八下勾股定理典型例題歸類總結(jié)

勾股定理典型例題歸類總結(jié)題型一：直接考查勾股定理例1.在ABC中，C90.⑵已知AB17,AC15,求BC的長(zhǎng)⑴已知⑵已知AB17,AC15,求BC的長(zhǎng)跟蹤練習(xí)：1.在ABC中，C90.(1)若a=5,b=12,則c二;(2)若a:b=3:4,c=15,貝Ua=,b=(3)若/A=30°,BC=2,則AB=,AC=.TOC\o"1-5"\h\z. 在Rt^ABC中，/C=90 ,/ A, / B, / C分別對(duì)的邊為 a,b,c,則下列結(jié)論正確的是 ( )AB、C、D、.一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為( )A2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、5.等腰直角三角形的直角邊為 2,則斜邊的長(zhǎng)為( )AB、C、1D、2.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2cm,則等邊三角形的面積為( )AB、C、1D、.已知直角三角形的兩邊為 2和3,則第三邊的長(zhǎng)為..如圖，/ACB=/ABD=90,AC=2BC=1,,貝UBD=..已知△ABC中，AB=AC=10BD是AC邊上的高線，CD=2那么BD等于( )A4B、6C、8D、.已知Rt^ABC的周長(zhǎng)為，其中斜邊，求這個(gè)三角形的面積。.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來(lái)說(shuō)，勾股定理可以推廣 .(1)如圖，以Rt^ABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積 S1、S2、S3之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由。(2)如圖，以Rt^ABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積 S1、S2、S3之間有何關(guān)系？(3)如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折 180。，請(qǐng)?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。 (此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙” )題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例1.例1.如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?跟蹤練習(xí):BC的長(zhǎng)是米，把蘆葦拉到岸邊,.如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)米的CBC的長(zhǎng)是米，把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC..一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端 5米，消防車的云梯最大升長(zhǎng)為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（ ）A12米B、13米C、14米D、15米.如圖，有兩顆樹(shù)，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹(shù)相距8米.一只鳥(niǎo)從一顆樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一顆樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行（ ）A8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用一一1一例3.如圖3,正萬(wàn)形ABCD43,E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB—AB那么△DEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：1.如圖，正方形ABCD43,E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且DF=3CF求證：/AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度一一例1.如圖4,已知長(zhǎng)方形ABCD43AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADEW疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,求CE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí)：.如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn) C放在一弓^寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn) B在紙帶的另邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成 30°角，求三角板的最大邊 AB的長(zhǎng)..如圖，在^ABC中，AB=BC/ABC=90,D為AC的中點(diǎn)，D已DF,交AB于E,交BC于F,(1)求證:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的長(zhǎng)..如圖，CA=CB,CD=CEZACB=ZECD=90,D為AB邊上的一點(diǎn).若AD=1,BD=3,求CD的長(zhǎng).題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門(mén)上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至 5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高米的學(xué)生，要走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？跟蹤練習(xí)：.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試判斷^ ABC的形狀，并說(shuō)明理由.（1）求證：/ABD=90;（2）求的值.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，.在△ABC中，下列說(shuō)法①/B=ZC-/A;②；③/A:/B:/C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤：：=1:2:3,其中能判斷△ABC為直角三角形的條件有（ ）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè).在△ABC中，乙A/B、/C的對(duì)邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2,,A2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)TOC\o"1-5"\h\z.