選修 獨(dú)立性檢驗(yàn)

§2獨(dú)立性檢驗(yàn)1.掌握利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，會(huì)用2×2列聯(lián)表解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）

2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及實(shí)施步驟.（重點(diǎn)）3.掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的簡單應(yīng)用．（難點(diǎn)）獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。探究點(diǎn)1獨(dú)立性檢驗(yàn)為了調(diào)查吸煙與患肺癌是否有聯(lián)系，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了6578人，得到表中的數(shù)據(jù)（單位：人）患肺癌不患肺癌吸煙561932不吸煙2345672×2列聯(lián)表這一問題稱為2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn).患肺癌情況吸煙情況思考：如何根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來判斷吸煙與患肺癌是否有聯(lián)系？

為了討論的方便，我們引入以下記號：變量A：A1=吸煙，變量B：B1=患肺癌，計(jì)算得如下表格：患肺癌B1未患肺癌B2總計(jì)吸煙吸煙A22345674590總計(jì)7964996578我們假設(shè)吸煙與患肺癌是獨(dú)立的，即吸煙不影響患肺癌.根據(jù)直觀的經(jīng)驗(yàn)，我們把吸煙人群中患肺癌的人所占百分比，與不吸煙人群中患肺癌的人所占百分比作比較.如果吸煙不影響患肺癌，就意味著，無論吸煙與否，患肺癌的人所占的百分比應(yīng)該是基本一樣的，就此題而言：患肺癌情況吸煙情況通過表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算可得吸煙人群中患肺癌的人所占百分比是：不吸煙人群中患肺癌的人所占百分比是：另一方面，如果吸煙與患肺癌是獨(dú)立的，那么有都成立，由上表數(shù)據(jù)可得：患肺癌情況吸煙情況既吸煙又患肺癌的人頻率為：，吸煙的人頻率為：，患肺癌的人頻率為：.顯然，兩邊相差很大，可以估計(jì)結(jié)論：患肺癌與吸煙有關(guān).設(shè)A,B為兩個(gè)變量，每個(gè)變量都可取兩個(gè)值，變量A：變量B：，=；

，=

.【概括總結(jié)】BAB1B2總計(jì)A1ab____A2cdc+d總計(jì)a+c____n=________

a+ba+b+c+db+d設(shè)

，用估計(jì)，估計(jì)，估計(jì).

若有式子，則可認(rèn)為與獨(dú)立.同理，若則可認(rèn)為A1與B2獨(dú)立；若則可認(rèn)為A2與B1獨(dú)立；若則可認(rèn)為A2與B2獨(dú)立.在中，由于，，表示的是頻率，不同于概率，即使變量之間獨(dú)立,式子兩邊也不一定恰好相等，但是當(dāng)兩邊相差很大時(shí)，變量之間就不獨(dú)立.

考察棉花種子經(jīng)過處理跟棉花生病之間的關(guān)系，得到數(shù)據(jù)如下：則判斷種子處理與得病之間的獨(dú)立性.【練一練】種子處理情況得病情況解：由題意可知a=32，b=101，c=61，d=213，從而可得，所以種子處理與得病之間是獨(dú)立的.在上面吸煙是否對患肺癌有影響的問題中探究點(diǎn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想當(dāng)上面的值較大時(shí)，變量A,B不獨(dú)立.思考

：當(dāng)這些量多大時(shí)才能說明變量間不獨(dú)立呢？我們能不能選擇一個(gè)量，用它的大小來檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家選取以下統(tǒng)計(jì)量，用它的大小來檢驗(yàn)變量之間是否獨(dú)立：當(dāng)較大時(shí)，說明變量之間不獨(dú)立.當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷.1.如果≤2.706,沒有充分的證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；3.如果>3.841，有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);2.如果>2.706，有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);4.如果>6.635，有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).患肺癌B1未患肺癌B2總計(jì)吸煙吸煙A22345674590總計(jì)7964996578對于吸煙和患肺癌的問題所以有99%以上的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌是有關(guān)的.患肺癌情況吸煙情況參加體育鍛煉情況

