《二元一次方程與一次函數(shù)》教案 (公開課)2022年

5.6二一方與次數(shù)【教學(xué)標(biāo)】知識目標(biāo)：1、使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系2、能根據(jù)次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解3、能利用元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式能力目標(biāo)過學(xué)生的思考和操作在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系,入二元一次方程組圖象解,同時培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力.情感目標(biāo)過學(xué)生的自主探索提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系,強了新舊知識的聯(lián)系,養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【教學(xué)點】1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系2、能根據(jù)次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解【教學(xué)點】方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識和能力【教學(xué)程】一、

憶一憶1、同學(xué)們:什么叫二元次方程的解2、一次函的圖像是什么?3、如圖求一次函數(shù)的圖像的解析式二、

試一試1、問題：程x+y=5的解有多少個？寫出其中的幾個解來方程的解有無數(shù)多個，如：

xy

xy

xy

xy

xy

等2、在直角標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點，它們在一次函數(shù)

y－x的圖像嗎？3、在一次數(shù)y=5－x的圖像上任取一點，它的坐標(biāo)適合方程嗎？4、以方的解為坐標(biāo)的所有點組成的圖象與一次函y=5－的圖像相同嗎？三、

做一做在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出一次函數(shù)－x和y=2x－1的圖像，這兩個圖像有交點嗎？交點的坐標(biāo)與方程組

xyy

的解有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？【一次函數(shù)y=5－和y=2x－1的圖像的交點為，3此，y就是方程組的解

xy例1、用圖象的方法解方程組

xyy解：由x-2y=2可得y=，同理，x–y=2可得y=2x–，在同2坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)y=的圖像和–2圖像，2觀察圖像得兩直線交于〔22方程的解

xy同學(xué)們你從此題中感悟到什么？原來我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖像法，那么用圖法來解方組的步如下：

1212四、

1、把二元次方程化成一次函數(shù)的形式2、在直角標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點。3、交點坐就是方程組的解。練一練1、用作圖的方法解方程組

xy4x2由得y=-2x+4由可得y=x在同一直角坐標(biāo)32系中作出函數(shù)y=-2x+4和函數(shù)y=x的圖像察圖像可得交點3，3-2以方程組的解y2、在圖中兩直線l、l的交點坐標(biāo)可以看作

的解。答案：

yy五、

試一試1、有一組同時適合方程x+y=2和嗎？2一次函數(shù)y=2x－x的圖像之間有何關(guān)系？你能從中悟〞出些什么嗎？[有一組數(shù)同時適合方程x+y=2和；一次函數(shù)x，-x的圖像是兩條平等的直線。我們可得到：二元次方程無解

一次函的圖像平行無交點二元一方程組有一二元一方程組有無個解

一次函的圖像相交有一個點〕一次函的圖像重合有無數(shù)交點〕

六、

小結(jié)1、二元一方程的圖像實際上就是一次函數(shù)的圖像2、用圖像可以解二元一次方程組，原來我們還可以用幾何的圖像法來解代數(shù)問題。七、

作業(yè)習(xí)題5.7教后感1.通過學(xué)生的思考和操作、自主探力圖提示出程與圖象之間的關(guān)系,引入二元一次方程組圖象解法同時培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系并能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解2.通過學(xué)生的提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系,加強了新舊知識的聯(lián),培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣1.8完平公()●學(xué)目標(biāo)一)教學(xué)知識點1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.2.完全平方公式的幾何背景二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步開展符號感和推理能力2.重視學(xué)生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達能力三)情感與價值觀要求1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣2.鼓勵學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力●學(xué)重點1.完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、語言表述、幾何解釋2.完全平方公式的應(yīng)用●學(xué)難點1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.

