誤差第2章-誤差處理

隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差粗大誤差測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)處理實(shí)例

第2章誤差的基本性質(zhì)與處理合肥工業(yè)大學(xué)

誤差理論與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因1正態(tài)分布2算術(shù)平均值3測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差4第一節(jié)隨機(jī)誤差測(cè)量的極限誤差5不等精度測(cè)量6一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因隨機(jī)誤差：不能確定大小和方向的誤差，但整體而言，卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。原因：暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素。①測(cè)量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素

③人為方面的因素一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因二、正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性單峰性有界性抵償性正態(tài)分布誤差概率密度曲線和直方圖０δ二、正態(tài)分布①

對(duì)稱(chēng)性

②單峰性

δ=0時(shí),

③有界性隨機(jī)誤差δ出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即

[-kσ,+kσ]的可能性較大。④補(bǔ)償性隨著測(cè)量次數(shù)的增加，

隨機(jī)誤差的特點(diǎn)

(1)有界性：在一定條件下的有限測(cè)量值中，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限。

(2)單峰性：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。

(3)對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

(4)抵償性：相同條件下對(duì)同一量進(jìn)行多次測(cè)量，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)n的無(wú)限增加而趨于零，即誤差平均值的極限為零。其表達(dá)式為二、正態(tài)分布令為隨機(jī)誤差，滿足正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）：σ數(shù)學(xué)期望：方差：平均誤差：或然誤差：反映隨機(jī)誤差分布的中心位置反映隨機(jī)誤差相對(duì)于中心的分散程度平均偏差：是指單項(xiàng)測(cè)定值與平均值的偏差（取絕對(duì)值）之和，除以測(cè)定次數(shù)。平均偏差不計(jì)正負(fù)?；蛉徽`差：比某值大或小的概率各為1/2的誤差。在一組測(cè)定中，誤差絕對(duì)值大于γ的測(cè)定值與誤差絕對(duì)值小于γ的測(cè)定值各占總測(cè)定值的一半。二、正態(tài)分布σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。

三、算術(shù)平均值(一)定義(二)算術(shù)平均值的意義

由得即算術(shù)平均值可以作為被測(cè)量真值的估計(jì)值(三)殘差(四)算術(shù)平均值的簡(jiǎn)便求法

選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值三、算術(shù)平均值理論值例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表，求。序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

選參考值=1879.65，三、算術(shù)平均值

（五）算術(shù)平均值的計(jì)算校核

規(guī)則1:殘差代數(shù)和校核

為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)，為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，規(guī)則２:殘差代數(shù)和絕對(duì)值校核

n為偶數(shù)，

n為奇數(shù)，A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。常用三、算術(shù)平均值例2-3測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進(jìn)行校核。

序號(hào)

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

三、算術(shù)平均值①計(jì)算算術(shù)平均值②校核規(guī)則１：規(guī)則２：計(jì)算正確三、算術(shù)平均值（一）單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σ

精度評(píng)定指標(biāo)之一１.σ的意義:反映了隨機(jī)誤差分布的分散性σ值愈小，高而陡，誤差分布范圍小，測(cè)量精度高。σ值愈大，低而平坦，誤差分布范圍大，測(cè)量精度低。測(cè)量結(jié)果＝被測(cè)量估計(jì)值（或）＋估計(jì)值的精度評(píng)定四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）２.σ的計(jì)算根據(jù)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的定義，得δi未知時(shí)Bessel公式更準(zhǔn)確條件：n>5四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）推導(dǎo)過(guò)程：令，則當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為趨近于零四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）3.σ的其他計(jì)算公式別捷爾斯法（Peters公式)由殘差絕對(duì)值之和求σ四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）序號(hào)1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）極差法1）極差ωn2）σ的計(jì)算若等精度多次測(cè)量測(cè)得值服從正態(tài)分布，則n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）

例2-5仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。解：四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）最大誤差法：當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量值服從正態(tài)分布時(shí)，

已知真值：

未知真值：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）

例2-6仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有而故標(biāo)準(zhǔn)差為四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）例2-7某激光管發(fā)出的激光波長(zhǎng)經(jīng)檢定為，由于某些原因未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但后來(lái)又用更精確的方法測(cè)得激光波長(zhǎng)，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差為：

故標(biāo)準(zhǔn)差為：四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)貝塞爾公式:最常用，適用于測(cè)量次數(shù)較多的情況，計(jì)算精度較高，但較麻煩。對(duì)重要的測(cè)量或多種結(jié)果矛盾時(shí)，以貝塞爾公式為準(zhǔn)。②別捷爾斯公式：最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍。③極差法：簡(jiǎn)單、迅速，當(dāng)n<10時(shí)可用來(lái)計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式。④最大誤差法：更為簡(jiǎn)捷，n很小時(shí)，有一定精度。尤其適用于一次實(shí)驗(yàn)。四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）（二）測(cè)量列算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果=1.的計(jì)算四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）2.的意義n愈大，越小，說(shuō)明的精度越高；為提高測(cè)量精度，可以增大n；n的選取要適當(dāng)。σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以?xún)?nèi)較為適宜?？傊?，提高測(cè)量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）例2-8用游標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為，根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得：

