高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

章末綜合測評(一)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0∈(a，b)，則eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)的值為()A．f′(x0) B．2f′(x0C．－2f′(x0【解析】eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),h)＝2eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h(huán),2h)＝2f′(x0)，故選B.【答案】B2．設(shè)曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝()【導(dǎo)學(xué)號：05410036】A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1【解析】y′＝2ax，于是切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝2a，由題意知2a＝2，∴a＝1.【答案】A3．下列各式正確的是()A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－eq\f(1,5)x－6【解析】由導(dǎo)數(shù)公式知選項A中(sina)′＝0；選項B中(cosx)′＝－sinx；選項D中(x－5)′＝－5x－6.【答案】C4．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)【解析】f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，＋∞)．【答案】D5．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)·x2－x，則f′(1)的值為()A．0 B．2C．1 D．－1【解析】f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，則f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.【答案】A6．如圖1所示，圖中曲線方程為y＝x2－1，用定積分表示圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是()圖1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,2,)x2－1dx))\i\in(0,2,)(x2－1)dx\i\in(0,2,)|x2－1|dx\i\in(0,1,)(x2－1)dx－eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx【解析】S＝eq\i\in(0,1,)[－(x2－1)]dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx.【答案】C7．函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點的個數(shù)是()A．2 B．1C．0 D．由a確定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值．故選C.【答案】C8．若函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在區(qū)間[－2，－1]上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函數(shù)在[－2，－1]內(nèi)單調(diào)遞減，所以最大值為f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】A9．已知y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(1)＝1，f′(x)>1，則f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化為f(x)－x>0，設(shè)g(x)＝f(x)－x，則g′(x)＝f′(x)－1，由題意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式?g(x)>0?g(x)>g(1)．∴x>1，故選C.【答案】C10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)<－4C．a(chǎn)≥0或a≤－4 D．a(chǎn)>0或a<－4【解析】f′(x)＝2x＋2＋eq\f(a,x)，x∈(0,1)，∵f(x)在(0,1)上單調(diào)，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，∴2x＋2＋eq\f(a,x)≥0或2x＋2＋eq\f(a,x)≤0在(0,1)上恒成立，即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．設(shè)g(x)＝－2x2－2x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，∴g(x)的最大值為g(0)＝0，g(x)的最大值為g(1)＝－4.∴a≥0或a≤－4.【答案】C11．曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離為()\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．2【解析】設(shè)曲線上的點A(x0，ln(2x0－1))到直線2x－y＋3＝0的距離最短，則曲線上過點A的切線與直線2x－y＋3＝0平行．因為y′＝eq\f(1,2x－1)·(2x－1)′＝eq\f(2,2x－1)，所以k＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1.所以點A的坐標(biāo)為(1,0)．所以點A到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).【答案】A12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為()【導(dǎo)學(xué)號：05410037】A．3 \f(5,2)C．2 \f(3,2)【解析】由題意，得f′(x)＝2ax＋b.由對任意實數(shù)x，有f(x)≥0，知圖象開口向上，所以a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，所以ac≥eq\f(b2,4).因為f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0處函數(shù)遞增．由此知f(0)＝c>0.所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(b＋2\r(\f(b2,4)),b)＝2.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(3x＋sinx)dx＝__________.【解析】eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(3x＋sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x2,2)－cosx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2),0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2－cos\f(π,2)))－(0－cos0)＝eq\f(3π2,8)＋1.【答案】eq\f(3π2,8)＋114．若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)是________．【解析】設(shè)P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴點P處的切線斜率為k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴點P的坐標(biāo)為(－ln2,2)．【答案】(－ln2,2)15．直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有三個相異的公共點，則a的取值范圍是__________．【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，如圖所示，－2<a<2時，恰有三個不同公共點．【答案】(－2,2)16．周長為20cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________cm3.【解析】設(shè)矩形的長為x，則寬為10－x(0<x<10)，由題意可知所求圓柱的體積V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′(x)＝20πx－3πx2.由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝eq\f(20,3)，且當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20,3)))時，V′(x)>0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，10))時，V′(x)<0，∴當(dāng)x＝eq\f(20,3)時，V(x)取得最大值為eq\f(4000,27)πcm3.【答案】eq\f(4000,27)π三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限，(1)求P0的坐標(biāo)；(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．【解】(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.當(dāng)x＝1時，y＝0；當(dāng)x＝－1時，y＝－4.又因為點P0在第三象限，所以切點P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．(2)因為直線l⊥l1，l1的斜率為4，所以直線l的斜率為－eq\f(1,4)，因為l過切點P0，點P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，所以直線l的方程為y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝aln(x＋1)＋eq\f(1,2)x2－ax＋1(a>0)．(1)求函數(shù)y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)a>1時，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝eq\f(a,x＋1)＋x－a＝eq\f(xx－a＋1,x＋1)，f′(0)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.(2)函數(shù)的定義域為(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即eq\f(xx－a＋1,x＋1)＝0.解得x＝0或x＝a－1.當(dāng)a>1時，f(x)，f′(x)隨x變化的變化情況為x(－1,0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0，a－1)，單調(diào)增區(qū)間是(－1,0)和(a－1，＋∞)，極大值為f(0)＝1，極小值為f(a－1)＝alna－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2).19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a，(1)當(dāng)a＝0時，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m＝2時，若函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)在區(qū)間[1,3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤eq\f(x,lnx)在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝eq\f(x,lnx)，則g′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)，故g′(e)＝0，當(dāng)x∈(1，e)時，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)時，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝e時，g(x)的最小值為g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2lnx－a，函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點，相當(dāng)于函數(shù)φ(x)＝x－2lnx與直線y＝a有兩個不同的交點，φ′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)，故φ′(2)＝0，所以當(dāng)x∈[1,2)時，φ′(x)<0，所以φ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2,3]時，φ′(x)>0，所以φ(x)單調(diào)遞增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln3，φ(2)＝2－2ln2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln2<a≤3－2ln3.所以實數(shù)a的取值范圍為(2－2ln2,3－2ln3]．20．(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．【解】(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因為r>0，又由h>0可得0＜r<5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5eq\r(3))．(2)因為V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上為減函數(shù)．由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8.即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．21．(本小題滿分12分)拋物線y＝ax2＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y＝4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達到最大值的a，b值，并求S的最大值．【解】由題設(shè)可知拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝－eq\f(b,a)，所以S＝eq\i\in(0,-eq\f(b,a),)0(ax2＋bx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)ax3＋\f(1,2)bx2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,a),0))＝eq\f(1,3)a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))3＋eq\f(1,2)b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))2，①又直線x＋y＝4與拋物線y＝ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,y＝ax2＋bx，))得ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判別式Δ＝0，即(b＋1)2＋16a＝0.于是a＝－eq\f(1,16)(b＋1)2，代入①式得：S(b)＝eq\f(128b3,3b＋14)(b>0)，S′(b)＝eq\f(128b23－b,3b＋15)；令S′(b)＝0，在b＞0時，得b＝3，且當(dāng)0<b<3時，S′(b)>0；當(dāng)b>3時，S′(b)<0.故在b＝3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a＝－1，b＝3時，S取得最大值，且S最大值＝eq\f(9,2).22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq