隨機(jī)過(guò)程第二章

應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程

2/5/20231第二章隨機(jī)過(guò)程的概念隨機(jī)過(guò)程的定義隨機(jī)過(guò)程的分布與數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的分類2.1隨機(jī)過(guò)程的定義

隨機(jī)過(guò)程的研究對(duì)象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象，它是從多維隨機(jī)變量向一族(無(wú)限多個(gè))隨機(jī)變量的推廣。給定一隨機(jī)試驗(yàn)E，其樣本空間S={e}，將樣本空間中的每一元作如下對(duì)應(yīng)，便得到一系列結(jié)果：

一維、二維或一般的多維隨機(jī)變量的研究是概率論的研究?jī)?nèi)容，而隨機(jī)序列、隨機(jī)過(guò)程則是隨機(jī)過(guò)程學(xué)科的研究?jī)?nèi)容。從前面的描述中看到，它的每一樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的，是一個(gè)數(shù)列或是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)。定義2.1.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E，其樣本空間S={e}，若對(duì)每個(gè)參數(shù)都有定義在S上的隨機(jī)變量，則稱一簇隨機(jī)變量為隨機(jī)過(guò)程。簡(jiǎn)記為由定義可看出，隨機(jī)過(guò)程是兩個(gè)變量e和t的函數(shù)。理解：對(duì)于固定的樣本點(diǎn)eo，就是定義在T上的一個(gè)函數(shù)，稱之為的一條樣本路徑或一個(gè)樣本函數(shù)；對(duì)于固定的時(shí)刻to，是樣本空間S上的一個(gè)隨機(jī)變量；對(duì)于固定的t=t0，e=e0時(shí)X(e0,t0)=x0，則稱該過(guò)程在t0時(shí)刻處于狀態(tài)x0，簡(jiǎn)記X(t0)=x0。X(t,e)的全體取值的集合稱為該隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)集或狀態(tài)空間。

例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，樣本空間是S={H,T}，現(xiàn)定義：其中P{H}=P{T}=1/2。則是一隨機(jī)過(guò)程。圖形如下：1234例２考慮是正常數(shù)，這是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。稱之為隨機(jī)相位正弦波。例5：考慮拋擲一顆骰子的試驗(yàn)：2.2隨機(jī)過(guò)程的分布與數(shù)字特征若，滿足條件則稱為隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布（分布律），且易知例1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過(guò)程：若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得滿足則稱為隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度。若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得滿足則稱為隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度。書本例2.2.1—2.2.3Kolmogorov研究了隨機(jī)過(guò)程X(t)與其有限維分布分布族的關(guān)系，證明了關(guān)于有限維分布函數(shù)族的重要性的定理：定理2.2.1(存在定理)為滿足下述性質(zhì)的有限維分布族：（１）對(duì)稱性：對(duì)于的任一排列有設(shè)（２）相容性：對(duì)于任意自然數(shù)m<n，隨機(jī)過(guò)程的m維分布函數(shù)與n維分布函數(shù)之間有關(guān)系：則F必為某個(gè)隨機(jī)過(guò)程的有限維分布族。例3設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=A+Bt，其中A和B是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試求X(t)的n維分布函數(shù)。解：利用正態(tài)分布的可加性，知X(t)服從一維正態(tài)分布。故服從n維正態(tài)分布。則的概率密度為其中協(xié)方差矩陣下面介紹一種利用特征函數(shù)求概率密度的方法。例4若正弦波隨機(jī)過(guò)程X(t)取如下形式：其中A，B是常數(shù)，隨機(jī)變量，即求在t時(shí)刻隨機(jī)過(guò)程X(t)的概率密度。解：根據(jù)特征函數(shù)的定義，有（1）此外，又有（2）比較(1)和(2)，得(二)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征例5設(shè)A,B是隨機(jī)變量，求X(t)=At+B的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)；進(jìn)一步，若A,B獨(dú)立，且A~N(0,1)，B~N(1,2)問(wèn)X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)A~N(0,1)，B~N(0,2)時(shí)解：例6設(shè)g(t)是以t為周期的矩形波函數(shù),X為服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量,其分布律為P{X=-1}=P{X=1}=1/2,令隨機(jī)過(guò)程Y(t)=g(t)X,求0LLtg(t)矩形波解：所以隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)當(dāng)X(t)為連續(xù)形隨機(jī)過(guò)程，其密度為當(dāng)X(t)為離散形隨機(jī)過(guò)程，其分布律為n維隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)若隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度為則1-1(三)二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征(四)復(fù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征X(t),Y(t)是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過(guò)程—復(fù)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于任意給定的即的聯(lián)合分布函數(shù)為Z(t)的分布函數(shù)。Z(t)的數(shù)字特征如下：—Z(t)的均方值函數(shù)—方差函數(shù)—自相關(guān)函數(shù)—自協(xié)方差函數(shù)Z(t)的數(shù)字特征可由X(t)、Y(t)的數(shù)字特征表示：見(jiàn)書本例2.2.102.3隨機(jī)過(guò)程的分類一、按參數(shù)集與狀態(tài)集分類1.離散參數(shù)集，離散狀態(tài)集隨機(jī)過(guò)程２.離散參數(shù)集，連續(xù)狀態(tài)集隨機(jī)過(guò)程３.連續(xù)參數(shù)集，離散狀態(tài)集隨機(jī)過(guò)程４.連續(xù)參數(shù)集，連續(xù)狀態(tài)集隨機(jī)過(guò)程注：稱狀態(tài)空間離散的隨機(jī)過(guò)程為鏈，參數(shù)空間離散的隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)（時(shí)間）序列。二、按概率結(jié)構(gòu)分類例:隨機(jī)過(guò)程在下列兩種情況下是否是二階矩過(guò)程。（1）是常數(shù)（2）具有概率密度解：所以是二階矩過(guò)程。（1）（2）所以不是二階矩過(guò)程。正態(tài)過(guò)程的判別方法：是正態(tài)過(guò)程見(jiàn)書本例2.3.6定義：設(shè)為一隨機(jī)過(guò)程。n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立過(guò)程。性質(zhì)：定義：設(shè)為一隨機(jī)過(guò)程。稱為在處的增量。若增量相互獨(dú)立，則稱為獨(dú)立增量過(guò)程（可加過(guò)程）。直觀地說(shuō)：在互不重疊的區(qū)間上，獨(dú)立增量過(guò)程狀態(tài)的增量相互獨(dú)立。特別地例：設(shè)為一獨(dú)立過(guò)程，則相互獨(dú)立，，則易知?jiǎng)t相互獨(dú)立即為獨(dú)立增量過(guò)程。令獨(dú)立增量過(guò)程則為獨(dú)立增量過(guò)程。證明：為獨(dú)立增量過(guò)程。所以有以下性質(zhì)：設(shè)增量的分布函數(shù)為，則對(duì)于有證明：而相互獨(dú)立由X(t)獨(dú)立增量過(guò)程保證則獨(dú)立r.v.和的分布函數(shù)為其各自分布的卷積定義：設(shè)為一隨機(jī)過(guò)程，若對(duì)于存在，且對(duì)于任意的滿足：則稱為不相關(guān)增量過(guò)程若則稱為正