高等數(shù)學(xué)2半期考試復(fù)習(xí)打印

向量代數(shù)與空間解析幾何多元微分學(xué)及其應(yīng)用重積分高數(shù)（下）半期復(fù)習(xí)重點(diǎn)第8章向量代數(shù)與空間解析幾何

本章以矢量代數(shù)為工具，運(yùn)用形數(shù)結(jié)合的方法，研究空間的曲面和曲線，同時(shí)重點(diǎn)研究了平面和直線。一基本要求：1.正確理解矢量概念，熟練掌握矢量的坐標(biāo)表示式、其代數(shù)運(yùn)算及兩個(gè)矢量相互平行、垂直的條件或其夾角的求法。2.平面方程四形式3.直線方程四形式4.點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系5.平面與平面的位置關(guān)系6.直線與直線的位置關(guān)系7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程及空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程。二典型例子矢量坐標(biāo)表示既有大小又有方向的量模及方向角方向余弦一基本要求1.矢量運(yùn)算及坐標(biāo)表示xzyn={A,B,C}M(a,b,d)A(x–a)+B(y–b)+C(z–d)=0Ax+By+Cz+D=0bca(1)

點(diǎn)法式:(2)

一般式.(3)

截距式：(4)

三點(diǎn)式：0其中D=–Aa–Bb–Cd2.平面方程(1)標(biāo)準(zhǔn)式：S={m,n,p}M(a.,b,c)LS(2)參數(shù)式:x=a+mty=b+ntz=c+pt(4)兩點(diǎn)式:AB.(3)一般式L.L3.直線方程(1)點(diǎn)到平面的距離(3)直線平行于平面.(2)

點(diǎn)到直線的距離MdNlMdlN.記.4.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（用解析法判斷）nss(4)直線在平面內(nèi)(5)直線垂直于平面(6)直線與平面的夾角lll....N4.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（用解析法判斷）.sssnnn(1)兩個(gè)平面垂直(2)兩個(gè)平面平行(3)兩個(gè)平面重合已知兩個(gè)平面..5.平面與平面的位置關(guān)系(4)兩個(gè)平面夾角為(5)兩個(gè)平行平面間的距離為d已知兩個(gè)平面d.5.平面與平面的位置關(guān)系.12n1n2..已知兩條直線(1)兩條直線共面(2)兩條直線的夾角(3)兩條平行直線的距離d(4)兩條異面直線間的最短距離dABdABA..B6.直線與直線的位置關(guān)系

d..7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程及空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程。（以例子在下面說明）曲面方程的定義：空間曲面7.掌握空間曲線及曲面知識；會建立旋轉(zhuǎn)曲面方程及空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程。研究空間曲面的兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程.[1]旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.方程特點(diǎn):（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面[2]柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面稱之為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.從柱面方程看柱面的特征：(1)平面(3)拋物柱面(4)橢圓柱面(2)圓柱面[3]二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數(shù)方程如圖空間曲線一般方程為參數(shù)方程為[3]空間曲線在坐標(biāo)面上的投影消去變量z后得：設(shè)空間曲線的一般方程：曲線在面上的投影曲線為面上的投影曲線面上的投影曲線如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面[4]空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體曲面1,2,3垂直........1.填空3.y+z=1.解：.M解：lN(2,–3,1)d.......(p,q同號)(p,q同號)橢球面雙葉雙曲面二次錐面單葉雙曲面雙曲拋物面橢圓拋物面相交...M0M垂面方程為2o求出L1與此平面的交點(diǎn)M：..L=t解：L12.1o過M0作L1的垂面，dL1L2方法I思路：1o

過L1做平面

，使//L2.2o

點(diǎn)ML2,,點(diǎn)M到平面的距離即為d.M(2)解：..先求平面

的法矢量：取點(diǎn)M(2,3,–4)L2,,.n方法II思路：.解：L1L2MN利用混合積的幾何意義：所求的d就是三矢量構(gòu)成的平行六面體的高....(2)(3)思路I：因?yàn)椋?1)

它們共面.(2)

它們不平行.(L2平行于已知平面，但顯然L1不平行于

.)相交。問題：L2與L1相交嗎？求直線的一般式方程.21L1L2.M0具體解答如下：nM1L1L2M0M1解：.思路I：求直線的一般式方程.sn21(3).思路II：求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程.L1從思路I的分析知：..L2如圖：.n21解：(3).3解由題設(shè)條件得解得4解所求投影直線方程為5解由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為一重點(diǎn)與難點(diǎn)1.理解多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念練習(xí)理解它們之間的關(guān)系(七框圖)(有關(guān)七框圖的提問).2.熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；3.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。(1)一個(gè)方程確定的隱函數(shù)*(2)方程組確定的隱函數(shù)4.掌握空間曲線的切線及法平面的求法。5.掌握空間曲面的切平面及法線的求法。6.掌握二元函數(shù)極值、給定區(qū)域上的最值、及條件極值的求法。7.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念和計(jì)算方法，以及二者的關(guān)系。二典型例題(8個(gè))三課堂練習(xí)1.求偏導(dǎo)、求全微分(4個(gè))2.計(jì)算(5個(gè))第9章多元函數(shù)微分學(xué)1.二元函數(shù)的基本概念..逆否命題：稱二元函數(shù)z=f(x,y)極限：即A為f(x,y)當(dāng)PP0時(shí)的(二重)極限。連續(xù)：在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).一重點(diǎn)與難點(diǎn).

