第五版數(shù)值分完整析課件

數(shù)值分析電子課件工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列第1章緒論內(nèi)容提要：1.1數(shù)值分析研究對象與特點1.2數(shù)值計算的誤差1.3誤差定性分析與避免誤差危害1.1數(shù)值分析研究對象與特點一、數(shù)值分析研究對象計算機解決科學(xué)計算問題時經(jīng)歷的過程實際問題模型設(shè)計算法設(shè)計問題的解上機計算程序設(shè)計求方程求根牛頓法

程序設(shè)計解上機計算實例

數(shù)值分析的內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程數(shù)值解、數(shù)值線性代數(shù)、常微和偏微數(shù)值解等。數(shù)值分析研究對象以及解決問題方法的廣泛適用性，著名流行軟件如Maple、Matlab、Mathematica等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計成函數(shù)，簡單調(diào)用之后便可以得到運行結(jié)果。

但由于實際問題的具體特征、復(fù)雜性,以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇、設(shè)計適合于自己特定問題的算法，因而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容是至關(guān)重要的。

本課程內(nèi)容包括了微積分、代數(shù)、常微分方程的數(shù)值方法，必須掌握這幾門課程的基礎(chǔ)內(nèi)容才能學(xué)好這門課程。二、數(shù)值分析的特點面向計算機，要根據(jù)計算機的特點提供切實可行的有效算法。有可靠的理論分析，能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對誤差進行分析。這些都是建立在數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，因此不應(yīng)片面的將數(shù)值分析理解為各種數(shù)值方法的簡單羅列和堆積。要有好的計算復(fù)雜性，時間復(fù)雜性好是指節(jié)省時間，空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲量，這也是建立算法要研究的問題，它關(guān)系到算法能否在計算機上實現(xiàn)。要有數(shù)值實驗，即任何一個算法除了從理論上要滿足上述三點外，還要通過數(shù)值實驗證明是行之有效的。三、數(shù)值分析的學(xué)習(xí)方法初學(xué)可能仍會覺得公式多，理論分析復(fù)雜。給出如下的幾點學(xué)習(xí)方法。認識建立算法和對每個算法進行理論分析是基本任務(wù)，主動適應(yīng)公式多和講究理論分析的特點。注重各章節(jié)所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計算機的結(jié)合。理解每個算法建立的數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)原理和基本線索，而且對一些最基本的算法要非常熟悉。要通過例子，學(xué)習(xí)使用各種數(shù)值方法解決實際計算問題。為掌握本課的內(nèi)容，還應(yīng)做一些理論分析和計算練習(xí)。1.2數(shù)值計算的誤差一、誤差的來源

在運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的過程中，每一步都可能帶來誤差。1、模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型時，往往要忽視很多次要因素，把模型“簡單化”，“理想化”，這時模型就與真實背景有了差距，即帶入了誤差。2、測量誤差數(shù)學(xué)模型中的已知參數(shù)，多數(shù)是通過測量得到。而測量過程受工具、方法、觀察者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機干擾等影響必然帶入誤差。3、截斷誤差數(shù)學(xué)模型常難于直接求解，往往要近似替代，簡化為易于求解的問題，這種簡化帶入誤差稱為方法誤差或截斷誤差。4、舍入誤差計算機只能處理有限數(shù)位的小數(shù)運算，初始參數(shù)或中間結(jié)果都必須進行四舍五入運算，這必然產(chǎn)生舍入誤差。誤差分析是一門比較艱深的專門學(xué)科。在數(shù)值分析中主要討論截斷誤差及舍入誤差。但一個訓(xùn)練有素的計算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與實際不符時，應(yīng)當(dāng)能診斷出誤差的來源，并采取相應(yīng)的措施加以改進，直至建議對模型進行修改。二、絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字1、絕對誤差與絕對誤差限誤差是有量綱的量，量綱同x，它可正可負。誤差一般無法準(zhǔn)確計算，只能根據(jù)測量或計算情況估計出它的絕對值的一個上界，這個上界稱為近似值x*的誤差限，記為ε*。2、相對誤差與相對誤差限

3、有效數(shù)字

定義3如果近似值x*的誤差限是它某一數(shù)位的半個單位，我們就說x*準(zhǔn)確到該位，從這一位起直到前面第一個非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱x的有效數(shù)字.4、絕對誤差，相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系

