山西省忻州市樓板寨鄉(xiāng)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

山西省忻州市樓板寨鄉(xiāng)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則an＋1－an=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知定義域?yàn)樯系暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，如果，且，則的值

A．可能為0

B．恒大于0

C．恒小于0

D．可正可負(fù)參考答案：C略3.向量=（2，3），⊥，||=，則等于（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)向量=（x，y），根據(jù)平面向量垂直的定義和模長(zhǎng)公式，列出方程組求出解即可．【解答】解：設(shè)向量=（x，y），∵=（2，3），⊥，||=，∴，解得或；∴=（﹣3，2）或（3，﹣2）．故選：D．4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：D略5.若直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°（其中O為原點(diǎn)），則k的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：A解析：如圖，直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），6.在R上定義運(yùn)算，若成立，則x的取值范圍是（

）

A．（-4,1） B．（-1,4）

C．

D．參考答案：A7.設(shè)上以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線傾斜角為（

）A．a(chǎn)rctan2 B．π-arctan2 C．450 D．1350參考答案：D8.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab=(

)A.

1B.

2C.3D.5參考答案：A9.若角α的終邊過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），則cos（π﹣2α）的值為(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：∵角α的終邊過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），∴cosα=，則cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（2cos2α﹣1）=1﹣2cos2α=1﹣=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線共有(

)A．4條

B．3條C．2條

D．1條參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.14．在空間給出下列五個(gè)命題：①如果兩條直線、分別平行于直線，則∥；②如果直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則∥；③如果直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則⊥；④如果平面內(nèi)的兩條直線都平行于平面，則∥；⑤如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則⊥

其中是真命題的是_____________（將所有真命題的序號(hào)填上）參考答案：答案:（1）（5）

解析:（考查空間線面之間的平行垂直關(guān)系）解：只有（1）（5）是真命題12.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截的弦長(zhǎng)為_(kāi)________參考答案：略13.設(shè)函數(shù)，，其中，為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)（2,0）處有相同的切線l。（1）求的值，并寫(xiě)出切線l的方程；（2）若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、、，其中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ） 由于曲線在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線， 故有由此得 所以，切線的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以 依題意，方程有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)， 故是方程的兩相異的實(shí)根。 所以 又對(duì)任意的成立， 特別地，取時(shí)，成立，得 由韋達(dá)定理，可得 對(duì)任意的 則 所以函數(shù)的最大值為0。 于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立， 綜上，的取值范圍是

略14.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于______.參考答案：

略15.

有下列命題：①函數(shù)y=f(-x+2)與y=f(x-2)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②若函數(shù)f（x）＝，則，都有；③若函數(shù)f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則f（－2）>f（a＋1）；④若函數(shù)(x∈)，則函數(shù)f(x)的最小值為.其中真命題的序號(hào)是

.參考答案：②④16.函數(shù)，若互不相同，且，則的取值范圍是___________;參考答案：（32，35）17.從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)虛根的概率是

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n項(xiàng)和是Sn．（Ⅰ）若{an}是遞增數(shù)列，求a1的取值范圍；（Ⅱ）若a1＞2，且對(duì)任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），證明：Sn＜2n+1．參考答案：【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和．【分析】（I）由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2．可得：1＜a1＜2．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)1＜a1＜2時(shí)，?n∈N*，1＜an＜2成立即可．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，滿足{an}是遞增數(shù)列，即可得出a1的取值范圍．（II）a1＞2，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＞2對(duì)?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下證：（1）當(dāng)時(shí)，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．累加求和即可證明．再證明：（2）時(shí)不合題意．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，設(shè)an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是數(shù)列{bn}的前n和Tn≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，令a1=+t（t＞0），可得：Sn＜na1﹣．這與Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)1＜a1＜2時(shí)，?n∈N*，1＜an＜2成立．（1）當(dāng)n=1時(shí)，1＜a1＜2成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N*時(shí)，1＜an＜2成立．則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=ak+﹣1∈?（1，2），即n=k+1時(shí)，不等式成立．綜上（1）（2）可得：?n∈N*，1＜an＜2成立．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，∴{an}是遞增數(shù)列，a1的取值范圍是（1，2）．（II）證明：∵a1＞2，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＞2對(duì)?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下證：（1）當(dāng)時(shí)，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再證明：（2）時(shí)不合題意．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，設(shè)an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是數(shù)列{bn}的前n和Tn≤＜3b1≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：Sn＜na1﹣．這與Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴時(shí)不合題意．綜上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn≤＜b1＜1，∴Sn=2n+Tn＜2n+1．19.已知函數(shù)，.

（1）求的極值；（2）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間（2,3）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的,恒成立，求的最小值.參考答案：

略20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足，an+1+an＝4n－3(n∈N*)．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；（2）當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；參考答案：解:（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an＝a1+(n－1)d，an+1＝a1+nd．由an+1+an＝4n－3，得(a1+nd)+[a1+(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝4－3，解得，d＝2，a1＝－．………….4分（2）由an+1+an＝4n－3，得an+2+an+1＝4n+1(n∈N*)．兩式相減，得an+2－an＝4．所以數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為a1，公差為4的等差數(shù)列[，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2，公差為4的等差數(shù)列，由a2+a1＝1，a1＝2，得a2＝－1．所以an＝

………8分①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則an＝2n，an+1＝2n－3．所以Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-2+an-1)+an

＝1+9+…+(4n－11)+2n＝．…………10分②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)＝1+9+…+(4n－7)＝．所以Sn＝………..12分21.（本小題滿分13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的綜合應(yīng)用解析：（Ⅰ）由題意知，，則，，

所以．所以橢圓的方程為．

………4分

（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，

由題意知；

……………5分

②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，

且設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為．

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，所以．

……………8分同理，．

…………9分

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

……11分∴綜