立方厘米）S=3×3×6=54（平方厘米）54-1×1×6+1×1×4×6=72（平方厘米）答：體積是20立方厘米，表面積是72平方厘米。例11.一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是15，從它的八個(gè)頂點(diǎn)處各截去棱長(zhǎng)分別是1,2,3,4,5,6,7,8的小正方體，求這個(gè)木塊剩下部分的表面積最少是多少？看圖解析解答

15×15×6=13501350-7×7×2=1252答：這個(gè)木塊剩下部分的表面積最少是1252。例12.有一個(gè)正方體，它的六個(gè)面分別被涂上互不相同的顏色。如果從不同的角度給這個(gè)正方體拍照，那么有時(shí)只能拍到一個(gè)面，兩個(gè)面，最多能同時(shí)拍到三個(gè)面。洗出照片后，照片中正方體的面的顏色搭配種類(lèi)最多有多少種？解析

一個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)六個(gè)面每個(gè)拍一張，就有6張了。兩個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)面對(duì)一個(gè)棱，沖著這個(gè)棱拍過(guò)去，有兩個(gè)面，立方體一共12條棱，所以就又有12張。三個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)面對(duì)一個(gè)頂點(diǎn)，沖著頂點(diǎn)拍過(guò)去，就有三個(gè)面，立方體一共有8個(gè)頂點(diǎn)，所以就又有8張了。所以一共有6+12+8=26張。即26種。例13.給一個(gè)正方體的每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，每種顏色涂?jī)蓚€(gè)面，共有多少種不同的涂法？（兩種涂法，如果經(jīng)過(guò)翻動(dòng)能使各種顏色的位置相同，就認(rèn)為是相同的涂法）解析

共有4種情況。同種顏色，不是相鄰就是相對(duì)。紅、黃、藍(lán)兩個(gè)面分別相對(duì)時(shí)，有三種情況，兩兩相鄰時(shí)有一種情況，共有四種情況。例14.把正方體的六個(gè)面分別劃分成9個(gè)相等的正方形，然后用紅黃籃三種顏色去給每個(gè)小正方形染色，要求有公共邊的正方形染色不同。問(wèn)染紅色的小正方形最多有多少個(gè)？染色示意圖三個(gè)面中共染紅色小正方形11塊，六個(gè)面最多染紅色的小正方形22塊。黃色的小正方形22塊，藍(lán)色的小正方形10塊。課后作業(yè)（一）如圖所示，從一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方