絕對誤差與相對誤差：由兩者定義可知。

絕對誤差與有效數(shù)字：絕對誤差不超過末位有效數(shù)字的半個單位。有效數(shù)字與相對誤差限定理說明有效數(shù)位越多，相對誤差限越小。定理也給出了相對誤差限的求法。三、數(shù)值運算的誤差估計1、四則運算2、函數(shù)誤差當(dāng)自變量有誤差時計算函數(shù)值也產(chǎn)生誤差，可以利用函數(shù)的泰勒展開式進行估計。1.3誤差定性分析與避免誤差危害一、病態(tài)問題與條件數(shù)1、病態(tài)問題：對一個數(shù)值問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），引起輸出數(shù)據(jù)（即問題解）相對誤差很大，就是病態(tài)問題。二、算法的穩(wěn)定性

用一個算法進行計算，由于初始數(shù)據(jù)誤差在計算中傳播使計算結(jié)果誤差增長很快就是數(shù)值不穩(wěn)定的，先看下例。計算結(jié)果：n法一(A)法二(B)01234567890.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.72807.5520.63210.36790.26430.20730.17080.14550.12680.11210.10350.0684三、避免誤差危害的若干原則1、要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法。用絕對值小的數(shù)作除數(shù)舍入誤差會增大，如計算x/y，若0<|y|<<|x|，則可能對計算結(jié)果帶來嚴(yán)重影響，應(yīng)盡量避免。2、要避免兩相近數(shù)相減

在數(shù)值中兩相近數(shù)相減有效數(shù)字會嚴(yán)重損失。例如，x=532.65，y=532.52都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.13只有兩位有效數(shù)字。通過改變算法可以避免兩相近數(shù)相減。3、要防止“大數(shù)”吃掉小數(shù)

數(shù)值運算中參加運算的數(shù)有時數(shù)量級相差很大，而計算機位數(shù)有限，如不注意運算次序就可能出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象，影響計算結(jié)果的可靠性。

如用六位浮點數(shù)計算某市的工業(yè)總產(chǎn)值，原始數(shù)據(jù)是各企業(yè)的工業(yè)產(chǎn)值，當(dāng)加法進行到一定程度，部分和超過100億元（0.1×1011），再加產(chǎn)值不足10萬元的小企業(yè)產(chǎn)值，將再也加不進去。而這部分企業(yè)可能為數(shù)不少，合計產(chǎn)值相當(dāng)大.這種情況應(yīng)將小數(shù)先分別加成大數(shù)，然后相加，結(jié)果才比較正確。這個例子告訴我們，在計算機數(shù)系中，加法的交換律和結(jié)合律可能不成立，這是在大規(guī)模數(shù)據(jù)處理時應(yīng)注意的問題。4、注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)

減少算術(shù)運算的次數(shù)不但可計算機的計算時間，還能減少誤差的積累效應(yīng)。使參加運算的數(shù)字精度應(yīng)盡量保持一致，否則那些較高精度的量的精度沒有太大意義。誤差及算法誤差算法數(shù)值穩(wěn)定性概念算法設(shè)計注意要點分類度量傳播舍入誤差的產(chǎn)生及定義截斷誤差的產(chǎn)生及定義絕對誤差（限）相對誤差（限）有效數(shù)字三者的聯(lián)系一元函數(shù)n元函數(shù)計算函數(shù)值問題的條件數(shù)二元算術(shù)運算知識結(jié)構(gòu)圖一第2章插值法內(nèi)容提要2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差與牛頓插值公式2.4埃爾米特插值2.5分段低次插值2.6三次樣條插值2.1引言許多實際問題都用函數(shù)y=f(x)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。若已知f(x)在某個區(qū)間[a,b]上存在、連續(xù)，但只能給出[a,b]上一系列點的函數(shù)值表時，或者函數(shù)有解析表達式，但計算過于復(fù)雜、使用不方便只給出函數(shù)值表（如三角函數(shù)表、對數(shù)表等）時，為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值。因此我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個既能反映函數(shù)f(x)的特性，又便于計算的簡單函數(shù)P(x)，用P(x)近似f(x)。這就引出了插值問題。1、提出問題（插值法的定義）2、幾何意義、外插、內(nèi)插P(x)

