概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5章第2節(jié)

第二節(jié)中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響：空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從什么分布？問(wèn)題提出：這個(gè)問(wèn)題抽象為概率論的內(nèi)容，就是研究n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率分布問(wèn)題.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理,也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定理1（獨(dú)立同分布的中心極限定理）設(shè)X1,X2,…,Xn…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,，則

定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.近似近似定理2德莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace）

設(shè)Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…

定理表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布.Yn

~N(np,np(1-p))

近似則對(duì)任一實(shí)數(shù)

，有近似實(shí)用中，n30,np10時(shí)正態(tài)近似的效果較好.中心極限定理的應(yīng)用下面我們舉例說(shuō)明中心極限定理的應(yīng)用例1

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立同分布，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,分析：求的是16個(gè)獨(dú)立且均服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量和的概率分布問(wèn)題D(Xi)=10000諸Xi獨(dú)立同分布,16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119近似服從例2為了測(cè)量A,B兩地的距離，采取分段測(cè)量相加的方法，現(xiàn)將A,B兩地距離分成100段來(lái)測(cè)量，設(shè)每段測(cè)量值的誤差服從（-1，1）上的均勻分布（單位：厘米），問(wèn)測(cè)量值總和產(chǎn)生的總誤差的絕對(duì)值超過(guò)10厘米的概率為多少？解：設(shè)為第i段的誤差i=1,2,…100由題給條件知,諸Xi獨(dú)立同分布,分析：求的是100個(gè)獨(dú)立且均服從均勻分布的隨機(jī)變量和的概率分布問(wèn)題由中心極限定理,近似服從例3設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.求在任選(有放回）的6000粒種子中，良種所占比例與1/6比較上下小于1%的概率.解:設(shè)X表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)由中心極限定理,近似欲求：用正態(tài)分布近似計(jì)算近似用Chebyshev不等式用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用Poisson分布用正態(tài)分布比較幾個(gè)計(jì)算結(jié)果X~B(6000,1/6)例4某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工率為0.6.開工時(shí)每臺(tái)耗電量為r千瓦.問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力,才99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個(gè)車間a千瓦的電力設(shè)X為200臺(tái)車床的開工數(shù).

X~B(200,0.6),

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求a,使X~N(120,48)(近似)由于X~N(120,48)(近似)反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)至少要供給這個(gè)車間141千瓦的電力例5設(shè)甲，乙兩個(gè)商店銷售某商品競(jìng)爭(zhēng)2000位顧客，若每位顧客隨意地選擇一個(gè)商場(chǎng)且其選擇相互獨(dú)立。問(wèn)每個(gè)商場(chǎng)應(yīng)組織多少件商品才能保證因脫銷而使得顧客離去的概率小于1%（設(shè)每位顧客只購(gòu)該商品一件）解：兩商場(chǎng)情況一樣，下面僅考慮甲商場(chǎng)設(shè)甲商場(chǎng)組織N件商品

諸Xi獨(dú)立同分布,則Y為選擇了甲商場(chǎng)的顧客數(shù)近似即反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得故商場(chǎng)至少得組織1052件商品例6檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品,每檢查一只產(chǎn)品需要用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘.假設(shè)產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為0.5,求檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率.解檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于8小時(shí).設(shè)Xi為檢查第i個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒),i=1,2,…,1900

XiP10200.50.5諸Xi獨(dú)立同分布,相互獨(dú)立,且同分布,設(shè)Y為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒)解法二—1900個(gè)產(chǎn)品中需重復(fù)檢查的個(gè)數(shù)

在實(shí)際問(wèn)題中，若某隨機(jī)變量可以看作是有相互獨(dú)立的大量隨機(jī)變量綜合作用的結(jié)果，每一個(gè)因素在總的影響中的作用都很微小，則這個(gè)隨機(jī)變量（綜合結(jié)果）近似服從正態(tài)分布.這一講我們介紹了中心極限定理中心