已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,且滿足，則此時(shí)三角形一定是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、銳角三角形.在4ABC中，若a=n21,b=2n,c=n21,則△ABC是（ ）A、銳角三角形 B 、鈍角三角形 C 、等腰三角形 D 、直角三角形.如圖，正方形網(wǎng)格中的^ABC是（ ）A、直角三角形 B 、銳角三角形 C 、鈍角三角形 D 、銳角三角形或鈍角三角形.已知在△ABC中，/A、/日/C的對(duì)邊分別是a、b、c,下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）A、如果/C-/B=/A,那么/C=90 B、如果/C=90,那么C如果（a+b）（a-b）=,那么/A=90° D、如果/A=30°,那么AC=2BC.已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a+b=3,ab=1,,求的值，試判斷^ABC的形狀，并說(shuō)明理由.觀察下列各式：，………，根據(jù)其中規(guī)律，寫(xiě)出下一個(gè)式子為.已知，mon,mrn為正整數(shù)，以，2mn,為邊的三角形是三角形..一個(gè)直角三角形的三邊分別為 n+1,n-1,8,其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2J3,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).跟蹤練習(xí)1.如圖，△ABC為等腰直角三角形，/BAC=90 ,E、F是BC上的點(diǎn)，且/EAF=45° ,試探究BE2、CF2、EF間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例題7.如圖，矩形紙片ABCM邊AB=10cm]BC=6cmE為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).跟蹤練習(xí).如圖，AD是4ABC的中線，/ADC=45,把△ADC&直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).（一）折疊直角三角形.如圖，在^ABC中，/A=90°,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿CD折疊△ABC點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A處,AB=4,AC=3求BD的長(zhǎng)。.如圖，Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5.將△ABC折疊使C與A重合，折痕為DE,求BE的長(zhǎng).（二）折疊長(zhǎng)方形.如圖，長(zhǎng)方形ABCD43,AB=4,BC=5,F為CD上一點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿折痕AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的點(diǎn)E處，求CF的長(zhǎng)。.如圖，長(zhǎng)方形ABC邛，AD=8cmAB=4cmr]7gEF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C與C'重合.（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求折痕EF的長(zhǎng).. (2013懦德)如圖，將長(zhǎng)方形紙片 ABC所疊，使邊CD落在對(duì)角線AC上，折痕為CE且D點(diǎn)落在對(duì)角線D'處.若AB=3,AD=4,貝UED的長(zhǎng)為( ).如圖，長(zhǎng)方形ABC邛,AB=6,AD=&沿BD折疊使A至UA'處DA交BC于F點(diǎn).(1)求證：FB=FE(2)求證：CA//BD(3)求^DBF的面積7.如圖，正方形ABCDK點(diǎn)E在邊CD上，將^ADE沿AE對(duì)折至/\AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AGCF.(1)求證：AG//CF；(2)求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路M明口公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是 18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例2.一輛裝滿貨物高為米，寬米的卡車要通過(guò)一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過(guò)嗎？跟蹤練習(xí)：.某市氣象臺(tái)測(cè)得一熱帶風(fēng)暴中心從 A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東600方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問(wèn) A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請(qǐng)求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒(méi)有受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由。.一輛裝滿貨物的卡車 ,其外形高米 ,寬米,要開(kāi)進(jìn)廠門(mén)形狀如下圖的某工廠 ,問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門(mén)?.有一個(gè)邊長(zhǎng)為 50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整.如圖，鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩村莊，DALAB于A,CB±AB于B,已知DA=15km,CB=10km現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例1、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng) ？（兀取，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）

