線性代數(shù)與概率統(tǒng)計作業(yè) -楓葉情文明

一．問答題1．?dāng)⑹鰊階行列式的余子式和代數(shù)余子式的定義，并寫出二者之間的關(guān)系。答：用n2個元素aij（i，j=1，2,3，…，n）組成的記號稱為n階行列式。D＝=＋＋＋這里，，…，分別被稱為元素a11,a12,…，a1n的余子式記做M11，M12，…,M1n；而，，…，分別被稱為元素a11,a12,…，a1n的代數(shù)余子式,記做A11，A12，…，A1n余子式與代數(shù)余子式的關(guān)系是Aij=(-1)i+jMIJ2．?dāng)⑹鼍仃嚨闹鹊亩x。答：定義：設(shè)A為mn矩陣。如果A中不為零的子式最高階為r，即存在r階子式不為零，而任何r+1階子式皆為零，則稱r為矩陣A的秩，記作（秩）＝r或R（A）＝r3．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是什么？答：定義：設(shè)T是的所有解的集合，若T中存在一組非零解滿足（1）線性無關(guān)；（2）任意，都可用線性表出則稱是此方程組的一個基礎(chǔ)解系4．試寫出條件概率的定義。答：條件概率的定義：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率定義為().5．試寫出全概率公式和貝葉斯公式這兩個定理。答：定理1（全概率公式）設(shè)事件構(gòu)成完備事件組，且，則對任意事件B，有.特別地，當(dāng)n=2時，全概率公式為.二．填空題1．行列式

4

．2．設(shè)均為3階矩陣，且，則-72。3．如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，那么它有

且只有零

解．4．用消元法解線性方程組，其增廣矩陣經(jīng)初等行變換后,化為階梯陣

，則(1)當(dāng)=0且時,無解;(2)當(dāng)=0且=0時,有無窮多解;(3)當(dāng),t是任意實數(shù)時,

有唯一解。5．設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，若從N件產(chǎn)品中任意抽取n件，則抽到的n件中檢有件次品的概率為P＝。6．隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有（1）＝aE(X)+b（a，b為常數(shù)）；（2）設(shè)有兩個任意的隨機變量X，Y，它們的期望存在，則有＝。（3）設(shè)是相互獨立的兩個隨機變量，且各自的期望均存在，則有。7．設(shè)為總體的一個容量為的樣本，則稱統(tǒng)計量（1）＝（X1+X2+…+Xn）/n=為樣本均值；（2）＝為樣本方差。8．由概率的加法公式知，（1）對任意兩個事件A，B，有＝；（2）如果事件A，B互不相容，則＝；三．計算題1．計算行列式．解：原行列式可化為：D=DT==+因為中第三四列對應(yīng)成比例，所以行列式D==100=100=100﹡（-1）4+1﹡2+100﹡（-1）﹡（-1）4+4=100﹡（-2）=100﹡（-2）=100﹡（-2）﹡（-1）2+2﹡3=-18002．設(shè)，，求。解：－＝＝3．求矩陣的秩。解：→(r1)=(r2-5r1)=（,r3-2r1,r4-4r1）=()=（r3-r2,r4-r2）=所以，矩陣的秩為24．解齊次線性方程組。解：對系數(shù)矩陣施以初等變換：A＝→→→→與原方程組同解的方程組為：所以：方程組的一般解為（其中，為自由未知量）5．試問取何值時，齊次線性方程組有非零解？解：系數(shù)行列式為：所以，當(dāng)時，該齊次線性方程組有非零解．6．設(shè)有甲、乙兩名射手，他們每次射擊命中目標的概率分別是0。8和0。7?，F(xiàn)兩人同時向同一目標射擊一次，試求：（1）目標被命中的概率；（2）若已知目標被命中，則它是甲命中的概率是多少？ 解：設(shè)A={甲命中目標}，B={乙命中目標}，C={目標被命中}。則C=A+B，在這個問題中，A與B相互獨立，而，那么（1）目標被命中的概率利用與的相互獨立性，有 （2）在已知目標被命中條件下，則它是甲命中的概率為. 7．一袋中有m個白球，n個黑球，無放回地抽取兩次，每次取一球，求：（1）在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的條件概率；（2）在第一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的條件概率。解：用A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”。（1）袋中原有m+n個球，其中m個白球。第一次取到白球后，袋中還有m+n-1球，其中m-1個為白球。故；（2）袋中原有m+n個球，其中m個白球，第一次取到黑球后，袋中還有m+n-1個球，其中m個為白球。故. 8．某工廠生產(chǎn)一批商品，其中一等品點，每件一等品獲利3元；二等品占，每件二等品獲利1元；次品占，每件次品虧損2元。求任取1件商品獲利X的數(shù)學(xué)期望與方差。解：9．設(shè)某儀器總長度X為兩個部件長度之和，即X=X1+X2，且已知它們的分布列分別為X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）；（2）；（3）。解：因為EX1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5EX2=6×0.4+7×0.6=6.6故（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)