高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)9

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(九)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．(2023·浙江高考改編)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的序號(hào)是__________．(1)若m⊥n，n∥α，則m⊥α；(2)若m∥β，β⊥α，則m⊥α；(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α；(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α.【解析】(1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤．【答案】(3)2．如圖1-2-98，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1-BD-C的大小為_(kāi)_______．圖1-2-98【解析】如圖，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OC1，∵AB＝AD＝2eq\r(3)，∴CO⊥BD，CO＝eq\r(6).∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC為二面角C1-BD-C的平面角，∴tan∠C1OC＝eq\f(C1C,OC)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°.【答案】30°3．下列四個(gè)命題：①過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；②過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；③如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行；④如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)．其中真命題的序號(hào)是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60420233】【解析】根據(jù)空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，故①正確；過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與該平面平行，故②不正確；根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知③正確；根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)知④正確．從而正確的命題有①③④.【答案】①③④4．如圖1-2-99所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為_(kāi)_______．圖1-2-99【解析】∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B-PA-C的大小為90°.【答案】90°5．已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則二面角D-BC-A的大小為_(kāi)_______．【解析】如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90°.【答案】90°6．如圖1-2-100所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)∠B′AC＝60°，那么這個(gè)二面角大小是________．圖1-2-100【解析】連結(jié)B′C，則△AB′C為等邊三角形，設(shè)AD＝a，則B′C＝AC＝eq\r(2)a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.【答案】90°7．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個(gè)四棱錐的五個(gè)面中兩兩垂直的共有________對(duì)．【解析】因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對(duì)．【答案】58．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)镻C⊥α，AB?α，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.設(shè)AB與平面PCD的交點(diǎn)為H，連結(jié)CH，DH.因?yàn)锳B⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝eq\r(2)，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四邊形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.【答案】垂直二、解答題9.如圖1-2-101，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.圖1-2-101求證：平面PBD⊥平面PAC.【證明】∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD?平面PBD，平面PBD⊥平面PAC.10．如圖1-2-102，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C圖1-2-102(1)求證：平面MNF⊥平面NEF；(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值．【解】(1)證明：連結(jié)MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點(diǎn)，∴NF⊥平面A1B1C1D1而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點(diǎn)，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形，∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)在平面NEF中，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連結(jié)MG.由(1)得知MN⊥平面NEF.又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為二面角M-EF-N的平面角．設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為2.在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(\r(2)×2,\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2).[能力提升]1．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出下列四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________.【解析】由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.【答案】①③④?②(或②③④?①)2．如圖1-2-103，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC.底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面B1DF.【圖1-2-103【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，設(shè)AF＝x，則CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝【答案】a或23．如果一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面三角形的________心．【解析】三側(cè)面兩兩垂直，則三條側(cè)棱也兩兩垂直，∴PC⊥平面PAB，∴AB⊥PC，作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，則AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC，同理，OB⊥AC，∴O為△ABC的垂心．【答案】垂4．如圖1-2-104，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.圖1-2-104(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．【證明】(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，連結(jié)PG.∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG?平面PGB，BG?平面PGB