旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用

四邊形背景下的動(dòng)態(tài)幾何——旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用圭峰中學(xué)劉文碩1如圖，將△ABC繞形外一點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置：

象這樣，一個(gè)圖形繞著某個(gè)固定點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心），沿著同一個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針），轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度（旋轉(zhuǎn)角），這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)的特征：（1）旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等圖形。因此，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（3）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角。因?yàn)椤螦BC=∠DBE=90°所以∠ABC+∠DBE=180°又因?yàn)辄c(diǎn)C在BE上所以點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)在同一直線上。變式練習(xí)1：

（1）△OAB經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△OA’B’重合，則：①旋轉(zhuǎn)中心是

，旋轉(zhuǎn)的角度是

。（填度數(shù)）②你能找出圖中所有相等的線段和相等的角嗎？（2）如圖，Rt△ABC和Rt△BDE中，點(diǎn)C在BE上，AB=BE，BC=BD，△BDE是由△ABC旋轉(zhuǎn)而得到的，點(diǎn)C在BE上，則圖中旋轉(zhuǎn)中心是

，旋轉(zhuǎn)角等于

度。點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)

同一直線上。（填“在”或不在）為什么？O60°OA=OA′；OB=OB′；AB=A′B′；∠AOB=∠A′OB′；∠A=∠A′；∠B=∠B′；∠AOA′=∠BOB′B90°或270°在證三點(diǎn)共線的方法：若有公共邊的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，則角的另兩邊在同一條直線上。例1、(1)請畫出矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形？

(2)若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C’，連結(jié)AC、AC’、CC’，你認(rèn)為△ACC’是怎樣的三角形？為什么？

(3)若矩形ABCD的長AB=4，寬BC=3，你能求出CC’的長嗎？解（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征，

CA=C′A，∠CAC′=90°∴△ACC′是等腰直角三角形。（3）在Rt△ABC中，AB=4，BC=3∴AC=在Rt△ACC′中，AC′=AC=5∴CC′=二、討論探究，解決問題

例2如圖，在四邊形ABCD中，垂足為E，如果AE=4，求四邊形ABCD的面積。

變式練習(xí)2

如圖，在Rt△ABC中，四邊形DECF是正方形.請回答下列問題：(1)請簡述圖①經(jīng)過怎樣的變換得到圖②？(2)若AD=3，DB=4，則△ADE與△BDF的面積的和為

.

解：（1）把△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到圖②6例3、已知：如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB，將△PAB繞點(diǎn)Ｂ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB

的位置．設(shè)AB=4，PB=3，求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域的面積S。解：PA所掃過的區(qū)域面積為弧AC、弧PP’、PA、P’C所圍成的陰影部分的面積.把△P'AB繞點(diǎn)Ｂ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°返回到△PAB的位置，則：所求的面積S=ADCP'BPP四、課堂小結(jié)你從本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)到了哪些知識？受到了哪些啟發(fā)？布置作業(yè)（第1題）（第2題）（第3題）A組：1、如右圖，△OAB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)72°得到△OEF，那么：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)

，線段OA=

，線段AB=

，（2）∠

=∠

=72°，△OAB

△OEF2、如圖，將△OAB繞點(diǎn)0按逆時(shí)針方面旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)B恰好落在邊上，已知AB=5cm，BB’=1cm，則A’B的長是

cm．3、在右邊畫出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形。B組：1、△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得△AB’C’，連結(jié)BB’，則△ABB’是

三角形.2、等腰△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACD的位置，已知：∠BAD=80°，則旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)

，旋轉(zhuǎn)角度=

°∠ACD=

°3、如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ACP′重合，若AP=1，那么線段PP′的長等于

。4、如圖，五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，則這個(gè)五邊形ABCDE的面積等于

。（第2題）（第1題）（第3題）（第4題）C組：

1、如圖是某汽車的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm、∠DBA=20°，AC=115cm，AD=35cm．他經(jīng)過認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果，你知道小明是怎樣計(jì)算的嗎？也請你算一算雨刷CD掃過的面積為多少cm2

。

C組：2、（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE

和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間