高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系 市獲獎(jiǎng)

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列命題中：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫作二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系．其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角，所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對(duì)；由定義知④正確．故選B.答案：B2.在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正確．答案：C3.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故選A.答案：A4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為()\f(\r(3),2) \f(\r(2),2)\r(2) \r(3)解析：如右圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，O為BD中點(diǎn)，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設(shè)AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).二、填空題(每小題5分，共15分)5．經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)和平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α垂直的平面有________個(gè)．解析：設(shè)面外的點(diǎn)為A，面內(nèi)的點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)A作面α的垂線l，若點(diǎn)B恰為垂足，則所有過(guò)AB的平面均與α垂直，此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與α垂直；若點(diǎn)B不是垂足，則l與點(diǎn)B確定唯一平面β滿足α⊥β.答案：1或無(wú)數(shù)6．正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值是________．解析：如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為O，連接DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接AE，則E為BC的中點(diǎn)，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO為側(cè)面ABC與底面BCD所成二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.解析：取BC中點(diǎn)M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，∴△AMD為直角三角形，AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a.∴AD＝eq\f(\r(2),2)a×eq\r(2)＝a.答案：a三、解答題(每小題10分，共20分)8.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點(diǎn)，求證：平面EDB⊥平面ABCD.證明：連接AC，交BD于點(diǎn)F，連接EF，∴EF是△SAC的中位數(shù)，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF?平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.9．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，求截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值大?。馕觯喝D的中點(diǎn)O，連接AO，A1O(圖略)．在正方體中，AO⊥BD，A1B＝A1D，∴A1O⊥BD，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，設(shè)AA1＝a，在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).即二面角A1－BD－A的正切值為eq\r(2).10.(2023·蚌埠一中高二期中)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．異面直線BC1與AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°解析：對(duì)于選項(xiàng)A，連接B1D1，BO，交A1C1于E，則四邊形D1OBE為平行四邊形，所以D1O∥BE，因?yàn)镈1O?平面A1BC1，BE?平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，連接B1D，因?yàn)镺為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，所以MO∥B1D，易證B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角，因?yàn)椤鰽1C1B為等邊三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)锽O⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB為二面角M－AC－B的平面角，顯然不等于90°，故不正確．綜上知，選D.答案：D11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)解析：連接AC，則BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)12.(2023·杭州重點(diǎn)中學(xué)高二聯(lián)考)如圖多面體中，正方形ADEF所在的平面與直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD＝AB＝eq\f(1,2)CD＝2，AB∥CD，M為CE的中點(diǎn)．(1)證明：BM∥平面ADEF；(2)證明：平面BCE⊥平面BDE.證明：(1)取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，因?yàn)镸、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN綊eq\f(1,2)CD，由已知AB∥CD，AB＝eq\f(1,2)CD，所以MN綊AB.所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，取CD的中點(diǎn)P，連接BP，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2eq\r(2)，在△BCD中，BD＝BC＝2eq\r(2)，CD＝4，所以BC⊥BD，BD∩ED＝D.所以BC⊥平面BDE，又因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.13．(2023·杭州重點(diǎn)中學(xué)高二聯(lián)考)在圖(1)等邊三角形ABC中，AB＝2，E是線段AB上的點(diǎn)(除點(diǎn)A外)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折起到△PEF(點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，如圖(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求證：EF⊥PC；(2)試問(wèn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，二面角P－EB－C的大小是否為定值？若是，求出這個(gè)二面角的平面角的正切值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)證明：因?yàn)镋F⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因?yàn)镻C?平面PFC，所以EF⊥PC.(2)由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，作PH⊥FC，則PH⊥