2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點及其應(yīng)用.●學(xué)方法自主探索法學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探索完全平方公式的幾何解釋數(shù)運算角度的推理，揭示其結(jié)構(gòu)特點，然后到達合理、熟練地應(yīng)用●具準(zhǔn)備投影片四張第一張：試驗田的改造，記作(A)第二張：想一想，記作(§1.8.1第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補充練習(xí)，記作(§1.8.1●學(xué)過程Ⅰ.設(shè)問題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一“科技下鄉(xiāng)〞活動中得到啟示，將一塊邊長為a的正方形農(nóng)田改成試驗田上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻一年來收益很大.今年，又一次技下鄉(xiāng)〞活動，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗田，邊長增加b米，形成四塊試驗田，種植不同的新品種同學(xué)們，誰來幫老農(nóng)實現(xiàn)這個愿望呢？同學(xué)們開始動手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑［生］我能幫這位爺爺［師］你能把你的結(jié)果展示給大家嗎？［生］可以.圖－所示，這就是我改造后的試驗田，可以種植四種不同的新品種.圖1－25

［師］你能用不同的方式表示試驗田的面積嗎？［生］改造后的試驗田變成了邊長為(a+b)大正方形，因此，試驗田的總面積應(yīng)為(a+b)2.［生可以把試驗田的總面積看成四局部的面積和即邊長為a的正方形面積，邊長為b的正方形的面和兩塊長和寬分別為和的面積的和所以試驗田的總面積也可表示為a+2ab+b2［師］很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗田的總面積，進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同但都表示同一塊試驗田的面積因此它們應(yīng)該相等.(a+b)2

=a

2

［師］我們這節(jié)課就來研究上面這個公式—完全平方公式.Ⅱ.授新課1.推導(dǎo)完全平方公式［師］我們通過比照試驗田的總面積得出了完全平方公2

2

.其實，據(jù)有關(guān)資料說明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認(rèn)識了這個公我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋.不能從代表運算的角度也能推導(dǎo)出這樣的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多項式乘法法那么說明理由嗎？－

2

等于什么？你是怎樣想的.(學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)，教師巡視推導(dǎo)的情況，對較困難的學(xué)生以啟示)［生］用多項式乘法法那么可得(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)22

+ab+ab+b2所以(=a22［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導(dǎo)各有什么利弊？

(1)

［生］幾何解釋完全平方公式給我們以非常直觀的認(rèn)識，但幾何解釋2=a22,受到了條件限制a>0且b>0;代數(shù)推導(dǎo)完全平方公式雖然不直觀，但在推導(dǎo)的過程中，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，零，也可以是單項式,多項式［師］同學(xué)們分析得很有道理接下來，我們來完成第(2)問.［生］也可利用多項式乘法法那么，那么ba+b2－.

(a2=(ab)=a2ab－［生我是這樣想的因(

=a

2

2

中的可以是任意數(shù)或單項式、多項.我們“〞代替公式中的b利用上面的公式就可以得到2

［a+(b)］

.［師］這位同學(xué)的想法很.因為他很留心我們表述的每一句話的含義，你能繼續(xù)沿著這個思路做下去嗎？我們一塊試一下［師生共析］(ab)

=a+(－］2

=a

2

+2·a·(－b)+(－b)↓↓↓↓↓↓2+2·a·b+b

22

－

.于是，我們得到又一個公式：(ab)－2ab+b2

(2)［師］你能用語言描述上述公式(1)、(2)嗎？［生］公(語言描述為：兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2倍的和；公式(用語言描述為：兩個數(shù)的差的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的倍的差這兩個公式為完全平方公式.它們和平方差式一樣可以使整式的運算簡便.2.應(yīng)用、升華出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式計算：－3);(2)(4x+5y)2;(3)(mna).

