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文檔簡介
山西省忻州市原平立達中學2021年高一數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.
(
)
A.
B.
C.
D. 參考答案:C略2.若且,則的終邊在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限參考答案:C3.已知平面向量,,且,則的值是(
)A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:B因為平面向量滿足,且,則有,故選B.
4.已知數(shù)列滿足,則=(
)
A、
B、0
C、
D、參考答案:A略5.7在△ABC中,若,則△ABC的形狀是(
)A.直角三角形
B.等腰直角三角形C.等邊三角形
D.等腰三角形
參考答案:D略6.設(shè)m是直線,是兩個不同的平面,則下列說法正確的是(
)A.若,則
B.若,則C.若,則
D.若,則參考答案:B在中,,則與相交或平行,故錯誤;在中,,則由面面垂直的判定定理得,故正確;在中,,則與相交,平行或,故錯誤;在中,,則或,故錯誤,故選B.
7.已知向量=(3,2),=(x,4)且∥,則x的值是(
)A.﹣6B.6C.D.﹣參考答案:B考點:平面向量共線(平行)的坐標表示.專題:計算題.分析:由向量平行的條件可得2x﹣3×4=0,解之即可.解答: 解:因為=(3,2),=(x,4)且∥,所以2x﹣3×4=0,解之可得x=6故選B點評:本題考查平面向量共線的坐標表示,屬基礎(chǔ)題.8.(5分)f(x)=,若f(a2﹣4a)+f(3)>4,則a的取值范圍是() A. (1,3) B. (0,2) C. (﹣∞,0)∪(2,+∞) D. (﹣∞,1)∪(3,+∞)參考答案:D考點: 二次函數(shù)的性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.分析: 結(jié)合已知中f(x)=,可將不等式f(a2﹣4a)+f(3)>4化為a2﹣4a>﹣3,解得a的取值范圍.解答: 解:∵f(x)=,∴f(3)=17,若f(a2﹣4a)+f(3)>4,則f(a2﹣4a)>﹣13…①,當x≥0時,f(x)=x2+2x+2為增函數(shù),此時f(x)≥2恒成立,當x<0時,f(x)=﹣x2+2x+2為增函數(shù),令﹣x2+2x+2=﹣13,解得x=﹣3,或x=5(舍去),由①得:a2﹣4a>﹣3,即a2﹣4a+3>0,解得:a∈(﹣∞,1)∪(3,+∞),故選:D點評: 本題考查的知識點是分段函數(shù),二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解不等式,其中將不等式f(a2﹣4a)+f(3)>4化為a2﹣4a>﹣3,是解答的關(guān)鍵.9.當點P在圓上變動時,它與定點Q(3,0)相連,線段PQ的中點M的軌跡方程是A. B.C. D.參考答案:B【分析】設(shè),,利用中點坐標公式可以求出,代入圓方程中,可以求出中點M的軌跡方程.【詳解】設(shè),,因為M是線段PQ中點,所以有,點P在圓上,所以有,故本題選B.【點睛】本題考查了求線段中點的軌跡方程,考查了中點坐標公式、代入思想.10.滿足{x|x2-3x+2=0}M{x∈N|0<x<6}的集合M的個數(shù)為(
)
A、2
B、4
C、6
D、8參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.8251與6105的最大公約數(shù)是
。
參考答案:37略12.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,已知,則
。參考答案:49
略13.設(shè)定義在R上的函數(shù),若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)解,則_____________.參考答案:200略14.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東30°的方向,兩船相距a海里,乙船正在向東勻速行駛,經(jīng)計算得知當甲船以北偏東75°方向前進,可追上乙船,則甲船速度是乙船速度的________倍.參考答案:【分析】先設(shè)出追上時,乙船走了海里,甲船走了海里,由正弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)追上時,乙船走了海里,甲船走了海里,根據(jù)正弦定理,,解得,故甲船速度是乙船速度的倍.【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,在解三角形中,正余弦定理是最常用到的知識,屬于基礎(chǔ)題型.15.等腰的頂角,,以為圓心,1為半徑作圓,為該圓的一條直徑,則的最大值為
.參考答案:16.已知角為鈍角,若角的終邊與角的終邊重合,則角=
.參考答案:17.函數(shù)f(x)=log2(1﹣x)的定義域為.參考答案:{x|x<1}【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域.【專題】計算題.【分析】要使函數(shù)f(x)=log2(1﹣x)有意義,只需對數(shù)的真數(shù)大于0,建立不等式解之即可,注意定義域的表示形式.【解答】解:要使函數(shù)f(x)=log2(1﹣x)有意義則1﹣x>0即x<1∴函數(shù)f(x)=log2(1﹣x)的定義域為{x|x<1}故答案為:{x|x<1}【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域,以及一元一次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是,若將y=f(x)的圖象向右平移個單位,所得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)增區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)y的最小值φ(m).參考答案:【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式;函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【專題】分類討論;換元法;轉(zhuǎn)化法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】(1)先求出ω=2,由所得函數(shù)g(x)為奇函數(shù),可求得φ的值,從而確定f(x)的解析式;從而求得f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)利用換元法,將函數(shù)最化為一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行討論即可.