偏導(dǎo)數(shù)：..全微分：..o偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義..00不存在0不存在不存在都不連續(xù)。(2)在x軸、y軸以外連續(xù).(1)連續(xù).二元函數(shù)的極限、連續(xù)及偏導(dǎo)數(shù)練習(xí):.不存在不存在....003

將二元函數(shù)z=f(x

,y)在點(diǎn)(x,y)的以下七個(gè)命題填入框圖：（1）有定義;（2）有極限;（3）連續(xù);（4）偏導(dǎo)存在;（5）方向?qū)?shù)存在;（6）偏導(dǎo)連續(xù);（7）可微.（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）問題：1.成立的怎么證明？2.箭頭是否可逆？舉例.3.沒有箭頭意味什么？七框圖充分答：有關(guān)七框圖的提問(7個(gè)).不一定。..不一定。一定。.4..不一定。.？證畢..6.不一定。..它在點(diǎn)(0,0)的任何鄰域中都無界，7.3.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則..(1)

一個(gè)方程確定的隱函數(shù).且3.隱函數(shù)的求導(dǎo)..(1)

一個(gè)方程確定的隱函數(shù)法則3.隱函數(shù)..*(2)

方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則4.空間曲線的切線及法平面空間曲線L............5.空間曲面的切平面及法線曲面S的方程.........6.

二元函數(shù)極值的求法A<0(或C<0),A>0(或C>0),待定。.f(M0)為極大值。f(M0)為極小值。.求f(x,y)在給定區(qū)域上的最大值和最小值求在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)，及邊界上的最值嫌疑點(diǎn)；擇其最大者為最大值，最小者為最小值。求u=f(x,y,z)的條件極值:7.方向?qū)?shù)與梯度的概念它是函數(shù)在一點(diǎn)處沿給定方向的變化率。方向?qū)?shù)是單向?qū)?shù)：方向?qū)?shù)的計(jì)算公式：則.梯度是個(gè)向量。其模是該點(diǎn)各方向?qū)?shù)的最大值。梯度的計(jì)算公式：.方向?qū)?shù)是個(gè)數(shù)。其方向,是函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向；二.典型例題例1.證明：因其值依賴于k,

所以原極限不存在。證明：故函數(shù)在全平面連續(xù)。例2.解：這是偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題。.例3.設(shè)所成角為，..例4.解：聯(lián)立這三個(gè)方程，=–2解得點(diǎn)：.多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法解：..例6.解：..解：曲線L在點(diǎn)P(1,–2,1)處切向量為:其方向余弦...例7.例8.解：=0=0得駐點(diǎn)：x=1,y=–1代入原式得在點(diǎn)(1,–1,–2)處，在點(diǎn)(1,–1,6)處，..注：幾何上也易解。原方程可化為球面..由三1.求偏導(dǎo)、求全微分.三2.計(jì)算：聚點(diǎn)：D...沿x軸正方向l的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別：.沿x軸正方向的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：.其中大于零；其中x可以大于零，也可以小于零。三1.求導(dǎo)解答(1)解：=0=0(2)解：證畢..解：(3).解：(4).解：.這是偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題。設(shè)所成角為，三2.計(jì)算解答(1)解：.計(jì)算解答(2)計(jì)算解答(3)解：.同理：(4)解：.(5)ABC結(jié)論(1,2)(2,1)(–1,–2)(–2,–1)6612>0z(1,2)非極值12126<0極小值z(2,1)=–28–6–6–12>0z(–1,–2)非極值–12–12–6<0極大值z(–2,–1)=28列表分析：第10章1.熟練掌握二重積分的極坐標(biāo)2.會改變二重積分的積分次序3.熟練掌握用對稱性計(jì)算重積分4.熟練掌握三重積分柱坐標(biāo)1.設(shè)f(x)在[0,4]上連續(xù)，且D：x2+y2≤4,則在極坐標(biāo)系下先對r積分的二次積分為__________.2.若區(qū)域D為(x－1)2+y2≤1,則二重積分化成累次積分為3.計(jì)算解：積分區(qū)域關(guān)于x,y軸及原點(diǎn)對稱，所以4.求其中D是由圓所圍成的平面區(qū)域(如圖).解:令

由對稱性注:對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個(gè)復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個(gè)或三個(gè)簡單區(qū)域來簡化計(jì)算.(04數(shù)三)5.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.(04數(shù)一)解：交換積分次序，得

從而有

故應(yīng)選(B)6.計(jì)算二重積分解：7.

計(jì)算二重積分其中(05數(shù)二、三)解：如圖,將D分成D1與D2兩部分.

解