分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步，準(zhǔn)確代入公式；第三步化.解：方法一：［例2］利用完全平方公式計算－－x－2－z)

2

;(4)(x+y)2

－(x－y)2

;－22.分析：此題需靈活運用完全平方公式，題可轉(zhuǎn)化為(－x)

2

或(x－2y)

,運用平方差公式(2)題需轉(zhuǎn)化(x+y),利用和的完全平方公(3)題利用加法結(jié)合律變形為［－］2(或［x+(y－z)］(x－］),再用完全平方公式計算；(4)題利用完全平方公式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.(5)題可先逆用冪的運算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式.解：方法一：(－x+2y)=(2yx)=4y2－4xy+x；方法二：－x+2y)

=－］2

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2

=－(x+y)2

=(x+y)2

=x

2

+2xy+y

.－z)

2

=(x+y)－2

=(x+y)

－2(x+y)·z+z

2=x2+z2+2xy－－2yz.方法一：－y)2

111111111111=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(x－y)=(x+y)+(x－y)－y)］－2

2=(2x］2=4x－2］2

4

－2

y2

4

.Ⅲ.堂練習(xí)課本1.計算：

12

x－2y)

;(2)(2xy+

15

x)

;(3)(n+1)2

－n

2

.解：

x－2=(x)2－2·x·2y+(2y)=x22

2

－2(2)(2xy+x)2x+(x)2=4xy2+x2y+555

125

x

2方法一：(n+1)2－n=n－n2=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n(n+1)－n］Ⅳ.后作業(yè)1.課本習(xí)題1.13的第、、題2.閱讀〞，并答復(fù)文章中提出的問題.Ⅴ.動與探究甲、乙兩人合養(yǎng)了頭牛，而每頭牛的賣價恰為n元.部賣完后兩人分錢方法如下先由甲拿元再乙拿10如此輪拿到最后剩下缺乏十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該補給乙多少元錢？［過程］因牛n頭，每頭賣n，故共賣得元.令a表示n的十位以前的數(shù)字，b表示的個位數(shù)即n=10a+b,于是n

2

=(10a+b)2

.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時缺乏10元，所以2中含有奇數(shù)10

元，以及最后剩下缺乏元但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個元此2中必含有奇數(shù)個元b<10，所以只可能是、4、9、16、、、、、，而這九個數(shù)中，只有16和36含有奇數(shù)個10，因此b

2

只可能是16或，但這兩個數(shù)的個位數(shù)都，這就是說，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏元)［結(jié)果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補給乙元●書設(shè)計1.8.完全平方公式(一)一、幾何背景試驗田的總面積有兩種表示形式：①+2ab+b2②(a+b)比照得：(a+b)

=a

2

2二、代數(shù)推導(dǎo)(a+b)=(a+b)(a+b)22(ab)

=a+(－］22

－三、例題講例例1.利用完全平方公式計算：－3)(3)(mna)四、隨堂練習(xí)(略)●課資料一、楊輝楊輝中國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家在世紀(jì)中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多.

a=(a+3b)11a=(a+3b)11他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷著有詳解九章算法十二卷(年)、日用算法二卷(1262年除通變本末?三卷1274)畝比類乘除算法?二卷(1275)、續(xù)古摘奇算法?卷(1275年)楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點是在計算技術(shù)方面對籌算乘除捷算法進行總結(jié)和開展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他續(xù)古摘奇算法?中介紹了各種形式“橫圖〞及有關(guān)的構(gòu)造方法，同“積術(shù)〞是楊輝繼沈“隙積術(shù)〞后，關(guān)于高階等差級數(shù)的研究楊輝在“纂類〞中，將九章算術(shù)246個題目按解題方法由淺入深的順序重新分為乘除分率合率互換二衰分疊積、盈缺乏、方程、勾股等九類.他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和開展在?算法通變本末?中楊輝為初學(xué)者制訂的“習(xí)算綱目〞是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻.二、參考練習(xí)1.填空題－3x+4y)

－2a－=(3)x2－=(x－2.(4)a

+b2

=(a+b)2

(5)

142

.－2=2.選擇題以下計算正確的選項是()A.(m－1)

=m2

－1B.(x+1)(x+1)=x+x+1C.(x－2=x2－xy－y224

x－－