四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）（一）極限誤差定義指在一定的觀測(cè)條件下，測(cè)量誤差不應(yīng)超出的范圍極限值。若測(cè)量誤差落在范圍內(nèi)的概率為Ｐ，超出該范圍的概率為１－Ｐ，則為置信概率Ｐ的極限誤差。（二）單次測(cè)量的極限誤差以正態(tài)分布為例，隨機(jī)誤差落在（-δ,+δ）之間的概率：五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）將上式進(jìn)行變量置換，設(shè)經(jīng)變換，上式成為：超出的概率為確定極限誤差的步驟：Ｐt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其值可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附錄表１）查得置信概率五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）現(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率α=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。t不超出的概率超出的概率測(cè)量次數(shù)n超出的測(cè)量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）由于在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱(chēng)為單次測(cè)量的極限誤差，即

（p＝99.73％）其它t值也可．一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示：若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè)量的極限誤差。五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）（三）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，可得t為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student”distribution)或稱(chēng)t分布來(lái)計(jì)算：五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來(lái)確定，具體數(shù)值見(jiàn)附錄3；為超出極限誤差的概率（稱(chēng)顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)；為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于同一測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）例2-9對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）若按正態(tài)分布計(jì)算，取，置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。則有：五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）六、不等精度測(cè)量（一）不等精度測(cè)量列不同測(cè)量條件，不同儀器，不同測(cè)量方法，不同測(cè)量次數(shù)，不同的測(cè)量者等（二）權(quán)的概念六、不等精度測(cè)量權(quán):描述不等精度測(cè)量列中各個(gè)值的可信賴(lài)程度。Pi越大，說(shuō)明該測(cè)量值越可信賴(lài)。等精度測(cè)量：P1=P2=…=Pn不等精度測(cè)量：P1≠P2≠…≠Pn（三）權(quán)的確定以第２種情況為例：pi=ni一般情況：權(quán)的大小是由測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差決定六、不等精度測(cè)量例2-10對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為求各測(cè)量結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42)得

因此各組的權(quán)可取為

六、不等精度測(cè)量（四）測(cè)量結(jié)果估計(jì)加權(quán)算術(shù)平均值仍以例２說(shuō)明：例2-11工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。六、不等精度測(cè)量解：按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)：，選則有（五）單位權(quán)化－使不等精度測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列六、不等精度測(cè)量等精度：Pi=P=1σ－單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

不等精度：?jiǎn)挝粰?quán)化：任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根。（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差六、不等精度測(cè)量近似精確例2-12求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。解：由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為：又已知

代入式(2-51)得

六、不等精度測(cè)量第二節(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因1系統(tǒng)誤差的特征與分類(lèi)2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法3系統(tǒng)誤差的減小和消除方法4一、系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過(guò)程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。①

裝置方面的因素②

環(huán)境方面的因素

③

測(cè)量方法的因素

④

測(cè)量人員的因素一、系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因二、系統(tǒng)誤差的分類(lèi)和特征系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化，不具有抵償性。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類(lèi)。二、系統(tǒng)誤差的分類(lèi)和特征（一）不變系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)始終不變。

eg:千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差；量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等．（二）變化系統(tǒng)誤差

在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。eg:量塊中心長(zhǎng)度隨溫度的變化①線性變化的系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類(lèi)和特征②周期變化的系統(tǒng)誤差eg:指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差。③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差例如:微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤(pán)仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

e90o0o180o270oeΔL0O90O180O360O三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差,適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。2、殘余誤差觀察法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認(rèn)為測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱(chēng)“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法若則認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法貝塞爾公式：

別捷爾斯公式：令，若則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。判斷時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)可直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。

三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：若對(duì)同一量獨(dú)立測(cè)量得m組結(jié)果，已知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差

對(duì)獨(dú)立測(cè)得兩組的數(shù)據(jù)：將它們混和以后，從1開(kāi)始，按從小到大的順序重新排列，觀察測(cè)量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號(hào)，它的測(cè)得值在混合后的次序編號(hào)（即秩），再將所有測(cè)得值的次序相加，得到的序號(hào)號(hào)即為秩和T。當(dāng)兩組的測(cè)量次數(shù)，可根據(jù)測(cè)量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1

和測(cè)量次數(shù)較多的組的次數(shù)n2

，由秩和檢驗(yàn)表2-10查得T-

和T+

（顯著度0.05），若則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法當(dāng)，秩和T近似服從正態(tài)分布括號(hào)中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)T-

和T+

可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)，則：選取概率，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得t，若，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法解：查表2-10得例2-16

對(duì)某量測(cè)得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無(wú)系統(tǒng)誤差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1i123456714.714.815.215.614.615.015.1