f(x)x*(外插)x0x1x(內(nèi)插)x2x3P(x*)

f(x*)3、插值的種類選取不同的函數(shù)族構(gòu)造

P(x)得到不同類型的插值若P(x)是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式，就稱為多項式插值；若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項式，就稱為三角插值。本章只討論多項式插值與分段插值。主要研究內(nèi)容為如何求出插值多項式，分段插值函數(shù)；討論插值多項式P(x)的存在唯一性、收斂性及估計誤差等。4、多項式插值問題插值多項式的存在唯一性

定理1(存在唯一性)滿足插值條件的不超過n次的插值多項式是存在唯一的。2.2拉格朗日插值一、線性插值與拋物插值1、線性插值y=f(x)L1(x)yxxk+1xk02、拋物插值求解基函數(shù)二、拉格朗日插值多項式

上面針對n=1和n=2的情況，得到了一次和二次插值多項式，這種用基函數(shù)表示的方法很容易推廣到一般情況。下面討論如何構(gòu)造n+1個節(jié)點的n次插值多項式。定理表明：(1)插值誤差與節(jié)點和點x之間的距離有關(guān),節(jié)點距離x越近,插值誤差一般情況下越小。

(2)若被插值函數(shù)f(x)本身就是不超過n次的多項式,則有f(x)≡g(x)。

3、應(yīng)用舉例用二次插值計算ln(11.25)的近似值,并估計誤差。例2-2給定函數(shù)值表在區(qū)間[10,12]上lnx的三階導(dǎo)數(shù)(2/x3)的上限M3=0.002,可得誤差估計式注：實際上,ln(11.25)=2.420368,|R2(11.25)|=0.0000580

?分析：求解如上問題等價于求解x關(guān)于y的反函數(shù)問題。2.3均差與牛頓插值公式一、均差及其性質(zhì)問題的引入：拉格朗日插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，理論分析方便，但插值節(jié)點增減時全部插值及函數(shù)均要隨之變化，實際計算不方便，希望把公式表示為如下形式。1、均差定義2、均差的基本性質(zhì)2、均差的基本性質(zhì)2、均差的基本性質(zhì)均差計算表例如由函數(shù)y=(x)的函數(shù)表寫出均差表.解均差表如下二、牛頓插值公式解由差商表知[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,[x0,x1,x2,x3]=-1,于是有N1(x)=5-2(x+2)=1-2xN2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9例2-6

對例如中的(x),求節(jié)點為x0,x1的一次插值，x0,x1,x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插多項式.

例2-7給出f(x)的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項式，并計算f(0.596)的近似值。2.4埃爾米特插值

不少實際的插值問題不但要求在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且還要求對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項式就是埃爾米特（Hermite）插值多項式。

y=L10(x)y=L10(x)解法二（用重節(jié)點的均差表建立埃爾米特多項式）2.5分段低次插值一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)一般總認為Ln(x)的次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，但實際上并非如此。這是因為對任意的插值節(jié)點，當(dāng)n->∞時，Ln(x)不一定收斂于f(x)。20世紀(jì)初龍格（Runge）就給了一個等距節(jié)點插值多項式Ln(x)不一定收斂于f(x)的例子。

y=L10(x)

x1y=L10(x)o-10.5y1.51龍格現(xiàn)象二、分段線性插值分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近f(x).分段線性插值三、分段拋物插值三、分段拋物插值2.6三次樣條插值

樣條曲線實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。一、三次樣條函數(shù)y=L10(x)每個小區(qū)間上要確定4個待定系數(shù)，共有n個小區(qū)間，故應(yīng)確定4n個參數(shù)。y=L10(x)二、三次樣條插值函數(shù)的建立y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，方程組有為一解。求法見5.3節(jié)追趕法。y=L10(x)y=L10(x)知識結(jié)構(gòu)圖二插值法工具分段多項式插值存在唯一性多項式插值Hermite插值插值公式誤差估計差商、差分Lagrange插值基及函數(shù)定義性質(zhì)定義性質(zhì)導(dǎo)數(shù)型差商型Lagrange插值多項式Newton插值多項式等距節(jié)點插值公式存在唯一性誤差估計插值公式分段線性插值（公式、誤差估計、收斂性）分段三次Hermite插值（公式、誤差估計、收斂性）三次樣條插值（公式、存在唯一性、誤差估計、收斂性）第三章函數(shù)逼近內(nèi)容提要3.1基本概念3.2最佳平方逼近3.3曲線擬合的最小二乘法3.1基本概念