性別喜歡參加體育鍛煉不喜歡參加體育鍛煉男19748女135120為了了解高中生是否喜歡參加體育鍛煉與性別之間的關(guān)系，調(diào)查者隨機(jī)調(diào)查了500名高中生的情況，調(diào)查結(jié)果如下（單位：人）：試問：高中生是否喜歡參加體育鍛煉與性別之間有關(guān)系嗎？【變式練習(xí)】解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得a=197,b=48,c=135,d=120所以有99%以上的把握認(rèn)為高中生是否喜歡參加體育鍛煉與性別之間是有關(guān)的.例2.容易生氣的人更有可能患心臟病嗎？某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了2796人，下表給出了調(diào)查的結(jié)果（單位：人）：患心臟病未患心臟病易怒27606不易怒532110試問：容易生氣的人是否更有可能患心臟??？患心臟病情況是否易怒解：根據(jù)題中的數(shù)據(jù)計(jì)算得下表（單位：人）：患心臟病未患心臟病總計(jì)易怒27606633不易怒5321102163總計(jì)8027162796所以有95%以上的把握認(rèn)為患心臟病與易怒有關(guān).患心臟病情況是否易怒眼睛虹膜顏色頭發(fā)顏色藍(lán)色棕色紅∕金黃色15612黑色2024例3.生物學(xué)上對于人類頭發(fā)的顏色與眼睛虹膜的顏色是否有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研，以下是一次調(diào)查結(jié)果，調(diào)查人數(shù)共212人，調(diào)查記錄如表（單位：人）：試問：頭發(fā)的顏色與眼睛虹膜的顏色有關(guān)嗎？解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得下表（單位：人）：眼睛虹膜顏色頭發(fā)顏色藍(lán)色棕色總計(jì)紅∕金黃色15612168黑色202444總計(jì)17636n=212因?yàn)?5.576>6.635,所以有99%以上的把握認(rèn)為頭發(fā)的顏色與眼睛虹膜的顏色有關(guān).獨(dú)立性檢驗(yàn)第一步：H0：吸煙和患病之間沒有關(guān)系通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：吸煙與患病有關(guān)患病不患病總計(jì)吸煙aba+b不吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d第二步：列出2×2列聯(lián)表

用χ2統(tǒng)計(jì)量研究這類問題的方法步驟第三步：引入一個(gè)隨機(jī)變量：卡方統(tǒng)計(jì)量第四步：查對臨界值表，作出判斷。P(χ≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系.【變式練習(xí)】

看電視運(yùn)動(dòng)總計(jì)女432770男213354總計(jì)6460124解：根據(jù)題中的數(shù)據(jù)計(jì)算得下表因?yàn)?，所以有理由認(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的，即有97.5%的把握認(rèn)為“休閑方式與性別有關(guān)”.休閑方式性別1.下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()A．94，96B．52，50C．52，54D．54，52y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46nCxy2.分類變量X和Y的列聯(lián)表如下，則()解:由的計(jì)算公式可知，(ad-bc)2越大，則越大，故相關(guān)關(guān)系越強(qiáng).CA.

ad-bc越小，說明X與Y的關(guān)系越弱B.

ad-bc越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)C.(ad-bc)2越大，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)D.(ad-bc)2越接近于0，說明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)X1Y1X2Y1XY3.若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得＝4.013,那么有______的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)解：因?yàn)?4.013>3.841.所以有95%的把握判定兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián).95%5.氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進(jìn)行對比，所得數(shù)據(jù)如表所示．問它們的療效有無差異（可靠性不低于99%）？有效無效總計(jì)復(fù)方江剪刀草18461245膽黃片919100總計(jì)27570345解：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得所以我們有99%以上的