一維諧振子的級(jí)數(shù)解細(xì)節(jié)討論

二.定態(tài)薛定諤方程

在方程中做如下的無(wú)量綱化變換：

方程:則方程變成：

漸近解:當(dāng)ξ→±∞時(shí)，方程變?yōu)椋何覀儼l(fā)現(xiàn)它有漸近解：

但是應(yīng)該舍去。所以再進(jìn)行變換：可得關(guān)于H(ξ)的如下方程：三.能級(jí)和波函數(shù)

可以用級(jí)數(shù)法求解H(ξ)的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H(ξ)是“真”無(wú)窮級(jí)數(shù)，那么在x→±∞的時(shí)候H(ξ)就→eξ2,仍然使ψ(ξ)發(fā)散。能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級(jí)數(shù)“中止”或“退化”為多項(xiàng)式，要求H(ξ)是ξ的n次多項(xiàng)式.1.級(jí)數(shù)求解代入方程（2.7－6），令的各次冪系數(shù)等于零，得到如下遞推關(guān)系一個(gè)二階的微分方程解包含兩個(gè)任意常數(shù)是自然的。如果H函數(shù)的系數(shù)取偶數(shù)項(xiàng)，則該函數(shù)為偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。因此，這是兩個(gè)不同的函數(shù)?？偣矁蓚€(gè)不同函數(shù)，每個(gè)包含一個(gè)未定常數(shù)，或者任意常數(shù)。如果兩個(gè)解都是無(wú)窮，則厄米方程無(wú)解。因此要至少有一個(gè)有限解。偶數(shù)系數(shù)與奇數(shù)系數(shù)交替，隨著n的增大，總能保證H方程有一個(gè)有限解。a0與a1不用確定，H方程的解也已經(jīng)求出。確定a0或者a1，就是確定一個(gè)特殊解。P53頁(yè)，公式11,12的特點(diǎn)是，后一項(xiàng)包含前面所有項(xiàng)的分子作為因子。這確保了某一項(xiàng)為零時(shí)，它后面所有項(xiàng)都為零。就是所謂的截?cái)嗔?。a0,a1為什么取2na0可以不為，它應(yīng)該取什么呢？如果不確定它，那是一般解?，F(xiàn)在對(duì)于諧振子這個(gè)具體問(wèn)題，它有確定的物理?xiàng)l件，作為邊界條件。因此，a0必須確定。這個(gè)就是歸一化所完成的。下面，以n=4為例，討論這個(gè)問(wèn)題。N=4，lambda=5，公式11，p53頁(yè)，在哪里截?cái)嗔?？公?2，p54頁(yè)，就是所得H函數(shù)?，F(xiàn)在將它帶入公式13，p53頁(yè)，然后歸一化。下面給出頭五個(gè)厄密多項(xiàng)式一般表達(dá)式遞推關(guān)系四.討論

1.我們把線性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)總結(jié)如下。能級(jí)是：對(duì)應(yīng)的波函數(shù)是：Nn是歸一化常數(shù)，可以由歸一化條件

可得

2.分立能級(jí)

(1)能級(jí)是分立的,是等間隔的；

(2)零點(diǎn)能是3.粒子運(yùn)動(dòng)的范圍經(jīng)典振子的運(yùn)動(dòng)范圍是振幅之內(nèi)(能量決定振幅)