x0x3x5x7x1x4x6x2f(x)p(x)2、范數(shù)與賦范線形空間3、內(nèi)積與內(nèi)積空間1、最佳平方逼近3.2最佳平方逼近一、最小二乘法及其計算3.3曲線擬合的最小二乘法例3-3已知實測數(shù)據(jù)表如下,求它的擬合曲線0xy2468642例3-4

已知實測數(shù)據(jù)表如下,確定數(shù)學(xué)模型y=aebx,用最小二乘法確定a，b。分析：根據(jù)給定數(shù)據(jù)描圖也可確定擬合曲線方程，但它不是線性形式。因此首先要將經(jīng)驗曲線線性化。本題可以采取等式兩邊取對數(shù)的形式線性化。數(shù)據(jù)表中的數(shù)值也相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為取對數(shù)之后的數(shù)值，見下表。知識結(jié)構(gòu)圖三函數(shù)逼近理論預(yù)備知識范數(shù)（定義、常用范數(shù)）內(nèi)積（定義、柯西-施瓦茨不等式、內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)）正交多項式（性質(zhì)、正交化方法、常用正交多項式的定義和性質(zhì)）函數(shù)逼近方法最佳一致逼近多項式最佳平方逼近定義存在唯一性定理切比雪夫定理最佳一次逼近多項式的確定最小二乘擬合定義法方程組和平方誤差基于正交基的最佳平方逼近離散內(nèi)積定義法方程組及哈爾條件基于正交基的最小二乘擬合第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分內(nèi)容提要4.1引言4.2牛頓-柯特斯公式4.3復(fù)化求積公式4.4龍貝格求積公式4.5高斯求積公式4.6數(shù)值微分4.1引言一、數(shù)值求積的基本思想對定義在區(qū)間［a,b］上的定積分但有時原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時原函數(shù)又十分復(fù)雜，難于求出或計算；另外如被積函數(shù)是由測量或數(shù)值計算給出的一張數(shù)據(jù)表示時，上述方法也不能直接運用。因此有必要研究積分的數(shù)值計算問題。積分中值定理告訴我們：平均高度f(ζ)

a

ζ

b

yxy=f(x)0

a

f((a+b)/2)

b

yxy=f(x)0

a

b

yxy=f(x)0梯形公式平均高度中矩形公式平均高度更一般地，我們構(gòu)造具有下列形式的求積公式求積節(jié)點求積系數(shù)這類數(shù)值方法通常稱為機械求積，其特點是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，這就避開了牛頓-萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難。二、代數(shù)精度的概念利用代數(shù)精度的概念構(gòu)造求積公式三、插值型的求積公式4.2牛頓-柯特斯公式一、牛頓-柯特斯公式的導(dǎo)出柯特斯系數(shù)牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度4.3復(fù)合求積公式

一、問題與基本思想在使用牛頓-柯特斯公式時將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負數(shù)(當(dāng)n≥8時,牛頓.柯特斯求積系數(shù)會出現(xiàn)負數(shù))，因而不可能通過提高階的方法來提高求積精度。為了提高精度通常采用將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。本節(jié)只討論復(fù)化的梯形公式和復(fù)化的辛普森公式。二、復(fù)合梯形公式三、復(fù)合辛普森公式4.4龍貝格求積公式

一、梯形法的遞推化(變步長求積法)

于是可以逐次對分形成一個序列{T1,T2,T4,T8,…},此序列收斂于積分真值I。當(dāng)|T2n-Tn|<ε時，取T2n為I的近似值。以上算法稱為變步長求積法。但由于此序列收斂太慢。下節(jié)我們將其改造成為收斂快的序列。二、龍貝格算法如何提高收斂速度以節(jié)省計算量是龍貝格算法要討論的中心問題。這樣我們從收斂較慢的{Tn}序列推出了收斂較快的{Sn}序列?？梢宰C明{Sn}序列實際上就是逐次分半的復(fù)化辛普森公式序列。