【解答】解:(1)由題意函數(shù)f(x)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是,可得函數(shù)的周期為π,即=π,ω=2,故函數(shù)為f(x)=sin(2x+φ).將函數(shù)f(x)圖象向右平移個單位,得到函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=sin[2(x﹣)+φ]=sin(2x﹣+φ),∵函數(shù)g(x)為奇函數(shù).∴﹣+φ=kπ,φ=kπ+,k∈Z.不妨令k=0,則φ取值為.故有f(x)=sin(ωx+φ)=sin(2x+).∵函數(shù)y=sin(2x+),∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ
k∈Z,即kπ﹣≤x≤+kπ(k∈Z),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:[kπ﹣,+kπ],k∈Z.(2)∵x∈[0,],∴2x∈[0,π],0≤sin2x≤1,由(1)得g(x)=sin2x,且,設(shè)t=g(x),則0≤t≤1,則函數(shù)等價為y=3t2+mt+2,0≤t≤1,對稱軸為t=﹣,若0<﹣<1,得﹣6<m<0,則當t=﹣時,y取最小值φ(m)=2﹣,若﹣≤0,得m≥0,則當t=0時,y取最小值φ(m)=2,若﹣≥1,得m≤﹣6,則當t=1時,y取最小值φ(m)=5+m,即φ(m)=.【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次函數(shù)的最值問題,利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.19.已知函數(shù).(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1)當時,,要使函數(shù)有意義需:,即,解得:或,所以函數(shù)定義域為或,設(shè)函數(shù),函數(shù)開口向上,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為為單調(diào)遞減函數(shù),所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述,結(jié)論是:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為。(2)由題意可知:且,設(shè),函數(shù)對稱軸為:,函數(shù)開口向上,當時,因為為關(guān)于變量的遞增函數(shù),所以要使函數(shù)在上是增函數(shù),需要:且在上恒成立,由可得:,由在上恒成立可得:,即時在上恒成立,即,當時,因為為關(guān)于變量的遞減函數(shù),所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增,需要且在上恒成立,由可得:,由在上恒成立可得:即時在上恒成立,不存在綜上所述,結(jié)論是:20.某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.(1)當每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?(2)當每輛車的月租金定為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?參考答案:(1)當每輛車的月租金定為3600元時,未租出的車輛數(shù)為:=12,所以這時租出了88輛車(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元,則租賃公司的月收益為:f(x)=(100-)(x-150)-×50,整理得f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050所以,當x=4050時,f(x)最大,其最大值為f(4050)=307050.即當每輛車月租金定為4050元時,租賃公司月收益最大,最大收益為307050元.……12分略21.設(shè)a為正實數(shù),記函數(shù)f(x)=a﹣﹣的最大值為g(a). (1)設(shè)t=+,試把f(x)表示為t的函數(shù)m(t); (2)求g(a); (3)問是否存在大于的正實數(shù)a滿足g(a)=g()?若存在,求出所有滿足條件的a值;若不存在,說明理由. 參考答案:【考點】函數(shù)與方程的綜合運用;函數(shù)最值的應(yīng)用. 【專題】綜合題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 【分析】(1)由t=+平方得=t2﹣1,從而將函數(shù)f(x)換元為m(t),而m(t)的定義域即t=+的值域,平方后求其值域即可; (2)由(1)知,通過討論對稱軸的位置可得最大值關(guān)于a的函數(shù)g(a); (3)假設(shè)存在大于的正實數(shù)a滿足g(a)=g(),分類討論,即可得出結(jié)論. 【解答】解:(1)由題意得,∴﹣1≤x≤1,∴函數(shù)f(x)的定義域為[﹣1,1]. t=+,由x∈[﹣1,1]得,t2∈[2,4],所以t的取值范圍是[,2]. 又=t2﹣1,∴m(t)=at2﹣t﹣a,t∈[,2]; (2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)=at2﹣t﹣a,t∈[,2]的最大值. 注意到直線t=是拋物線m(t)=at2﹣t﹣a的對稱軸,分以下幾種情況討論: ①≤,即a≥知m(t)=at2﹣t﹣a在[,2]上單調(diào)遞增,∴g(a)=m(2)=a﹣2. ②當<<2時,<a<,g(a)=m()=﹣﹣a. ③當≥2,即0<a≤時,g(a)=m()=﹣ ∴g(a)=; (3)由(2)可得g()=. 假設(shè)存在大于的正實數(shù)a滿足g(a)=g(),則 <a<2時,a﹣2=﹣﹣,方程無解; a≥2時,a﹣2=﹣,a=2﹣<2,不
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