高中數(shù)學(xué)人教B版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章指數(shù)函數(shù)

3．指數(shù)函數(shù)1．理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．能畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說(shuō)明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1指數(shù)函數(shù)的定義閱讀教材P90～P91“第12行”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝－2x是指數(shù)函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝2x＋1是指數(shù)函數(shù)．()(3)函數(shù)y＝(－2)x是指數(shù)函數(shù)．()【解析】(1)×.因?yàn)橹笖?shù)冪2x的系數(shù)為－1，所以函數(shù)y＝－2x不是指數(shù)函數(shù)．(2)×.因?yàn)橹笖?shù)不是x，所以函數(shù)y＝2x＋1不是指數(shù)函數(shù)．(3)×.因?yàn)榈讛?shù)小于0，所以函數(shù)y＝(－2)x不是指數(shù)函數(shù)．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)閱讀教材P91～P92，完成下列問(wèn)題．a(chǎn)＞10＜a＜1圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．()(2)當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)于任意x∈R，總有ax>1.()(3)函數(shù)f(x)＝2－x在R上是增函數(shù)．()【解析】(1)√.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的值域是(0，＋∞)，所以指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．(2)×.當(dāng)x≤0時(shí)，ax≤1.(3)×.因?yàn)閒(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，所以函數(shù)f(x)＝2－x在R上是減函數(shù)．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]指數(shù)函數(shù)的概念(1)下列一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D．y＝(a－2)ax(2)函數(shù)y＝(a－2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)>0且a≠1【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷、求解．【自主解答】(1)A中a的范圍沒(méi)有限制，故不一定是指數(shù)函數(shù)；B中y＝xa(a>0且a≠1)中變量是底數(shù)，故也不是指數(shù)函數(shù)；C中y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)顯然是指數(shù)函數(shù)；D中只有a－2＝1即a＝3時(shí)為指數(shù)函數(shù)．(2)由指數(shù)函數(shù)定義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝1，,a>0，且a≠1，))所以解得a＝3.【答案】(1)C(2)C1．指數(shù)函數(shù)具有形式上的嚴(yán)格性，在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住四點(diǎn)：(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為1；(4)指數(shù)函數(shù)不會(huì)是多項(xiàng)式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指數(shù)函數(shù)．2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法．[再練一題]1．(1)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝9，則f(x)＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210075】【解析】(1)由題意設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則f(2)＝a2＝9，又因?yàn)閍>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x.(2)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)且a≠1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．【答案】(1)3x(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)指數(shù)函數(shù)的定義域和值域求下列函數(shù)的定義域和值域：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97512041】(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\r(－|x|)；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.【精彩點(diǎn)撥】eq\x(函數(shù)式有意義)→eq\x(原函數(shù)的定義域)eq\o(→,\s\up7(指數(shù)函數(shù)),\s\do5(的值域))eq\x(原函數(shù)的值域)【自主解答】(1)要使函數(shù)式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0，故函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的定義域?yàn)?－∞，0]．因?yàn)閤≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的值域?yàn)閇0,1)．(3)因?yàn)閷?duì)于任意的x∈R，函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2都有意義，所以函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的定義域?yàn)镽.因?yàn)?x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的值域?yàn)?2，＋∞)．1．求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝eq\r(fax)型函數(shù)的定義域時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)．2．函數(shù)y＝af(x)的值域的求解方法如下：(1)換元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定義域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．3．求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意與求其它函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))值域的方法相結(jié)合，要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，切記準(zhǔn)確運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．[再練一題]2．求下列函數(shù)的定義域和值域．【解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠3}．