這樣我們從{Cn}序列又推出了收斂更快的{Rn}序列.{Rn}序列也稱為龍貝格序列。我們從收斂較慢的{Tn}序列只用了一些四則運算，便推出了收斂更快的{Sn}序列,{Cn}序列和{Rn}序列。運算順序表這里利用二分3次的數(shù)據(jù)（它們的精度都很差，只有兩三位有效數(shù)字）通過三次加速求得R1=0.9460831,這個結(jié)果的每一位數(shù)字都是有效數(shù)字，可見加速效果是十分顯著的。4.5高斯求積公式

一、一般理論

4.6數(shù)值微分一、中點方法與誤差分析數(shù)值微分就是要用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值。由導(dǎo)數(shù)定義差商近似導(dǎo)數(shù)得到數(shù)值微分公式。二、插值型的求導(dǎo)公式知識結(jié)構(gòu)圖四數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分基本概念牛頓-柯特斯公式復(fù)合求積公式數(shù)值微分中點方法插值型求導(dǎo)公式龍貝格求積公式高斯求積公式第五章解線性方程組的直接方法內(nèi)容提要5.1引言與預(yù)備知識5.2高斯消去法5.3高斯列主元消去法5.4矩陣三角分解法5.5向量與矩陣的范數(shù)5.6誤差分析5.1引言關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：1、直接解法：經(jīng)過有限次的算術(shù)運算，可求得方程組精確解的方法（若計算過程中沒有舍入誤差）。但實際計算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得線性方程組的近似解。本章主要研究此類問題的解法。2、迭代法：用某種極限過程去逐步逼近現(xiàn)行方程組精確解的方法。迭代法具有需要計算機的存儲單元較少、程序設(shè)計簡單、原始系數(shù)矩陣在計算過程中始終不變等優(yōu)點。5.2高斯消去法在求解三角方程組,得高斯消去法的條件5.3高斯主元素消去法列主元消去法5.4矩陣三角分解法Ax=b是線性方程組,A是n×n方陣,并設(shè)A的各階順序主子式不為零。令A(yù)(1)=A,當(dāng)高斯消元法進行第一步后,相當(dāng)于用一個初等矩陣左乘A(1)

。不難看出，這個初等矩陣為重復(fù)這個過程，最后得到一般地

這就是說，高斯消去法實質(zhì)上產(chǎn)生了一個將A分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解，于是我們得到如下重要定理。當(dāng)A進行LU分解后，Ax=b就容易解了.即Ax=b等價于:

追趕法在一些實際問題中，例如解常微分方程邊值問題，熱傳導(dǎo)方程以及船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)等，都會要求解系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角線方程組其中|i-j|>1時,aij=0,且滿足如下的對角占優(yōu)條件:(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0(2)|bi|≥|ai|+|ci|,aici≠0,i=2,3,…,n-1.5.5向量和矩陣的范數(shù)定義1(向量范數(shù))x和y是Rn中的任意向量,向量范數(shù)‖?‖是定義在Rn上的實值函數(shù),它滿足:(1)‖