例2.跟蹤練習(xí)：.如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是 1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于 5cm,3cm和1cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？.一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為 8cm,6cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？4.如圖將一根厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4.如圖將一根厘米長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎?題型十：勾股定理與特殊角2.2.在△ABC中，AB=15,AC=13AD為△ABC的高，且AD=12,求△ABC的面積。3.3.如圖，在^ABC中，/B=45°,ZBAC=75,AB=<6,求BC的長(zhǎng)。(一)直接運(yùn)用30°或45°的直角三角形.如圖，在^ABC中，ZC=90°,/B=30°,AD是△ABC的角平分線，若AC=2J3,求AD的長(zhǎng)。.如圖，在^ABC中，/ACB=90°,AD是△ABC的角平分線，CDLAB于D,/A=30°,CD=2求AB的長(zhǎng)。.如圖，在^ABC中，AD±BC于D,/B=60°,/,C=45°,AC=2,求BD的長(zhǎng)。(二)作垂線構(gòu)造30°或45。的直角三角形(1)將105°轉(zhuǎn)化為45°和60°.如圖，在^ABC中，/B=45°,/A=105°,AC=2求BC的長(zhǎng)。.如圖，在四邊形ABCD43,/A=/C=45°,/ADB4ABC=105，⑴若AD=2,求AB的長(zhǎng)；⑵若AB+CD=2V3+2,求AB的長(zhǎng)。B(2)將75°轉(zhuǎn)化為30°和45題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程.如圖，在^ABC中，/C=90°,AD平分/CAB交CB于D,CD=3,BD=5求AD的長(zhǎng)。.如圖，在^ABC中，AD±BC于D,且/CAD=2/BAD,若BD=3,CD=6求AB的長(zhǎng)。（二）巧用“連環(huán)勾”列方程.如圖，在^ABC中，AB=5,BC=7,AC=4J2,求SABC..如圖，在^ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,AC=3BC=4,求AD的長(zhǎng)。.如圖，△ABC中，/ACB=90,CD!AB于D,AD=1,BD=4,求AC的長(zhǎng).如圖，△ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,CD=3BD=4求AD的長(zhǎng)題型十二：勾股定理與分類討論（一）銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1.在△ABC中，AB=AC=5,求BC的長(zhǎng)(二)腰和底不明時(shí)需分類討論3.如圖1,4ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=&點(diǎn)D為射線AC上一點(diǎn)，且^ABD是等腰三角形，求^ABD的周長(zhǎng).(三)直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1.已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長(zhǎng)為 .在△ABC中，ZACB=90,AC=4,BC=2以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABR求CD的長(zhǎng).如圖，D(2,1),以O(shè)西一邊畫(huà)等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在 x軸上，這樣的等腰三角形能畫(huà)多少個(gè)寫(xiě)出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo) .題型十三：或問(wèn)題的證明.如圖1,4ABC中，CA=CBZACB=90,D為AB的中點(diǎn)，MN分別為AGBC上一點(diǎn)，且DMLDN.(1)求證：CM+CN=BD(2)如圖2,若MN分別在AGCB的延長(zhǎng)線上，探究CMCNBD之間的數(shù)量關(guān)系式。.已知/BCD=c,/BAD書(shū),CB=CD.(1)如圖1,若a=3=90°,求證：AB+AD=AC2)如圖2,若“=3=90°,求證：AB-AD=AC (3)如圖3,若a=120° ,3=60° ,求證： AB=AD=AC (4)如圖 3,若“=3=120° ,求證： AB-AD=AC；題型十四：?jiǎn)栴}的證明.如圖，OA=OBOC=OD/AOBhCOD=90,MN分別為AGBD的中點(diǎn)，連MNON求證：MN=ON..已知△ABC中，AB=ACZBAC=90,D為BC的中點(diǎn)，AE=CF連DEEF.(1)如圖1,若E、F分別在ARAC上，求證：EF=DE(2)如圖2,若E、F分別在BAAC的延長(zhǎng)線上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．.如圖，△ABD中，。為AB的中點(diǎn)，C為DO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/ACO=135,/ODB=45探究ODOCAC之間相等的數(shù)量關(guān)系．.如圖，△ABD是等腰直角△,/BAD=90, BC// AD, BC=2AB CE平分/ BCD交 AB于E,交BD于 H.求證：（1）DC=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫(huà)圖如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1,A、BC是小正方形的頂點(diǎn)，則/ ABC的度數(shù)為.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1，在圖中畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是 3,2，，且三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1，在圖中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有 3個(gè)．如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這 4個(gè)三角形中，與眾不同的是 中的三角形，圖4中最長(zhǎng)邊上的高為 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為 1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)圖：(1)畫(huà)一條線段MN使MN=(2)畫(huà)^ABC三邊長(zhǎng)分別為 3,,2。如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1,線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.1)圖1中以AB為腰的等腰三角形有 個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊長(zhǎng)．2)圖 2中，以AB為底邊的等腰三角形有 個(gè)，畫(huà)出其中的一個(gè)，并直接寫(xiě)出其底邊上的高．題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直.如圖，在^ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且AB=10,BD=6,AD=&AC=7,其求CD的長(zhǎng)..如圖，在四邊形ABCD43,/B=