函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法小結(jié)思考題作業(yè)6.4函數(shù)的單調(diào)性與

曲線的凹凸性曲線凹凸性的判別法曲線的拐點(diǎn)及其求法第6章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2定理6.8單調(diào)增加;單調(diào)減少.一、函數(shù)單調(diào)性的判別法設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).那末函數(shù)y=f(x)在[a,b]上那末函數(shù)y=f(x)在[a,b]上3證

拉氏定理(1)(2)

此定理不論對(duì)于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注若在(a,b)內(nèi),若在(a,b)內(nèi),因?yàn)樗詙=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;因?yàn)樗詙=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.4例解定義域?yàn)橐驗(yàn)樗运?方法問題如上例,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).的分界點(diǎn)．二、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間的點(diǎn)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,6例解定義域單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間.7例解單調(diào)減少區(qū)間為定義域單調(diào)增加區(qū)間為導(dǎo)數(shù)不存在.(1)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。如,注單調(diào)增加.(2):區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)（或無窮多個(gè)離散點(diǎn)）導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.如,內(nèi)可導(dǎo),且等號(hào)只在(無窮多個(gè)離散點(diǎn))處成立,故內(nèi)單調(diào)增加.9例單調(diào)性的應(yīng)用:(1)證明不等式.證10例證

定不出符號(hào)11即(a)

方程根的存在性：零點(diǎn)定理(b)

方程根的唯一性：Rolle定理或單調(diào)性(c)

方程根的個(gè)數(shù)：須確定單調(diào)區(qū)間，由區(qū)間端點(diǎn)的單側(cè)極限，結(jié)合零點(diǎn)定理確定根的個(gè)數(shù)以及根所在的區(qū)間。(2)確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用:解由零點(diǎn)定理，所以，因此，f(x)的圖形與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即原方程有且僅有一個(gè)根。例判斷方程有幾個(gè)實(shí)根,并指出各個(gè)根所在的區(qū)間.

方法：須確定單調(diào)區(qū)間、區(qū)間端點(diǎn)值（或單側(cè)極限），從而判定根的個(gè)數(shù)以及根所在的區(qū)間。解列表不存在有一根有一根有一根16?(concaveandconvex)三、曲線凹凸性的判別法1.定義如何研究曲線的彎曲方向17定義6.1恒有凹(凸)圖形上任意弧段位于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1,x2,那么稱f(x)在(a,b)內(nèi)的圖形是的.18曲線弧上每一點(diǎn)的切線都在曲線的下或定義

(上)方,稱為凹

弧.(凸)凹弧的曲線段f(x)的切線斜率是單增的,是單增的,弧的切線斜率是單減的,是單減的.而凸利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性從幾何直觀上,隨著x的增大,19定理6.9具有二階導(dǎo)數(shù),凹(凸)2.凹凸性的判別法如果

f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)在(a,b)內(nèi),在[a,b]上的圖形是的.則

f(x)20證即這說明切線位于曲線的下方,

泰勒公式即f(x)是凹的.例解注凸變凹的分界點(diǎn).例利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式:凹凸性的應(yīng)用：證明不等式22即證設(shè)圖形是凹的.證法一用單調(diào)性證.法二用凹凸性證.例設(shè)則即1.定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).幾何上二、曲線的拐點(diǎn)及其求法25拐點(diǎn)的充分條件2.拐點(diǎn)的求法

拐點(diǎn)也可能出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處.拐點(diǎn)的必要條件若f(x)具有二階導(dǎo)數(shù),則點(diǎn)(1)(2)(x0,f(x0))是拐點(diǎn)的必要條件為(或x0為二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),點(diǎn)(x0,f(x0))即為拐點(diǎn);點(diǎn)(x0,f(x0))不是拐點(diǎn).一般求拐點(diǎn)的步驟求二階導(dǎo)數(shù);

求二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與二階不可導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)區(qū)間的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別凹凸性;求拐點(diǎn).(1)(2)(3)(4)27例解不存在定義域?yàn)?1)(2)(3)列表拐點(diǎn)拐點(diǎn)28例解拐點(diǎn)的第二充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).三階可導(dǎo),那末(x0,f(x0))29例解30例的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解不存在,不存在拐點(diǎn)單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間凸區(qū)間凹區(qū)間不存在31練習(xí)考研數(shù)學(xué)(三,四)10分設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程確定,試判斷曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性.解兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得兩邊對(duì)x再求導(dǎo)得32練習(xí)考研數(shù)學(xué)(三,四)10分設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程確定,試判斷曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,1)附近的凹凸性.由于二階導(dǎo)函數(shù)的附近是連續(xù)函數(shù),所以由的附近故曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,1)附近是凸.33五、小結(jié)單調(diào)性的判別單調(diào)性的應(yīng)用:改變彎曲方向的點(diǎn):凹凸性;拐點(diǎn);利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.研究曲線的彎曲方向:凹凸性的應(yīng)用:利用凹凸性證明不等式.34證只要證令所以即有得思考題1也即35作業(yè)習(xí)題6.4(219頁)1.5.奇數(shù)題6.(1)(3)(9)(12)7.9.(2)(4)10.(2)(3)12.36思考題2考研數(shù)學(xué)二,8分證明不等式證先證右邊不等式.設(shè)單調(diào)減少,故有即37思考題2考研數(shù)學(xué)二,8分證明不等式再證左邊不等式.方法一設(shè)函數(shù)由拉氏定理知,至少存在一點(diǎn)使由于從而38思考題2考研數(shù)學(xué)二,8分證明不等式再證左邊不等式.方法二設(shè)因?yàn)閱握{(diào)增加,故有即從而即39考研數(shù)學(xué)(一,二)12分練習(xí)證法一則所以單調(diào)減少,從而單調(diào)增加.因此即故40練習(xí)證法二對(duì)函數(shù)所以單調(diào)減少,從而在[a,b]上應(yīng)用拉氏定理,得設(shè)則即即考研數(shù)學(xué)(一,二)12分41證練習(xí)若令則只須證明g(x)單調(diào)增加.而

拉氏定理

g(