高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時跟蹤檢測導(dǎo)數(shù)的幾何意義

課時跟蹤檢測（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．下面說法正確的是()A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處沒有切線，則f′(x0)有可能存在解析：選Cf′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率，當(dāng)切線垂直于x軸時，切線的斜率不存在，但存在切線．2．曲線f(x)＝－eq\f(2,x)在點M(1，－2)處的切線方程為()A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4解析：選Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－2,1＋Δx)＋2,Δx)＝eq\f(2,1＋Δx)，所以當(dāng)Δx→0時，f′(1)＝2，即k＝2.所以直線方程為y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故選C.3．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))處切線的傾斜角為()A．1 \f(π,4)\f(5π,4) D．－eq\f(π,4)解析：選B∵y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.∴切線的傾斜角為eq\f(π,4)，故應(yīng)選B.4．曲線y＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：選A∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a5．過正弦曲線y＝sinx上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))的切線與y＝sinx的圖象的交點個數(shù)為()A．0個 B．1個C．2個 D．無數(shù)個解析：選D由題意，y＝f(x)＝sinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(cosΔx－1,Δx).當(dāng)Δx→0時，cosΔx→1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.∴曲線y＝sinx的切線方程為y＝1，且與y＝sinx的圖象有無數(shù)個交點．6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(1)＝eq\f(1,2)，由點M在切線上得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：37．已知曲線f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝eq\f(1,x)過兩曲線交點作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點處的切線方程為____________________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),y＝\f(1,x)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴兩曲線的交點坐標(biāo)為(1,1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(△x→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在點(1,1)處的切線方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)．即x－2y＋1＝0，答案：x－2y＋1＝08．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點坐標(biāo)為________．解析：設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝x2－3x，切點坐標(biāo)為(x0，y0)，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切點坐標(biāo)為(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離．解：根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線對應(yīng)的切點到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(2,0))，則y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切點到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,4)－2,\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以拋物線上的點到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2),8).10．已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點的坐標(biāo)．解：設(shè)直線l與曲線C相切于點P(x0，y0)，∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x\o\al(3,0)－2x\o\al(2,0)＋3,Δx)＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3xeq\o\al(2,0)－4x0.∴當(dāng)Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→3xeq\o\al(2,0)－4x0，即f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－4x0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3xeq\o\al(2,0)－4x0＝4，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝2.∴切點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)，當(dāng)切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))時，有eq\f(49,27)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a，∴a＝eq\f(121,27)，當(dāng)切點為(2,3)時，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，當(dāng)a＝eq\f(121,27)時，切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))；a＝－5時，切點為(2,3)．層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能確定解析：選B由圖可知，曲線在點A處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(xA)<f′(xB)，選B.2．已知曲線y＝2x3上一點A(1,2)，則點A處的切線斜率等于()A．0 B．2C．4 D．6解析：選DΔy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故選D.3．設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，則曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1C．1 D．－2解析：選Beq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(x)＝－1.4．已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線互相垂直，則eq\f(a,b)為()\f(1,3) \f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)解析：選D由導(dǎo)數(shù)的定義可得y′＝3x2，∴y＝x3在點P(1,1)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝3，由條件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).5.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝______.解析：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.答案：－26．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為________．解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(a·Δx＋b)＝b.又因為對于任意實數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))所以ac≥eq\f(b2,4)，所以c>0.所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.答案：27．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值．解：∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2∵g′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切線斜率k2＝3＋b.∵在交點(1，c)處有公共切線，∴2a＝3＋b又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))8．已知曲線y＝x2＋1，是否存在實數(shù)a，使得經(jīng)過點(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\