x

‖≥0,并且當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,‖

x

‖=0;(2)‖k

x

‖=|k|‖

x

‖,k是一個實數(shù);(3)‖

x+y

‖≤‖

x

‖+‖

y

‖常使用的向量范數(shù)有三種,設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T

常使用的矩陣范數(shù)有三種,設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T

5.6誤差分析知識結(jié)構(gòu)圖五直接法解方程組高斯消去法矩陣的正交三角化及應(yīng)用定義常用范數(shù)范數(shù)的性質(zhì)初等反射陣平面旋轉(zhuǎn)變換矩陣矩陣的QR分解應(yīng)用：求解超定方程組高斯消去法高斯若當(dāng)消去法列主元消去法矩陣三角分解法LU分解平方根分解LDLT分解追趕法解三對角方程組向量和矩陣的范數(shù)矩陣條件數(shù)及迭代改善法第六章解線性代數(shù)方程組的迭代法內(nèi)容提要6.1引言6.2基本迭代法6.3迭代法的收斂性即AX=b其中A為非奇異矩陣，當(dāng)A為低階稠密矩陣時，線性方程組用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但對于由工程技術(shù)中產(chǎn)生的大型稀疏矩陣方程組（A的階數(shù)n很大，但零元素較多），利用迭代法求解是適合的。在計算機內(nèi)存和運算兩方面，迭代通常都可利用A中有大量零元素的特點?？紤]線性方程組6.1引言本章將介紹迭代法的一般理論及雅可比迭代法、高斯—塞德爾迭代法、超松弛迭代法，研究它們的收斂性。6.2基本迭代一、雅可比迭代法二、高斯—塞德爾迭代法SOR迭代法的計算公式:對k=0,1,…,三、逐次超松馳(SOR)迭代法說明:1)ω=1,即為GS（高斯-賽德爾迭代法）;2)ω>1，稱為超松馳法；

ω<1，稱為低松馳法；3)SOR方法每迭代一次主要運算量是計算一次矩陣與向量的乘法。例6-3

用SOR迭代法解線性代數(shù)方程組6.3迭代法的收斂性一、一階定常迭代法的基本定理

注：定理5中的矩陣是迭代矩陣，常用格式的迭代矩陣如下：1)雅可比迭代法:BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b;2)高斯-賽德爾迭代法:BG=(D-L)-1U，fG==(D-L)-1b;3)SOR迭代法:BSOR=(D-ωL)-1{(1-ω)D+ωU}，fSOR=ω(D-ωL)-1b.例6-4考察用雅可比迭代法求解線性方程組二、某些特殊方程組的迭代收斂性定義3（1）按行嚴(yán)格對角占優(yōu)（2）按行弱對角占優(yōu)上式至少有一個不等號嚴(yán)格成立。定理8(對角占優(yōu)定理)若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)且不可約；則矩陣A非奇異。

定理9若矩陣A按行(或列)嚴(yán)格對角占優(yōu),或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。定理12對于線性方程組Ax=b，若(1)A為對稱正定矩陣，(2)0<ω<2，則解Ax=b的SOR迭代收斂。

定理13對于線性代數(shù)方程組Ax=b，若A按行(或列)嚴(yán)格對角占優(yōu)，或按行(或列)弱對角占優(yōu)不可約；則當(dāng)0<ω≤1時，SOR迭代收斂。知識結(jié)構(gòu)圖六迭代法解方程組迭代法基本概念高斯-賽德爾迭代法迭代格式收斂條件（充要條件、充分條件四個）SQR迭代法迭代法收斂速度雅可比迭代法迭代格式收斂條件（充要條件、充分條件四個）迭代格式收斂條件（充要條件、必要條件、充分條件五個）第七章解非線性方程求根內(nèi)容提要7.1方程求根與二分法7.2迭代法及其收斂性7.3牛頓法7.4弦截法7.1方程求根與二分法一、引言非線性方程的分類由此可知方程的有根區(qū)間為[1,2][3,4][5,6]求根問題的三個方面：存在性，分布，精確化。二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1二分法的優(yōu)點是算法簡單，且總是收斂的，缺點是收斂太慢,故一般不單獨將其用于求根，只用其為根求得一個較好的近似值。7.2迭代法一、不動點迭代與不動點迭代法上述迭代法是一種逐次逼近法，其基本思想是將隱式方程歸結(jié)為一組顯示的計算公式，就是說，迭代過程實質(zhì)上是一個逐步顯示的過程。繼續(xù)迭代下去已經(jīng)沒有必要，因為結(jié)果顯然會越來越大，不可能趨于某個極限。這種不收斂的迭代過程稱作是發(fā)散的。一個發(fā)散的迭代過程，縱使進行了千百次迭代，其結(jié)果也毫無價值。因此，迭代格式形式不同，有的收斂，有的發(fā)散，只有收斂的迭代過程才有意義，為此要研究不動點的存在性及迭代法的收斂性。二、不動點的存在性與迭代法的收斂性三、局部收斂性與收斂階7.3牛頓法一、牛頓法及其收斂性二、牛頓法應(yīng)用舉例三、簡化牛頓法與牛頓下山法四、重根情形7.4弦截法知識結(jié)構(gòu)圖七方程近似求根基本概念（單根、重根、有根區(qū)間、不動點、收斂階）求根