山西省大同市招柏中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

山西省大同市招柏中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合，且，則集合可能是

A．

B．

C．

D．

參考答案：A因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以答案選A.2.若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，例如．如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》．執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于(

)．A.20 B.21 C.22 D.23參考答案：C試題分析：由已知中的程序框圖得：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算出并輸出同時(shí)滿足條件：①被3除余1，②被5除余2，最小為兩位數(shù)，所輸出的，故選C.考點(diǎn)：程序框圖.【名師點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬中檔題；識(shí)別運(yùn)行算法流程圖和完善流程圖是高考的熱點(diǎn).解答這一類問題，第一，要明確流程圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要識(shí)別運(yùn)行流程圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題；第三，按照題目的要求完成解答.對(duì)流程圖的考查常與數(shù)列和函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化框圖問題的實(shí)際背景.3.已知橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線與橢圓交于B,C兩點(diǎn),若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知函數(shù)f（x）=x2+cosx，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f′（x）的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函數(shù)的定義得函數(shù)f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD，又當(dāng)x=時(shí)，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A適合，故選：A．5.若，例如則的奇偶性為

（

）A．偶函數(shù)不是奇函數(shù)；

B．奇函數(shù)不是偶函數(shù)；C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

D．非奇非偶函數(shù)；參考答案：A6.已知，則P∩Q=（

）A．[0,1) B．[0,2) C．(1,2] D．(1,2)參考答案：D，，故，選D.

7.若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（

）A．

B． C．

D．參考答案：B略8.在△ABC中，則△的面積為()A．

B．

C．

D.參考答案：C略9.已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，則的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃；簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的計(jì)算公式可得=，可以令t=，將m+n∈[1，2]的關(guān)系在直角坐標(biāo)系表示出來，分析可得t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，進(jìn)而可得t的取值范圍，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），則==，令t=，則=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐標(biāo)系表示如圖，t=表示區(qū)域中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及向量的模的計(jì)算，關(guān)鍵是求出的表達(dá)式．10.函數(shù)y=f（2x﹣1）的定義域?yàn)閇0，1]，則y=f（x）的定義域?yàn)?

)A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的定義域．【解答】解：∵函數(shù)y=f（2x﹣1）的定義域?yàn)閇0，1]，∴0≤x≤1，則0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，利用復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的定義域．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足若取得最大值時(shí)的最優(yōu)解（x,y）有無數(shù)個(gè)，則的值為________參考答案：112.已知函數(shù)的定義域和值域都是，則實(shí)數(shù)a的值是

▲___參考答案：213.已知雙曲線，A1、A2是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，且直線PA1的斜率是，則直線PA2的斜率為______.參考答案：2【分析】設(shè)P（x0，y0），則，，由A1（﹣1，0），A2（1，0），知k1k2，由此能求出直線PA2的斜率．【詳解】設(shè)P（x0，y0），則，∴，∵A1（﹣1，0），A2（1，0），設(shè)直線PA1斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，∴k1k2，∵k1，∴k2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的斜率之積的求法，考查曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線方程的關(guān)系，考查了分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．14.計(jì)算定積分___________。參考答案：15.已知復(fù)數(shù)，，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)=

.參考答案：16.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是

．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】計(jì)算題．【分析】先將極坐標(biāo)方程化為一般方程，然后再計(jì)算點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離．【解答】解：∵在極坐標(biāo)系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圓心的直角坐標(biāo)是（1，0），半徑長為1．∴點(diǎn)在一般方程坐標(biāo)為（1，），∴點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是d==，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．17.曲線與所圍成的圖形的面積是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知等比數(shù)列的等差中項(xiàng).（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若.參考答案：略19.已知函數(shù)的最大值為2.(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)△ABC中,,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且C=60?，c=3，求△ABC的面積。參考答案：(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理；余弦定理．C5C8解析：（1）由題意，的最大值為，所以．而，于是，．為遞減函數(shù)，則滿足，即．所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．……………….5分（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為，由題意，得．化簡，得．由正弦定理，得，．

①…….8分由余弦定理，得，即．②……………….10分將①式代入②，得．解得，或（舍去）．．……………….12分【思路點(diǎn)撥】（1）將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進(jìn)而確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）確定的f（x）解析式化簡f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化簡，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，將①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．20.在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）之間的直角距離為L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，點(diǎn)A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】（1）根據(jù)定義寫出L（A，B），L（A，C）的表達(dá)式，最后通過解不等式求出x的取值范圍；（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，運(yùn)用分離變量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去絕對(duì)值的方法或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得右邊的最大值為4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定義得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，兩邊平方得8x＞24，解得x＞3，（2）當(dāng)x∈R時(shí)，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故tmin=4．法二：運(yùn)用絕對(duì)值不等式性質(zhì)．因?yàn)閨x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．故t的最小值為：4．21.（本小題滿分13分）[來#源:中教%&*網(wǎng)~]某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為２,２,１（單位：件）.已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.該企業(yè)計(jì)劃安排２００名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)Ｂ部件的人數(shù)與生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.（１）設(shè)生產(chǎn)Ａ部件的人數(shù)為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；（２）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為由題設(shè)有

期中均為1到200之間的正整數(shù).（Ⅱ）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為其定義域?yàn)橐字?，為減函數(shù)，為增函數(shù).注意到于是（1）當(dāng)時(shí)，

此時(shí)

，由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于.故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為.（2）當(dāng)時(shí)，

由于為正整數(shù)，故，此時(shí)易知為增函數(shù)，則.由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.由于此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.（3）當(dāng)時(shí)，

由于為正整數(shù)，故，此時(shí)由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于.綜上所述，當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.【點(diǎn)評(píng)】本題為函數(shù)的應(yīng)用題，考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值等，考查運(yùn)算能力及用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力.第一問建立函數(shù)模型；第二問利用單調(diào)性與最值來解決，體現(xiàn)分類討論思想.22.如圖，，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l上的射影為B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：

（Ⅰ）直線AB分別與平面所成角的大??；

（Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小.

參考答案：解法一：（I）如圖，連接A1B，AB1.∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA-1⊥，BB1⊥a.則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與和所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=

∴∠BAB1=45°Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，∴sin∠ABA1=

∴∠ABA1=30°.故AB與平面，，所成的角分別是45°，30°.

（II）∵BB1⊥，

∴平面ABB1⊥.在平面內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E，則A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=

∴在Rt△A1EF中，sin