山西省太原市三十二中學2021年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

山西省太原市三十二中學2021年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線a和平面，那么a//的一個充分條件是

A．存在一條直線b，a//b且b

B．存在一條直線b，ab且b

C．存在一個平面，a∥且//

D．存在一個平面，//且//參考答案：2.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則參考答案：B試題分析：由線面角定義及可得,容易驗證其它答案都是錯誤的,故應選B.考點：空間直線與平面的位置關系及運用.3.若sin=，則cosα=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：C【考點】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化簡即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故選C【點評】本題考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解決問題的關鍵，屬基礎題．4.設，則

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知，，，則三者的大小關系是（

）.A、

B、

C、

D、參考答案：A6.已知直線平面，直線平面，有下面四個命題:①

②

③

④其中正確的兩個命題是:

(

)A．①與②

B．③與④

C．②與④

D．①與③參考答案：答案：D

7.若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2+=1的離心率為（）

A．

B．

C．或

D．或參考答案：D8.若在直線上存在不同的三個點，使得關于實數(shù)的方程有解（點不在上），則此方程的解集為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.設集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，則集合P的非空子集個數(shù)是(

) A．2 B．3 C．7 D．8參考答案：B考點：定積分的簡單應用；子集與真子集．專題：計算題．分析：先根據(jù)定積分求出集合P，根據(jù)集合子集的公式2n（其中n為集合的元素），求出集合A的子集個數(shù)，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的個數(shù)．解答： 解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因為集合A中有2個元素，所以集合A子集有22=4個，則集合A的非空子集的個數(shù)是4﹣1=3．故選B．點評：此題考查學生掌握子集與真子集的定義，會利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基礎題．10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為，則輸出的的值為A．3

B．126

C．127

D．128參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC，其中底面是邊長為2的等邊三角形△ABC，側面PAC⊥底面ABC，高為2．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC，其中底面是邊長為2的等邊三角形△ABC，側面PAC⊥底面ABC，高為2．∴這個幾何體的體積V==．故答案為：．【點評】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．12.某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為220元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示：銷售單價（元）6789101112日均銷售量（桶）480440400360320280240

