【教案】函數(shù)的極值與最大（最?。┲担ǖ?課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用《5．3．2函數(shù)的極值與最大（小）值》教學(xué)設(shè)計(jì)第3課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從函數(shù)圖象直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2．初步掌握求函數(shù)極值的方法．3．體會(huì)滲透在數(shù)學(xué)中的整體與局部的辯證關(guān)系．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求函數(shù)極值教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】問題1：閱讀課本第89~92頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)的極值；（2）學(xué)生已經(jīng)具有導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)幾何意義、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的數(shù)學(xué)概念知識(shí)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有一定的認(rèn)識(shí)，對(duì)相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容也具有一定的儲(chǔ)備．函數(shù)的極值與最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)．在學(xué)習(xí)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，研究和學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最值是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用，注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的研究方法，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．設(shè)計(jì)意圖：通過閱讀讀本，讓學(xué)生明晰本階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．問題2：在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函的增減．如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？設(shè)計(jì)意圖：通過該問題，引起學(xué)生思考，順利地進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析和思考的能力．【探究新知】知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的極值問題3：觀察圖（1），當(dāng)時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大．那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么變化規(guī)律？圖（1）圖（2）師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：放大附近函數(shù)的圖象，如圖（2）．可以看出，；在的附近，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，．這就是說，在附近，函數(shù)值先增（當(dāng)時(shí)，）后減（當(dāng)時(shí)，）．這樣，當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過a時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有．設(shè)計(jì)意圖：通過熟悉的例子及圖象，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)附近函數(shù)圖象的特點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)正負(fù)性的變化規(guī)律．發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．思考：對(duì)于一般的函數(shù)，是否也有同樣的性質(zhì)呢？問題4：如圖，函數(shù)在等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？師生活動(dòng)：學(xué)生認(rèn)真觀察圖形后回答，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：以兩點(diǎn)為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)．類似地，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)．教師總結(jié)：我們把a(bǔ)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．設(shè)計(jì)意圖：通過特例，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．結(jié)論：(1)極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點(diǎn)與極大值若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì)．【練一練】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A．無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．即答案為B.問題5：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，每組派一代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)．例如，對(duì)于函數(shù)，我們有．雖然，但由于無論，還是，恒有，即函數(shù)是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)的極值點(diǎn)．一般地，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件．設(shè)計(jì)意圖：通過尋找特例，讓學(xué)生明白對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)與該點(diǎn)為極值點(diǎn)之間的關(guān)系．同時(shí)讓學(xué)生明白，極值不是可導(dǎo)函數(shù)的特有的．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．問題5：極大值一定大于極小值嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，每組派一代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：如圖是函數(shù)的部分圖象，由圖可知，函數(shù)在處的極小值大于在點(diǎn)處的極大值．設(shè)計(jì)意圖：通過該例，讓學(xué)生不要產(chǎn)生極大值一定大于極小值的錯(cuò)誤想法．【鞏固練習(xí)】例1求函數(shù)的極值．師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，每組派一代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：因?yàn)?，所以．令，解得或．?dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如表所示．x2＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為．設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：一般地，可按如下方法求函數(shù)的極值：解方程，當(dāng)時(shí)：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值．例2求函數(shù)y＝x3(x－5)2的極值：師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，每組派一代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．當(dāng)x變化時(shí)，y′與y的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗無極值↗極大值108↘極小值0↗∴x＝0不是y的極值點(diǎn)；x＝3是y的極大值點(diǎn)，y極大值＝f(3)＝108；x＝5是y的極小值點(diǎn)，y極小值＝f(5)＝0．設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：一般地，求函數(shù)的極值的步驟（1）求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）解方程f′（x）＝0，得方程的根x0可能不止一個(gè)；（3）用方程f′（x）＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，可將x，f′（x），f（x）在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；（4）由f′（x）在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f（x）在f′（x）＝0的各個(gè)根處的極值情況：如果左正右負(fù)，那么函數(shù)f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么函數(shù)f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果導(dǎo)數(shù)值在這個(gè)根左右兩側(cè)同號(hào)，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn)．練習(xí)：教科書P92練習(xí)1、2【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計(jì)：5．3．2函數(shù)的極值與最大（?。┲担ǖ?課時(shí)）新知探究鞏固練習(xí)知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的極值例1例22．總結(jié)概括：函數(shù)的極值的有關(guān)定義；求函數(shù)極值的方法和步驟．師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充．設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．3．課堂作業(yè)：教科書P98習(xí)題5．34、5【目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)】1．設(shè)函數(shù)，則()A．的極大值點(diǎn)在內(nèi) B．的極大值點(diǎn)在內(nèi)C．的極小值點(diǎn)在內(nèi) D．的極小值點(diǎn)在內(nèi)設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟和方法，以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理．2．已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法以及方程有解問題的處理方法．3．求函數(shù)y＝x3－3x2－9x＋5的極值．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟和方法．參考答案：1．A依題意，令，解得．當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值．故選A．2．B，，函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的變號(hào)零點(diǎn)，，即，解得或．實(shí)數(shù)的