已知計(jì)算秩和T=1+4+5=10因故無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法令變量由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知，變量t是服從自由度為()的t分布變量。3、t檢驗(yàn)法當(dāng)兩組測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。設(shè)獨(dú)立測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為：其中三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法注意:式中使用的和,不是方差的無(wú)偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的和用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。取顯著性水平α，由t分布表（附錄表3）查出中的。

若，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。

三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法由及取，查t分布表(附錄表3)得，又因，故無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。則解：例2-17

對(duì)某量測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。①

基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺等）是否準(zhǔn)確可靠；②

量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書(shū)；③

儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝夾是否正確合理；④

所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；⑤

測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求；⑥

注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（二）加修正值法預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律。恒定系統(tǒng)誤差：采用檢定方法，對(duì)已知基準(zhǔn)量重復(fù)測(cè)量取其均值，兩者之差即為其修正值?？勺兿到y(tǒng)誤差：按照某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量的一系列測(cè)值，再計(jì)算其差值，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（三）改進(jìn)測(cè)量方法

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

①反向補(bǔ)償法（抵消法）：

四、系統(tǒng)誤差的減小和消除測(cè)量螺距四、系統(tǒng)誤差的減小和消除②

代替法：在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，再次進(jìn)行測(cè)量，從而求出被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值：被測(cè)量＝標(biāo)準(zhǔn)量＋差值③

交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱(chēng)法

對(duì)稱(chēng)法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法。將測(cè)量對(duì)稱(chēng)安排，取各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。例如:測(cè)定量塊平面度時(shí),先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對(duì)零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn)的測(cè)得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。設(shè)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，即相差半周期的誤差為：取兩次讀數(shù)平均值則有

例如儀器度盤(pán)安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤(pán)中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除第二節(jié)粗大誤差粗大誤差產(chǎn)生的原因1防止與消除粗大誤差的方法2判別粗大誤差的準(zhǔn)則3對(duì)數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測(cè)量結(jié)果的一個(gè)重要方法。原因：

①測(cè)量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過(guò)于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測(cè)量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書(shū)或記錄。測(cè)量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。一、粗大誤差產(chǎn)生的原因二、防止與消除粗大誤差的方法利用判別準(zhǔn)則從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)、鑒別、剔除；工作態(tài)度要嚴(yán)謹(jǐn)；保證測(cè)量條件穩(wěn)定；改變測(cè)量條件，比對(duì)測(cè)量。統(tǒng)計(jì)法的基本思想：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過(guò)這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。

（一）準(zhǔn)則最常用、最簡(jiǎn)單，要求n充分大對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：

則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則在n≤10的情形，用準(zhǔn)則剔除粗誤差注定失敗。為此，在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用

準(zhǔn)則。下表是準(zhǔn)則的“棄真”概率，從表中看出

準(zhǔn)則犯“棄真”錯(cuò)誤的概率隨n的增大而減小，最后穩(wěn)定于0.3%。

n

11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則準(zhǔn)則“棄真”概率a例2-18對(duì)某量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，測(cè)得值如下表2-11所列，設(shè)這些測(cè)得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)得值。序號(hào)12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則表2-11第八測(cè)得值的殘余誤差為：

即它含有粗大誤差,故將此測(cè)得值剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算：

剩下的14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差均滿足,故可以認(rèn)為這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則（二）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來(lái)判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則又稱(chēng)t檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其特點(diǎn)是首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則懷疑計(jì)算：

根據(jù)測(cè)量次數(shù)n和選取的顯著度，由表2-12查得t分布的檢驗(yàn)系數(shù)。三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則例2-21試判斷例2-18中是否含有粗大誤差。解：首先懷疑第八組測(cè)得值含有粗大誤差，將其剔除。計(jì)算：

選取顯著度，已知n＝15，查表2-14得：

故第八個(gè)數(shù)含有粗大誤差，應(yīng)剔除。然后對(duì)剩下的14個(gè)測(cè)得值進(jìn)行判別，可知這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則（三）格羅布斯準(zhǔn)則

1950年格羅布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準(zhǔn)則。應(yīng)用：

1974年我國(guó)有人用電子計(jì)算機(jī)做過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)，與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對(duì)樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的效率最高。

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則將按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量，

格拉布斯導(dǎo)出了及的分布，取定顯著度,查表2-13得臨界值

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則例2-19用例2-18測(cè)得值，試判別測(cè)量列中的測(cè)得值是否含有粗大誤差。解：由表2-11計(jì)算得：

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則有粗大誤差,剔除（四）狄克松準(zhǔn)則

1950年狄克松（Dixon）提出另一種粗差判別方法，它是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來(lái)判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。以下介紹一種狄克松雙側(cè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則。

三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則將按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量，

狄克松導(dǎo)出了的分布，取定顯著度,查表2-14得臨界值例2-20同例2-18測(cè)量數(shù)據(jù),判別測(cè)量列中的測(cè)得值是