令t＝eq\f(1,x－3)，則t≠0，∴y＝2t>0且2t≠1，故函數(shù)的值域?yàn)閧y|y>0且y≠1}．(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，令t＝2x－x2，則t＝－(x－1)2＋1≤1，[探究共研型]指數(shù)函數(shù)的圖象探究1指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)哪一定點(diǎn)？函數(shù)f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象又過(guò)哪一定點(diǎn)呢？【提示】法一(平移法)∵y＝ax過(guò)定點(diǎn)(0,1)，∴將函數(shù)y＝ax向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝ax－1＋2，此時(shí)函數(shù)y＝ax圖象過(guò)定點(diǎn)(1,3)法二(解方程法)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，則f(x)＝3，所以函數(shù)f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,3)．探究2指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象可能在第三或四象限嗎？為什么？【提示】不可能．因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的定義域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，這就決定了其圖象只能在第一象限和第二象限．探究3從左向右，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象呈上升趨勢(shì)還是下降趨勢(shì)？其圖象是上凸還是下凸？【提示】當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象從左向右呈下降趨勢(shì)；當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象從左向右呈上升趨勢(shì)．指數(shù)函數(shù)的圖象下凸．(1)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()(2)函數(shù)y＝a－|x|(0＜a＜1)的圖象是()【精彩點(diǎn)撥】(1)分a＞1和0＜a＜1兩種情況分類討論，結(jié)合排除法解題；(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和函數(shù)的最值，以及函數(shù)的凹凸性即可判斷．【自主解答】(1)∵a為直線y＝x＋a在y軸上的截距，對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝x＋a單調(diào)遞增，又∵當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax單調(diào)遞增，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝ax單調(diào)遞減，A中，從圖象上看，y＝ax的a滿足a＞1，而直線y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上兩條；B中，從圖象上看，y＝ax的a滿足0＜a＜1，而直線y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上兩條；C中，從圖象上看，y＝ax的a滿足a＞1，而函數(shù)y＝x＋a單調(diào)遞減，不符合以上兩條，∴只有選項(xiàng)D的圖象符合以上兩條，故選D.(2)y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(|x|)，易知函數(shù)為偶函數(shù)，∵0＜a＜1，∴eq\f(a,1)＞1，故當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為1，且指數(shù)函數(shù)為凹函數(shù)，故選A.【答案】(1)D(2)A1．可用指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、值域等處理指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題．2．要求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只需令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．3．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系．(1)在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變?。?2)在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。?3)無(wú)論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針?lè)较蜃兇螅@一性質(zhì)可通過(guò)x取1時(shí)函數(shù)值的大小關(guān)系去理解，如圖3-1-1所示的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小關(guān)系為0＜d＜c＜1＜b＜a.圖3-1-1[再練一題]3．定義一種運(yùn)算：g⊙h＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gg≥h，,hg<h，))已知函數(shù)f(x)＝2x⊙1，那么函數(shù)y＝f(x－1)的大致圖象是()【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥0，,1x<0，))∴f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1x≥1，,1x<1，))∴其圖象為B，故選B.【答案】B1．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝2，則f(x)＝()A．(eq\r(2))x B．2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(x)【解析】由題意，設(shè)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f(2)＝a2＝2，得a＝eq\r(2)，所以f(x)＝(eq\r(2))x.【答案】A2．當(dāng)x∈[－2,2)時(shí)，y＝3－x－1的值域是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60210076】\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)，8))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))【解析】y＝3－x－1，x∈[－2,2)是減函數(shù)，∴3－2－1<y≤32－1，即－eq\f(8,9)<y≤8.【答案】A3．已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖3-1-2所示，則f(3)等于()圖3-1-2A．2eq\r(2)－2 \f(\r(3),9)－3C．3eq\r(3)－3 D．3eq\r(3)－3或－3eq\r(3)－3【解析】由圖象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝eq\r(3)(負(fù)值舍去)，故f(x)＝3eq\f(x,2)－3，f(3)＝3eq\r(3)－3.【答案】C4．已知函數(shù)f(x)＝a2x－4＋n(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(m,2)，則m＋n＝________.【解析】令2x－4＝0，即x＝2，f(x)＝1＋n.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,1＋n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))∴m＋n＝3.【答案】