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，這個經營部要使利潤最大，銷售單價應定為

元。參考答案：13.已知函數(shù)的導數(shù)為，則

.參考答案：14.方程在區(qū)間上的所有解的和等于

。

參考答案：

15.過動點P作圓：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切線PQ，其中Q為切點，若|PQ|=|PO|（O為坐標原點），則|PQ|的最小值是．參考答案：【考點】J3：軌跡方程；J7：圓的切線方程．【分析】根據(jù)題意，設P的坐標為（m，n），圓（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心為N，由圓的切線的性質可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，結合題意可得|PN|2=|PO|2+1，代入點的坐標可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，變形可得：6m+8n=24，可得P的軌跡，分析可得|PQ|的最小值即點O到直線6x+8y=24的距離，由點到直線的距離公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設P的坐標為（m，n），圓（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心為N，則N（3，4）PQ為圓（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切線，則有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，則有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，變形可得：6m+8n=24，即P在直線6x+8y=24上，則|PQ|的最小值即點O到直線6x+8y=24的距離，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案為：．16.書架上有本不同的數(shù)學書，本不同的語文書，本不同的英語書，將它們任意地排成一排，則左邊本都是數(shù)學書的概率為________（結果用分數(shù)表示）．參考答案：17.在用二分法求方程的一個近似解時,現(xiàn)在已經將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內,則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）（1）當a=1時，求函數(shù)y=在點（1，0）處的切線方程；（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x﹣1）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）當a=1時，求導數(shù)，求出切線的斜率，即可求函數(shù)y=在點（1，0）處的切線方程；（2）設函數(shù)G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0，分類討論，即可，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當a=1時，函數(shù)y==，∴y′=，∴x=1時，y′=1，∴函數(shù)y=在點（1，0）處的切線方程為y=x﹣1；（2）設函數(shù)G（x）=a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）=0．G′（x）=①當a≤0時，有G（2）=2a﹣ln2＜0，不成立，②當a＜0時，（i）a≥1時，G′（x）=，當x≥1時，G′（x）≥0所以G（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)，所以G（x）≥G（1）=0（ii）0＜a＜1時，設h（x）=2ax2﹣ax﹣1，h（1）=a﹣1＜0，所以存在x0，使得x∈（1，0）時，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立綜上所述a≥1．19.已知函數(shù)f（x）=x﹣aex+b（a＞0，b∈R）．（1）求f（x）的最大值；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1+x2＜﹣2lna．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；（2）求出a，問題轉化為證＜﹣2+，不妨設x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，則需證t2＜e﹣t﹣2+et，設g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣aex＞0，解得：x＜ln，∴f（x）在（﹣∞，ln）上單增，在（ln，+∞）上單減，∴f（x）max=f（ln）=ln﹣1+b；（2）證明：由題知，兩式相減得x1﹣x2=a（﹣）即a=，故要證x1+x2＜﹣2lna只需證x1+x2＜﹣2ln，即證＜，即證＜﹣2+，不妨設x1＜x2，令x2﹣x1=t＞0，則需證t2＜e﹣t﹣2+et，設g（t）=t2﹣e﹣t+2﹣et，則g′（t）=2t+e﹣t﹣et，設h（t）=2t+e﹣t﹣et，則h′（t）=2﹣e﹣t﹣et＜0，故h（t）在（0，+∞）上單減，∴h（t）＜h（0）=0即g′（t）＜0，∴g（t）在（0，+∞）上單減，∴g（t）＜g（0）=0，故原不等式得證．20.記無窮數(shù)列{an}的前項中最大值為，最小值為，令，.（1）若，請寫出的值；（2）求證：“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”是“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”的充要條件；（3）若對任意n，有，且，請問：是否存在，使得對于任意不小于K的正整數(shù)n，有成立？請說明理由.參考答案：（1）5；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析.【分析】（1）計算得到，代入計算得到答案.（2）分別證明充分性和必要性得到答案.（3）反證法，假設不成立，則或得到，，通過累加得到，與題設矛盾，得證.【詳解】（1）（1），則，（2）數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為則，為定值，故數(shù)列是等差數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，則和，和至少一組相等，不妨設只有則故故，為等差數(shù)列同理可得只有和都相等的情況，故數(shù)列是等差數(shù)列綜上所述：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件（3）存在假設不存在，則或，對任意，一定存在使得符號相反.所以數(shù)列中存在，其中且；因為，即注意到：，有且僅有一個等號成立.所以必有所以，所以因為，所以，所以；；…累加可得；故這與矛盾，假設不成立故存在，使得對于任意不小于的正整數(shù)，有成立【點睛】本題考查了數(shù)列的項，充分必要條件，反證法，綜合性強，計算量大，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.21.為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關,現(xiàn)對30名六年級學生進行了問卷調查得到如下列聯(lián)表:平均每天喝500ml以上為常喝，體重超過50kg為肥胖。

常喝不常喝合計肥胖

2

不肥胖

18

合計

30已知在全部30人中隨機抽取1人,抽到肥胖的學生的概率為。（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整（2）是否有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關？說明你的理由（3）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且肥胖的學生中（2名女生），抽取2人參加電視節(jié)目，則正好抽到一男一女的概率是多少？

參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其中)參考答案：【知識點】獨立性檢驗的應用．I4【答案解析】（1）見解析（2）有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關。（3）解析：（1）設常喝碳酸飲料肥胖的學生有x人，

常喝不常喝合計肥胖628不胖41822合計102030-------------

3分（2）由已知數(shù)據(jù)可求得：

因此有99.5％的把握認為肥胖與常喝碳酸飲料有關。-------------7分（3）設常喝碳酸飲料的肥胖者男生為A、B、C、D，女生為E、F，則任取兩人有

AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種。其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF。故抽出一男一女的概率是----12分【思路點撥】（1）根據(jù)全部50人中隨機抽取1人看營養(yǎng)說明的學生的概率為，做出