高中數(shù)學(xué)人教B版第二章數(shù)列 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)16

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十六)不等式的性質(zhì)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>N ＝NC．M<N D.與x有關(guān)【解析】M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0.∴M>N.【答案】A2．某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式(組)表示就是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))【解析】由題中x不低于95，即x≥95，y高于380，即y>380，z超過45，即z>45.【答案】D3．設(shè)a>1>b>－1，則下列不等式中恒成立的是()\f(1,a)<eq\f(1,b) \f(1,a)>eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>2b >b2【解析】A錯(cuò)，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)時(shí)，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此時(shí)，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B錯(cuò)，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此時(shí)，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C錯(cuò)，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)時(shí)，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此時(shí)a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，D正確．【答案】D4．(2023·安徽六校聯(lián)考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正確的不等式的個(gè)數(shù)有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) 個(gè)【解析】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正確；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，兩邊同乘|ab|，得|b|>|a|，故②錯(cuò)誤；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，即③錯(cuò)誤，故選B.【答案】B5．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則2α－eq\f(β,3)的范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5,6)π))C．(0，π) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))【解析】0<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.【答案】D二、填空題6．已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系為________．【解析】(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因?yàn)閤<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.【答案】x2＋2>3x7．給出的四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能得出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33300087】【解析】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，可得eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，故①②④可推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【答案】①②④8．某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類eq\f(1,2)B類eq\f(1,3)6今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)________件，最高產(chǎn)值為________萬元．【解析】設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由題意，得總產(chǎn)值y＝＋6×(50－x)＝300＋≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時(shí)，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬元．【答案】20330三、解答題9．(1)a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.【證明】(1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．(1)已知x<1，比較x3－1與2x2－2x的大??；(2)已知12<a<60,15<b<36，求a－b和eq\f(a,b)的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33300088】【解】(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))，∵x<1，∴x－1<0，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，∴x3－1<2x2－2x.(2)∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15.∴－24<a－b<45.又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15).∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.[能力提升]1．(2023·菏澤高二檢測(cè))若a>b>0，c<d<0，則一定有()\f(a,c)>eq\f(b,d) \f(a,c)<eq\f(b,d)\f(a,d)>eq\f(b,c) \f(a,d)<eq\f(b,c)【解析】令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，所以A，B錯(cuò)誤；eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以C錯(cuò)誤．故選D.【答案】D2．設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()A．① B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a>b>1，得0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正確；冪函數(shù)y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以ac<bc，②正確；因?yàn)閍－c>b－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確．故①②③均正確．【答案】D3．(2023·福建泉州月考)若x>y，a>b，則在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)，這五個(gè)式子中，恒成立的所有不等式的序號(hào)是_____________________________．【解析】令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合題設(shè)條件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；又∵eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，∴eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不成立．由不等式的性質(zhì)可推出②④成立．【答案】②④4．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠．”這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的．試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【解】設(shè)該單位有職工n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq